九年级数学下册第6章图形的相似6.4探索三角形相似的条件6.4.5三角形的重心同步练习新版苏科版.doc

6.4第5课时三角形的重心一、选择题1下列命题中，错误的是()A三角形的重心是三条中线的交点B三角形中各条边的中垂线的交点是三角形的重心C三角形的重心一定在三角形内D一个三角形只有一个重心2如图K191，ABC中，D是ABC的重心，连接AD并延长，交BC于点E，若BC6，则EC的长度为()图K191A2 B2.5C3 D3.53图K193中的四个三角形，与图K192中的三角形相似的是()图K192图K193图K1944如图K194，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ACB的平分线分别交AB，BD于M，N两点若AM2，则线段ON的长为()A. B. C1 D.二、填空题5已知正三角形的边长为2，则它的重心到三个顶点的距离之和为_6等腰直角三角形ABC中，斜边AB6，则该三角形重心与外心之间的距离是_7如图K195所示，在RtABC中，ACB90，CD是边AB上的高，BC5，BD4，则CD的长为_，AD的长为_图K1958如图K196，已知ABBD，EDBD，C是线段BD的中点，且ACCE，ED1，BD4，那么AB_图K196三、解答题9求证：三角形的重心将中线分成21的两部分图K19710如图K198，已知AD是ABC的边BC上的中线，G是三角形的重心，EF过点G且平行于BC，分别交AB，AC于点E，F.求AFFC和EFBC的值图K19811.如图K199，在ABC中，ABAC，以AC为直径的O交AB于点D，交BC于点E.(1)求证：BECE；(2)若BD2，BE3，求AC的长图K19912如图K1910所示，在四边形ABCD中，ABCD，且AB2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M.(1)试说明：EDMFBM；(2)若BD9，求BM的长图K1910探究题我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心重心有很多美妙的性质，如关于线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题请你利用重心的概念完成如下问题：(1)若O是ABC的重心(如图K1911)，连接AO并延长交BC于点D，证明：；(2)若AD是ABC的一条中线(如图)，O是AD上一点，且满足，试判断O是ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；(3)若O是ABC的重心，过点O的一条直线分别与AB，AC相交于点G，H(均不与ABC的顶点重合)(如图)，S四边形BCHG，SAGH分别表示四边形BCHG和AGH的面积，试探究的最大值图K1911详解详析课堂达标1B2解析 CD是ABC的重心，AE是BC边上的中线，E是BC的中点又BC6，EC3.故选C.3解析 B本题方法较多，可以从三边对应成比例入手；还可以通过观察，发现原三角形是直角三角形，再根据其直角边对应成比例入手等4解析 C如图，作MHAC于点H.四边形ABCD为正方形，MAH45，AMH为等腰直角三角形，AHMHAM2.CM平分ACB，ABC90，BMMH，AB2，ACAB(2)2 2，OCAC1，CHACAH2 22.BDAC，ONMH，CONCHM，即，ON1.故选C.52 6答案 1解析 如图，等腰直角三角形的外心是斜边的中点D，CDAB3.I是ABC的重心，DICD1.故答案为1.738答案 4解析 证明ABCCDE即可9证明：连接EF.BF，CE是ABC的中线，E，F分别是AB，AC的中点，EF是ABC的中位线，从而BCEF，BC2EF，EFGCBG，BG2GF，CG2EG.同理，AG2DG.三角形的重心将中线分成21的两部分10解析 G是三角形的重心，所以可知AGGD21，AGAD23，EFBC，所以AFFCAGGD21，EFBCAFACAGAD23.解：G是三角形的重心，且AD是BC边上的中线，AGGD21，AGAD23.EFBC，AFFCAGGD21，EFBCAFACAGAD23.11解：(1)证明：如图，连接AE.AC为O的直径，AEC90，AEBC，而ABAC，BECE.(2)如图，连接DE.BECE3，BC6.BEDDEC180，BACDEC180，BEDBAC.又DBECBA，BEDBAC，即，AB9，ACAB9.12解：(1)E是AB的中点，AB2CD，BECD.ABCD，CDBEBD.又BDDB，CDBEBD，CBDEDB.又DMEBMF，EDMFBM.(2)由(1)中CDBEBD，知BCDE.又F是BC的中点，.由(1)中EDMFBM，得，BMBD3.素养提升解析 (1)如图，作出中位线DE，证明AOCDOE，可以证明结论；(2)如答图2，作ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为ABC的重心由(1)可知，而已知，故点O与点Q重合，即点O为ABC的重心；(3)如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值解：(1)证明：如图所示，连接CO并延长，交AB于点E.O是ABC的重心，CE是中线，E是AB的中点，DE是中位线，DEAC，且DEAC.DEAC，AOCDOE，2.ADAOOD，.(2)O是ABC的重心证明：如图，作ABC的中线CE，与AD交于点Q，则Q为ABC的重心由(1)可知，而，点Q与点O重合(是同一个点)，O是ABC的重心(3)如图所示，连接DG.设SGODS，由(1)知，即AO2OD，SAGO2S，SAGDSGODSAGO3S.为简便起见，不妨设AG1，BGx，则SBGD3xS，SABDSAGDSBGD3S3xS(3x3)S，SABC2SABD(6x6)S.设OHkOG，由SAGO2S，得SAOH2kS，SAGHSAGOSAOH(2k2)S.S四边形BCHGSABCSAGH(6x6)S(2k2)S(6x2k4)S.如图，过点O作OFBC交AC于点F，过点G作GEBC交AC于点E，则OFGE.OFBC，OFCDBC.GEBC，从而GE，.OFGE，k，代入式得x2x1(x)2，当x时，有最大值，最大值为.