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1.1.2 集合间的基本关系教学目标三维目标1理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力2在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想教学重点：理解集合间包含与相等的含义教学难点：理解空集的含义授课过程导入新课思路1.实数有相等、大小关系，如55,57,53等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言，教师不要急于作出判断，而是继续引导学生)欲知谁正确，让我们一起来观察、研探思路2.复习元素与集合的关系属于与不属于的关系，填空：(1)0_N；(2)_Q；(3)1.5_R.类比实数的大小关系，如57,22，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)；(2)；(3)(1)观察下面几个例子：A1，2，3，B1，2，3，4，5；设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；设Cx|x是两条边相等的三角形，Dx|x是等腰三角形；E2,4,6，F6,4,2你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子中集合A是集合B的子集，例子中集合E是集合F的子集，同样是子集，有什么区别？(3)结合例子，类比实数中的结论：“若ab，且ba，则ab”，在集合中，你发现了什么结论？(4)升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内，从楼顶向下看，每位同学是哪个班的，一目了然试想一下，根据从楼顶向下看到的，要想直观表示集合，联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子中集合A和集合B.(6)已知AB，试用Venn图表示集合A和B的关系(7)任何方程的解都能组成集合，那么x210的实数根也能组成集合，你能用Venn图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西，我们称为这座房子是空房子，那么一个集合没有任何元素，应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“若ab，且bc，则ac”相类比，在集合中，你能得出什么结论？活动：教师从以下方面引导学生：(1)观察两个集合间元素的特点(2)从它们含有的元素间的关系来考虑规定：如果AB，但存在xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)(3)实数中的“”类比集合中的.(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看成集合中的元素，从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等，没有限制(6)分类讨论：当AB时，AB或AB.(7)方程x210没有实数解(8)空集记为，并规定：空集是任何集合的子集，即A；空集是任何非空集合的真子集，即A(A)(9)类比子集讨论结果：(1)集合A中的元素都在集合B中；集合A中的元素都在集合B中；集合C中的元素都在集合D中；集合E中的元素都在集合F中(2)例子中AB，但有一个元素4B，且4A；而例子中集合E和集合F中的元素完全相同(3)若AB，且BA，则AB.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合(5)如图1所示表示集合A，如图2所示表示集合B.图1图2(6)如图3和图4所示图3图4(7)不能因为方程x210没有实数解(8)空集(9)若AB，BC，则AC；若AB，BC，则AC.思路1例1 某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时，该产品才合格若用A表示合格产品的集合，B表示重量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合已知集合A，B，C均不是空集(1)则下列包含关系哪些成立？AB，BA，AC，CA.(2)试用Venn图表示集合A，B，C间的关系活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式当集合A中的元素都属于集合B时，则AB成立，否则AB不成立用相同的方法判断其他包含关系是否成立教师提示学生注意以下两点：(1)重量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定重量合格；长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格(2)根据集合A，B，C间的关系来画出Venn图解：(1)包含关系成立的有：AB，AC.(2)集合A，B，C间的关系用Venn图表示，如图5所示图5变式训练课本本节练习3.点评：本题主要考查集合间的包含关系其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么判断两个集合A，B之间是否有包含关系的步骤是：先明确集合A，B中的元素，再分析集合A，B中的元素之间的关系，得：集合A中的元素都属于集合B时，有AB；当集合A中的元素都属于集合B，集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有AB；当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素也都属于集合A时，有AB；当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时，有AB，且BA，即集合A，B互不包含.