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三角形一、选择题1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ） A.5B.6C.7D.8【答案】A 【解析】 ：在直角三角形中，勾为3，股为4，弦为 故答案为：A【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。2.在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值范围是（ ） A.8BC10 B.2BC18 C.1BC8 D.1BC9【答案】D 【解析】 ：如图ABCD，AC=8，BD=10，OB=BD=5，OC=AC=45-4BC5+4，即1BC9故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。3.如图所示,A=50,B=20,D=30,则BCD的度数为（ ）A.80B.100C.120D.140【答案】B 【解析】 如图，延长BC交AD于点E，BCD=D+DEC，DEC=A+B，BCD=A+B+D，A=50，B=20，D=30，BCD=50+20+30=100，故答案为：B.【分析】延长BC交AD于点E，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得BCD=D+DEC，DEC=A+B，所以BCD=A+B+D，由已知可得BCD=50+20+30=100。4.如图，BEAF，点D是AB上一点，且DCBE于点C，若A=35，则ADC的度数（ ）A.105B.115C.125D.135【答案】C 【解析】 ：BEAF，B=A=35DCBE，DCB=90，ADC=90+35=125故答案为：C【分析】由平行线的性质可得B=A=35，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得ADC=90+35=125。5.如图，在Rt ABC中，ACB=900，BC=2将 ABC绕顶点C逆时针旋转得到 ，使点B落在AC边上设M是 的中点，连接BM，CM， BCM的面积为（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】 ：过点M作MDAB于点DMDA=90M是 BC 的中点AM=AB ABC绕顶点C逆时针旋转得到A B C BC=BC=2，ACB=ACB=90=MDAMDACMD=1SBCM=BCMD=21=1故答案为;A【分析】过点M作MDA B于点D，根据旋转的性质，可证得BC=B C=2，ACB=A CB =90=MDA ，再根据平行线分线段成比例及线段中点的定义，可得线段成比例，求出MD的长，然后利用三角形的面积公式，求解即可。6.如图， ABC中，正方形DEFG的顶点D，G分别在AB，AC上，顶点E，F在BC上若ADG、BED、CFG的面积分别是1、3、1，则正方形的边长为（ ）A.B.C.2D.2 【答案】C 【解析】 ：过A作AMBC于M，交DG于N，设正方形DEFG的边长是a，AN=b，四边形DEFG是正方形，DG=GF=EF=DE=MN=a，DGBC，SADG=1，SBDE=3，SFCG=1，SADG=ab=1，即a=SBDE=BEa=3，SFCG=CFa=1，BE=3b，CF=b，BC=3b+a+b=4b+a，AM=a+bBCAM=（4b+a）（a+b）=4b2+5ab+a2SADG+SBED+SCFG=1+3+1=5ab=2，S正方形DEFG=SABC(SADG+SBDE+SCFG)=a2BCAM-5=a2（4b2+5ab+a2）-5=a2ab=2（4b2+10+a2）-5=a2a=2b（取正），2b2=2解之：b=1（取正）a=21=2即正方形的边长是2，【分析】过A作AMBC于M，交DG于N，设正方形DEFG的边长是a，AN=b，根据已知及三角形的面积公式，可得出ab=2，用含b的代数式分别表示出BE、CF、AM、BC的长，再根据S正方形DEFG=SABC(SADG+SBDE+SCFG)=a2 ， 得出a=2b，结合ab=2，求出a、b的值即可求解。7.如图，点P为O外一点,PA为0的切线,A为切点,PO交0于点B，P=30,OB=3,则线段BP的长为（ ）.A.3B.C.6D.9【答案】A 【解析】 ：连接OAPA为0的切线OAAPOAP=90P=30OP=OB+BP=2OA=2OB=6BP=3故答案为：A【分析】已知圆的切线。因此连半径OA，可证得OAP是直角三角形，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，就可求出BP的长。