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32.2空间线面关系的判定以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的石制工具，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面，然后落下石墩夯实地面若三个人所站方位使得绳子两两成等角，且与水平地面所成角为45，为了使重量为100 kg的石墩垂直离开地面每个人至少需要用 kg的力问题1：在空间中给定一个定点A(一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？提示：能问题2：石墩下落的过程中，石墩所在的直线和地面垂直吗？提示：垂直问题3：若一条直线平行于平面，直线的方向向量u和平面的的法向量n有什么关系？若直线垂直于平面呢？提示：un，un. 1空间中平行关系的向量表示设两直线l、m的方向向量分别为a，b，两平面、的法向量分别为u，v，则线线平行lmakb，(kR)线面平行lauau0 面面平行uvukv(kR)2空间垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，v，则线线垂直lmab0线面垂直lauaku，(kR)面面垂直uv uv0用空间向量解决立体几何问题的步骤为(1)化为向量问题：用空间向量表示立体图形中点、线、面等元素(2)进行向量运算：进行空间向量的运算，研究点、线、面之间的关系(3)回到图形问题：把运算结果“翻译”成相应的几何意义证明线线垂直例1在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AEBF，求证：A1FC1E.思路点拨先将与用向量表示，利用向量法证明精解详析以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)设AEBFx，E(a，x,0)，F(ax，a,0)(x，a，a)，(a，xa，a)(x，a，a)(a，xa，a)axaxa2a20，即A1FC1E.一点通利用空间向量证明线线垂直的方法：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表达出两直线的方向向量，证明其数量积为零(2)基向量法：利用向量的加减运算律，结合图形，将要证明的两直线所在的向量用基向量表达出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0.1.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CNCC1.求证：AB1MN.证明：法一：(基向量法)设a，b，c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|b|c|1，acbc0，ac，(ab)，bc，abc，(ac)cos 600.，AB1MN.法二：(坐标法)设AB中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，以OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得A，B，C，N，B1，M为BC中点，M.，(1,0,1)，00.，AB1MN.2直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB2，AD1，AA13，M是BC的中点在DD1上是否存在一点N，使MNDC1？并说明理由解：如图所示，建立以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则C1(0,2,3)，M(，2,0)，D(0,0,0)，设存在N(0,0，h)，则，(0,2,3)，(0,2,3)43h，当h时，0，此时，存在NDD1，使MNDC1.证明平行关系例2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.思路点拨建立直角坐标系，求得平面的法向量，利用法向量的关系来确定线面平行，面面平行精解详析 如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2，2,1)，F(0,0,1)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)设n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)分别是平面ADE、平面B1C1F的法向量，则n1，n1，取y1，则n1(0,1，2)同理可求n2(0,1，2)(1)n1(0,1，2)(0,2,1)0，n1，又FC1平面ADE，FC1平面ADE. (2)n1n2，平面ADE平面B1C1F.一点通利用向量法证明几何体的平行问题的途径：(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O1为B1D1的中点，求证：BO1平面ACD1.证明：法一：以D为原点，分别为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，O1(1,1,2)，(2,0,2)，(0，2,2)，(1，1，2)，与，共面，平面ACD1.又BO1平面ACD1，BO1平面ACD1.法二：在证法一建立的空间直角坐标系下，取AC的中点O，连接D1O，则O(1,1,0)，(1,1，2)又(1，1,2)，.又与不共线，D1OBO1.又BO1平面ACD1，BO1平面ACD1.4长方体ABCDA1B1C1D1中，DA2，DC3，DD14，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN平面EFBD.证明：建立如右图所示的空间直角坐标系，取MN、DB及EF的中点R，T，S，则A(2,0,0)，M(1,0,4)，N，D(0,0,0)，B(2,3,0)，E，F(1,3,4)，R，S，T，NEF，RTS，得MNEF，ARTS，MN平面EFBD，AR平面EFBD，又MNARR，平面AMN平面EFBD.证明线面垂直例3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1B、DC的中点，求证：AE平面A1D1F.思路点拨先建立空间直角坐标系，写出相关向量的坐标，证明，即可精解详析设正方体的棱长为1，如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，F.，(1,0,0)，0(1)1000，0，.即AEA1D1，AED1F，又A1D1D1FD1，AE平面A1D1F.一点通用向量法证明线面垂直的方法及步骤：(1)基向量法：设出基向量，然后表示直线的方向向量找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示利用数量积计算(2)坐标法：建立空间坐标系，将直线的方向向量用坐标表示求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，D1B1的中点，求证：EF平面B1AC.证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2，2,1)，F(1,1,2)法一：(1，1,1)，(0,2,2)，(2,2,0)，(1，1,1)(0,2,2)0，(1，1,1)(2,2,0)0，EFAB1，EFAC，又AB1ACA，EF平面B1AC.法二：设平面B1AC的法向量为n(x，y，z)又(0,2,2)，(2,2,0)，AB1ACA，则令x1，可得平面B1AC的一个法向量为n(1,1，1)又(1，1,1)1(1,1，1)n.n，EF平面B1AC.6.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点确定F点的位置，使得D1E平面AB1F.解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设DFx，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)，E，F(x，1,0)，(1,0,1)，(x,1,0)110，即D1EAB1.由D1E平面AB1FD1EAF0x0，即x.又AB1AFA，当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F.