例2 写出集合a，b的所有子集，并指出哪些是它的真子集活动：学生思考子集和真子集的定义，教师提示学生空集是任何集合的子集，一个集合不是其本身的真子集按集合a，b的子集所含元素的个数分类讨论解：集合a，b的所有子集为，a，b，a，b真子集为，a，b.变式训练已知集合P1,2，那么满足QP的集合Q的个数是()A4B3C2D1解析：集合P1,2含有2个元素，其子集有224个，又集合QP，所以集合Q有4个答案：A点评：本题主要考查子集和真子集的概念，以及分类讨论的思想通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集，这样可以避免重复和遗漏思考：集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？多少个真子集？解：当n0时，即空集的子集为，即子集的个数是120；当n1时，即含有一个元素的集合如a的子集为，a，即子集的个数是221；当n2时，即含有两个元素的集合如a，b的子集为，a，b，a，b，即子集的个数是422.集合A中含有n个元素，那么集合A有2n个子集，由于一个集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n1)个真子集.思路2例1 已知集合A1,3,2m1，集合B3，m2若BA，则实数m_.活动：先让学生思考BA的含义，根据BA，知集合B中的元素都属于集合A，由集合元素的互异性，列出方程求实数m的值因为BA，所以3A，m2A.对m2的值分类讨论解析：BA，3A，m2A.m21(舍去)或m22m1.解得m1.m1.答案：1点评：本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性本题容易出现m23，其原因是忽视了集合元素的互异性避免此类错误的方法是解得m的值后，再代入验证讨论两集合之间的关系时，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式.变式训练已知集合Mx|2x0，集合Nx|ax1，若NM，求实数a的取值范围分析：集合N是关于x的方程ax1的解集，集合Mx|x2，由于NM，则N或N，要对集合N是否为空集分类讨论解：由题意得Mx|x2，则N或N.当N时，关于x的方程ax1无解，则有a0；当N时，关于x的方程ax1有解，则a0，此时x，又NM，M.2.0a.综上所得，实数a的取值范围是a0或0a，即实数a的取值范围是.例2 (1)分别写出下列集合的子集及其个数：，a，a，b，a，b，c(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素，则集合M有多少个子集？活动：学生思考子集的含义，并试着写出子集(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集；(2)由(1)总结当n0，n1，n2，n3时子集的个数规律，归纳猜想出结论解：(1)的子集有：，即有1个子集；a的子集有：，a，即a有2个子集；a，b的子集有：，a，b，a，b，即a，b有4个子集；a，b，c的子集有：，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c，即a，b，c有8个子集(2)由(1)可得：当n0时，集合M有120个子集；当n1时，集合M有221个子集；当n2时，集合M有422个子集；当n3时，集合M有823个子集；因此含有n个元素的集合M有2n个子集.变式训练已知集合A2,3,7，且A中至多有一个奇数，则这样的集合A有()A3个B4个C5个D6个解析：对集合A所含元素的个数分类讨论A或2或3或7或2,3或2,7共有6个答案：D点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力集合M中含有n个元素，则集合M有2n个子集，有2n1个真子集，记住这个结论，可以提高解题速度写一个集合的子集时，按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.：课本本节练习1,2.【补充练习】1判断正误：(1)空集没有子集()(2)空集是任何一个集合的真子集()(3)任一集合必有两个或两个以上的子集()(4)若BA，那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B.()分析：关于判断题应确实把握好概念的实质解：该题的4个命题，只有(4)是正确的，其余全错对于(1)，(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集对于(4)来讲，当xB时必有xA，则xA时也必有xB.2集合Ax|1x3，xZ，写出A的真子集分析：区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n1个，则该题先找该集合的元素，后找真子集解：因1x3，xZ，故x0,1,2，即Ax|1x3，xZ0,1,2真子集：，1，2，0，0,1，0,2，1,2，共7个3(1)下列命题正确的是()A无限集的真子集是有限集B任何一个集合必定有两个子集C自然数集是整数集的真子集D1是质数集的真子集(2)以下五个式子中，错误的个数为()10,1,21，33,10,1,21,0,20,1,20A5B2C3D4(3)Mx|3x4，a，则下列关系正确的是()AaM BaMCaM DaM解析：(1)该题要在四个选择项中找到符合条件的选择项，必须对概念把握准确，无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，排除A；由于只有一个子集，即它本身，排除B；由于1不是质数，排除D.