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第1课时 集合的含义与表示【双向目标】课程目标学科素养A理解集合的概念及其三要素，理解用描述法表示集合的特点B判断元素与集合间的“属于”与“不属于”关系，利用互异性判断元素的值C. 能用集合语言表示一些实际生活中的集体性问题，会利用集合对实际生活的问题进行分类a数学抽象：数学集合概念的理解、描述法表示集合的方法b逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用c数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算d 直观想象：利用数轴表示数集、集合的图形表示e 数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类【课标知识】知识提炼基础过关知识1：元素与集合的概念1.元素：一般地，我们把研究的对象称为元素.2.集合：把一些元素组成的总体统叫作集合（简称为集）3.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性。知识2：元素与集合的关系集合通常用大写字母表示，如A,B,C,元素用小写字母表示，如a,b,c,元素和集合之间的专用符号是属于（）或不属于（）,知识3常用数集及表示符号自然数集（或非负整数集），记作：N；（注意：0是自然数）正整数集，记作：N+或N*。整数集，记作：Z；理数集，记作：Q；称实数集，记作：R。知识4：集合常用的表示法有 (1) 列举法:在大括号内把集合的元素一一列举出来，特点是适用于元素的个数较少的集合；（2）描述法：用集合元素的属性表示集合，其一般形式是x|x所具有的属性；（3）图形法：用韦恩图或数轴表示集合，如1下列对象能组成集合的是( )A中央电视台著名节目主持人B我市跑得快的汽车C上海市所有的中学生D香港的高楼2.若且,则3.若一个集合中的三个元素a,b，c是ABC的三边长， 则此三角形一定不是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形4.下列说法中:集合N与集合N是同一个集合 集合N中的元素都是集合Z中的元素 集合Q中的元素都是集合Z中的元素 集合Q中的元素都是集合R中的元素其中正确的有_5.已知集合A中含有两个元素a和a2，若1A，则实数a的值 6.已知xN，则方程x2x20的解集用列举法可表示为_ 基础过关参考答案：1. 【解析】对A，“著名”无明确标准；对B，“快”的标准不确定；对D，“高”的标准不确定，因而A、B、D均不能组成集合而对C，上海市的中学生是确定的，能组成集合 【答案】C2.【解析】 ：因为，所以，又，所以【答案】13.【解析】：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形【答案】D 【答案】1【能力素养】探究一 集合含义的考查集合是由元素构成的，因而分析集合问题，常常从元素入手。 例1判断下列表述是否正确，并说明理由（1）某个班级中年龄较小的男生组成一个集合；（2）Z=全体整数；（3）集合1，2与2，1相等；（4）集合（1，2）与1，2相等.【分析】根据集合的有关概念进行判断. 【解析】（1）不正确，年龄较小的标准不明确，所以某个班级中年龄较小的男生不能组成一个集合.（2）不正确，“”就包含了所有的含义，应写成Z=整数.（3）正确，根据集合中元素的无序性，可知集合1，2与2，1相等.（4）不正确，集合（1，2）表示直角坐标平面上的一个点（1，2），而1，2是1，2的集合，它们是不可能相等的.【点评】（1）确定性是判断一组对象能否组成集合的标准.（2）判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性.（3）集合符号“”已包含“所有”的意思，因而大括号内的文字描述不应再用“全体”“所有”“全部”或“集”等词语.【变式训练】1.下列所给的对象能构成集合的是 所有的正三角形；比较接近1的数的全体；某校高一年级所有16岁以下的学生；平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；所有参加2012年伦敦奥运会的年轻运动员；的近似值的全体. 【答案】2.下列各组对象能组成一个集合吗？请判断并说明理由.（1）所有很大的实数；（2）好心的人；（3）方程在实数范围内的解；（4）中国古代的四大发明；（5）小于18的既是奇数又是质数的正实数；（6）高一新生中数学成绩较好的同学；（7）立方接近零的正数；（8）2012年伦敦奥运会的所有比赛项目.【解析】一组对象能否组成集合主要看这组对象是否能确定，只要研究对象是确定的，就可以构成集合，否则就不能组成集合. 探究二 元素与集合之间的关系的应用元素与集合间的关系有两种关系即；属于“”和不属于“”，分析时需准确把握集合中所含的元素。例2：设集合（1）试判断元素1和2与集合的关系；（2）用列举法表示集合【分析】（1）令，判断是否成立，从而判断，是否成立（2）令分别取自然数，代入逐一确定的值，得集合【解析】（1）当时，当时，（2）令，1，2，3，4，代入检验，可得【点评】（1）判断所给元素是否属于给定集合时，若在集合内，则用符号“”；若不在集合内，则用符号“”（2）对于所给集合是常见的数集时，要注意符号的书写规范【变式训练】1.设集合，若,，试判断与A，B的关系【解析】，又，从而【答案】，2.若，则实数的取值范围是 【解析】因为，所以2不满足不等式，即2满足不等式，所以，所以实数的取值范围是【答案】探究三 元素互异性的应用集合中元素的互异性（即集合中的元素各不相同），它是分析集合问题的一个重要切入口。