证明面面垂直例4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P平面C1DE.思路点拨.精解详析 如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E，C1(0,1,1)设点P的坐标为(0,1，a)(0,1,0)，(1,1，a1)，(0,1,1)设平面A1B1P的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则令z11，则得x1a1，所以平面A1B1P的一个法向量为n1(a1,0,1)设平面C1DE的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则即取y21，则得x22，z21，平面C1DE的一个法向量为n2(2,1，1)，因为平面A1B1P平面C1DEn1n2.n1n202(a1)10，a.故当点P为CC1的中点时，平面A1B1P平面C1DE.一点通证明面面垂直的方法：(1)利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直问题；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直(2)向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法很“公式化”7.如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AFABBCFEAD.求证：平面AMD平面CDE.证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M.则，(1,0,1)，(0,2,0)00，AMCE，又0，ADCE，又AMADA，CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面CDE平面AMD.法二：由法一得(1,0,1)，(0，1,1)，(0,2,0)，(，1，)设平面CDE的法向量为u(x，y，z)，则于是令x1，可得u(1,1,1)设平面AMD的法向量为v(x，y，z)，则于是令z1，可得v(1,0,1)uv(1,1,1)(1,0,1)1010.uv.平面CDE平面AMD.8在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BCD90，ADB30，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF平面ABC.证明：建系如图，取A(0,0，a)，则易得B(0,0,0)，C，D(0，a,0)，E，F(0，a，)，则有，(0,0，a)，0，0，EFAB，EFBC.又ABBCB，EF平面ABC.又EF平面BEF，平面BEF平面ABC.9在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点求证： (1)CE平面C1E1F；(2)平面C1E1F平面CEF.证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设BC1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1.(1)设平面C1E1F的法向量n(x，y，z)，(1,0,1)，即令x1，得n(1,2,1)(1，1,1)，n1210，n.又CE平面C1E1F，CE平面C1E1F.(2)设平面EFC的法向量为m(a，b，c)，(0,1,0)，(1,0，1)，即令a1，得m(1,0,1)nm1(1)2011110，平面C1E1F平面CEF.1利用向量方法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明2用向量法处理空间中垂直关系的关键是求得直线的方向向量和平面的法向量，借助直线的方向向量与平面的法向量之间的关系确定空间中的线面垂直问题对应课时跟踪训练(二十四) 1若两平面，的法向量分别为u(2，3,4)，v，则与的位置关系是_解析：u3v，uv，.答案：平行2若平面、的法向量分别为(1,2,4)，(x，1，2)，并且，则x的值为_解析：，x280.x10.答案：103在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，则B1C与平面ODC1的关系是_解析：，共面又B1C不在平面ODC1内，B1C平面ODC1.答案：平行4若 (，R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是_解析： (，R)，与，共面AB平面CDE或AB平面CDE.答案：AB平面CDE或AB平面CDE5已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则(x，y，z)等于_解析：352z0，故z4.x15y60，且3(x1)y120，得x，y.答案：6如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E为PC的中点，EFBP于点F.求证：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DCPD1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.(1,1，1)，设F(x，y，z)，则(x，y，z1)，.，x0，即xyz0.又，可设，x，y，z1.由可知，x，y，z，.(1)设n1(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，则有取z11，则n1(1,1，1)(1,0，1)，n10.又PA平面EDB，PA平面EDB.(2)设n2(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，则有取z21，则n2(1，1,1)n2，PB平面EFD.7如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30的角求证：(1)CM平面PAD；(2)平面PAB平面PAD.证明：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30.PC2，BC2 ，PB4.D(0,1,0)，B(2 ，0,0)，A(2 ，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2 ，3,0)，(1)法一：令n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则即令y2，得n(，2,1)n2010，n，又CM平面PAD，CM平面PAD.法二：(0,1，2)，(2，4，2)，令x y，则方程组有解为，由共面向量定理知与，共面，又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)取AP的中点E，连接BE，则E(，2,1)，(，2,1)，PBAB，则BEPA.又(，2,1)(2 ，3,0)0，BEDA，又PADAA.BE平面PAD，又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.8.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，用向量法证明：(1)平面A1BD平面CB1D1；(2)AC1平面A1BD.证明：建系如图，设正方体的棱长为1.则A1(1,0,1)、B(1,1,0)、D1(0,0,1)、B1(1,1,1)、C(0,1,0)、A(1,0,0)、C1(0,1,1)(1)(1,0，1)，(0,1，1)，(1,1,0)，(0,1，1)，设平面A1BD的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则令z11，得x11，y11.平面A1BD的一个法向量为n1(1,1,1)设平面CB1D1的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则令y21，得x21，z21，n2(1,1,1)n1n2，即n1n2.平面A1BD平面CB1D1.(2)又(1,1,1)，n1.是平面A1BD的一个法向量，平面A1BD.
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