(2)该题涉及到的是元素与集合、集合与集合的关系应是10,1,2，应是0,1,2，应是0故错误的有.(3)Mx|3x4，a，因3a4，故a是M的一个元素，因此a是x|3x4的真子集，那么aM.答案：(1)C(2)C(3)D4判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：(1)Ax|x2k1，kZ，Bx|x2m1，mZ；(2)Ax|x2m，mZ，Bx|x4n，nZ解：(1)因Ax|x2k1，kZ，Bx|x2m1，mZ，故A，B都是由奇数构成的，即AB.(2)因Ax|x2m，mZ，Bx|x4n，nZ，又x4n22n，在x2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x4n中，2n只能是偶数故集合A，B的元素都是偶数，但B中元素是由A中部分元素构成，则有BA.点评：此题是集合中较抽象的题目要注意其元素的合理寻求5已知集合Px|x2x60，Qx|ax10满足QP，求a所取的一切值解：因Px|x2x602，3，当a0时，Qx|ax10，QP成立又当a0时，Qx|ax10，要QP成立，则有2或3，a或a.综上所述，a0或a或a.点评：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论本题易漏掉a0，ax10无解，即Q为空集的情况，而当Q时，满足QP.6已知集合AxR|x23x40，BxR|(x1)(x23x4)0，要使APB，求满足条件的集合P.解：AxR|x23x40，BxR|(x1)(x23x4)01,1，4，由APB知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为1或1或4或1,1或1，4或1，4或1,1，4点评：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素，而做到这点，必须明确A，B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件7设A0,1，Bx|xA，则A与B应具有何种关系？解：因A0,1，Bx|xA，故x为，0，1，0,1，即0,1是B中一元素故AB.点评：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素8集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，(1)若BA，求实数m的取值范围；(2)当xZ时，求A的非空真子集的个数；(3)当xR时，没有元素x使xA与xB同时成立，求实数m的取值范围解：(1)当m12m1即m2时，B满足BA.当m12m1即m2时，要使BA成立，需可得2m3.综上所得实数m的取值范围为m3.(2)当xZ时，A2， 1,0,1,2,3,4,5，A的非空真子集的个数为282254.(3)xR，且Ax|2x5，Bx|m1x2m1，又没有元素x使xA与xB同时成立则若B即m12m1，得m2时满足条件；若B，则要满足条件：或解之，得m4.综上有m2或m4.点评：此问题解决要注意：不应忽略；找A中的元素；分类讨论思想的运用问题：已知AB，且AC，B0,1,2,3,4，C0,2,4,8，则满足上述条件的集合A共有多少个？活动：学生思考AB，且AC所表达的含义AB说明集合A是集合B的子集，即集合A中元素属于集合B，同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素思路1：写出由集合B和集合C的公共元素组成的集合，得满足条件的集合A；思路2：分析题意，仅求满足条件的集合A的个数，转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数解法1：因AB，AC，B0,1,2,3,4，C0,2,4,8，由此，满足AB，有：，0，1，2，3，4，0,1，0,2，2,3，2,4，0,3，0,4，1,2，1,3，1,4，3,4，0,2,4，0,1,2，0,1,3，0,1,4，1,2,3，1,2,4，2,3,4，0,3,4，0,1,2,3，1,2,3,4，0,1,3,4，0,2,3，1,3,4，0,1,2,4，0,2,3,4，0,1,2,3,4，共2532(个)又满足AC的集合A有：，0，2，4，8，0,2，0,4，0,8，2,4，2,8，4,8，0,2,4，0,2,8，0,4,8，2,4,8，0,2,4,8，共2416(个)其中同时满足AB，AC的有8个：，0，2，4，0,2，0,4，2,4，0,2,4，实际上到此就可看出，上述解法太繁解法2：题目只求集合A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为求B，C的公共元素组成集合的子集数是多少显然公共元素有0,2,4，组成集合的子集有238(个)点评：有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；关于集合的子集个数的结论要熟练掌握，其应用非常广泛课堂笔记本节课学习了：子集、真子集、空集、Venn图等概念；能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集；清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明
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