例3：为集合的四个元素，那么以为边长构成的四边形可能是（ ）A矩形 B平行四边形 C菱形 D梯形【分析】欲判断四边形的形状，需判断四边形的四条边之间的关系【解析】由于集合中的元素具有“互异性”，故四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等 【答案】D【点评】解答本题应抓住集合的元素具有“互异性”这一特征，由互异转化为四边形的四条边互不相等【变式训练】1给出下列说法，其中正确的个数为（ ）（1）由1，这些数组成的集合有5个元素；（2）方程的解组成的集合有3个元素；（3）由一条边为2，一个内角为的等腰三角形组成的集合中含有4个元素；（4）由，组成的三元素集合中含有，则的值是0或A1 B 2 C3 D 4合中有4个元素（4）不正确当时，三个数分别为，0，组成的集合中只有两个元素，不合题意；当时，三个数分别为，符合题意，即只能取【答案】A2含有两个元素的集合A可以表示为，求实数的取值范围【解析】根据题意可知，由集合中元素的互异性，可得，所以即实数 的取值范围为【答案】探究四 集合的表示方法集合作为一种数学语言，需要对它的三种表示方法充分熟悉，特别是描述法应能准确解读。例4：用适当的方法表示下列集合：（1）方程组的解集；（2）1000以内被3除余2的正整数组成的集合；（3）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；（4）所有的正方形组成的集合【分析】 【点评】所谓适当的表示方法，就是较简单、较明了的表示方法，用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性，可选用“且”与“或”等词连接；若描述部分出现代表元素以外的字母，要说明新字母的含义或指出其取值范围【变式训练】1判断：（正确的打“”，错误的打“”）（1）任何一个集合都可以用列举法表示（ ）（2）由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为1,1,2,3（ ）（3）0,1和(0,1)是相同的集合（ ）【答案】 2用另一种方法表示下列集合：（1）绝对值不大于2的整数；（2）能被3整除且小于10的正数；（3）；（4）；（5）；（6）自然数中六个最小数的平方；（7）；（8） （6）；（7）；（8）集合为 【课时作业】课标 素养数学抽象逻辑推理数学运算直观想象数学建模数据分析A11,5,7,10,1351B2,3,6，89,11,14,15C412一、选择题1.下列对象能构成集合的是（ ）NBA联盟中所有优秀的篮球运动员所有的钝角三角形2005年诺贝尔经济学奖得主大于等于0的整数北京师范大学的所有聪明学生A B C D 2.已知集合A中只有一个元素1，若|b|A，则b等于（ ）A1 B1 C1 D0【解析】由题意可知|b|1，b1.【答案】C3.给出下列5个关系：R，Q，00，0N，Q，其中正确命题的个数为（ ）A4 B3 C2 D1【解析】Q，Q不正确【答案】B4.集合xZ|1x5的另一种表示形式是（ ）A0，1，2，3，4 B1，2，3，4C0，1，2，3，4，5 D1，2，3，4，5【解析】集合xZ|1x50，1，2，3，4【答案】A5.直线y2x1与y轴的交点所组成的集合为（ ）A0,1 B（0,1）C，0 D（，0） 【解析】把x0代入y2x1得y1，交点为（0,1），选B.【答案】B6.已知集合M中的元素a、b、c是ABC的三边，则ABC一定不是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形【解析】因为集合中元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，因此选D.【答案】D7.集合M(x，y)|xy0，xR，yR是指（ ）A第一象限内的点集 B第三象限内的点集C第一、三象限内的点集 D第二、四象限内的点集【解析】xy0，x、y同号，M表示第一、三象限内的点集，选C.【答案】C8.集合Ay|yx21，集合B(x，y)|yx21(A，B中xR，yR)选项中元素与集合的关系都正确的是（ ）A2A，且2B B(1,2)A，且(1,2)BC2A，且(3,10)B D(3,10)A，且2B 【答案】C9.已知集合，则集合中元素的个数是（ ）A1B3C5D9【解析】用列举法把集合中的元素一一列举出来根据集合中元素的互异性知，中元素有0，-1，-2，1，2，共5个.【答案】C二、填空题10.已知1m，m2,则实数m= .【解析】当m=1时，m2=1，与元素的互异性矛盾；当m2=1时，m=-1或m=1（舍）.【答案】-111.设5x|x2ax50，则集合x|x2ax30中所有元素之和为 【答案】412.集合可用列举法表示为 【解析】首先依据题意确定的值，则对分类讨论由，得，则有，故用列举法表示为【答案】13.若集合A中有三个元素，x，x1,1，集合B中也有三个元素x，xx2，x2，且AB，则实数x的值为_【解析】AB，或解得x1.经检验，x1不适合集合元素的互异性，而x1适合x1.【答案】114.若集合A中含有三个元素a3,2a1，a24，且3A，则实数a的值为_【解析】(1)若a33，则a0，此时A3，1，4，满足题意(2)若2a13，则a1，此时A4，3，3，不满足元素的互异性(3)若a243，则a1.当a1时，A2,1，3，满足题意；当a1时，由(2)知不合题意综上可知：a0或a1.【答案】0或1三、解答题15.已知集合AxR|ax23x10，aR，(1)若1A，求a的值；(2)若A为单元素集合，求a的值；(3)若A为双元素集合，求a的范围
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