8.如图，等腰ABC中，AB=AC，B=40，AC边的垂直平分线交BC于点E，连接AE，则BAE的度数是（ ）A.45B.50C.55D.60【答案】D 【解析】 AB=AC，B=40，B=C=40，BAC=180BC=100，又AC边的垂直平分线交BC于点E，AE=CE，CAE=C=40，BAE=BACCAE=60故答案为：D【分析】由等腰三角形的性质可得B=C=40，根据三角形的内角和定理得BAC=180BC=100，根据线段的垂直平分线的性质可得AE=CE，所以由等腰三角形的性质可得CAE=C=40，所以BAE=BACCAE=609.在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，AEBD于E，OFAD于F，若BE：ED=1：3，OF=3cm，则BD的长是（ ）cm A.6B.8C.10D.12【答案】D 【解析】 ABCD是矩形，BO=OD=OABE：ED=1：3，BE=EO又AEBD，OB=OA=ABABD=60FDO=30OFAD，OF=3，OD=6BD=2OD=12故答案为：D【分析】先证得三角形ABO为等边三角形，从而解得BAO=60，即ODA=OAD=30，进而解直角三角形OFD求得OD=6，即可求得BD=12.10.如图，点D在ABC的边AB的延长线上，DEBC，若A35,C24,则D的度数是（ ）。A.24B.59C.60D.69【答案】B 【解析】 ：A=35，C=24，DBC=A+C=35+24=59，又DEBC，D=DBC=59.故答案为：B.【分析】根据三角形外角性质得DBC=A+C，再由平行线性质得D=DBC.11.如图，等边三角形 边长是定值，点 是它的外心，过点 任意作一条直线分别交 ， 于点 ， ，将 沿直线 折叠，得到 ，若 ， 分别交 于点 ， ，连接 ， ，则下列判断错误的是（ ）A.B.的周长是一个定值C.四边形 的面积是一个定值D.四边形 的面积是一个定值【答案】D 【解析】 ：A、连结OA、OC，点O是等边三角形ABC的外心，AO平分BAC，点O到AB、AC的距离相等，由折叠得：DO平分BDB，点O到AB、DB的距离相等，点O到DB、AC的距离相等，FO平分DFG，DFO=OFG=（FAD+ADF），由折叠得：BDE=ODF=（DAF+AFD），OFD+ODF=（FAD+ADF+DAF+AFD）=120，DOF=60，同理可得EOG=60，FOG=60=DOF=EOG,DOFGOFGOEOD=OG,OE=OF,OGF=ODF=ODB,OFG=OEG=OEB，OADOCG,OAFOCE,AD=CG,AF=CE,ADFCGE.故A不符合题意；B、DOFGOFGOE,DF=GF=GE,ADFBGFCGE,BG=AD,BFG的周长-FG+BF+BG=FG+AF+CG=AC（定值），故B不符合题意；C、S四边形FOEC=SOCF+SOCE=SOCF+SOAF=SAOC=SABC（定值），故C不符合题意；D、S四边形OGBF=SOFG+SBGF=SOFD+SADF=S四边形OFAD=SOAD+SOAF=SOCG+SOAF=SOAC-SOFG,过点O作OHAC于H，SOFG=,由于OH是定值，FG变化，故OFG的面积变化，从而四边形OGBF的面积也变化。故D符合题意。故答案为：D【分析】A、根据等边三角形ABC的外心的性质可知，AO平分BAC，根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分DFG，由外角的性质可证明DOF=60，同理可得EOG=60，FOG=60=DOF=EOG，可证明DOFGOFGOE，OADOCG,OAFOCE,可得AD=CG,AF=CE,从而得ADFCGE；B、根据DOFGOFGOE，得DF=GF=GE,所以ADFBGFCGE,可得结论；C、根据S四边形FOEC=SOCF+SOCE ， 依次换成面积相等的三角形，可得结论为：SAOC=SABC（定值），据此判断；D、方法同C，将S四边形OGBF=SOAC-SOFG,根据SOFG=FGOH,FG变化，故OFG的面积变化，从而四边形OGBF的面积也变化，据此判断；12.如图，在 中， ， .以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，射线 交 的延长线于点 ，则 的长是（ ）A.B.1C.D.【答案】B 【解析】 ：由射线CN的尺规作图的方法可知CN是BCD的平分线，则BCN=DCN在ABCD中，ABCD，E=DCN=BCN，BE=BC=3，AE=BE-AB=3-2=1.故答案为：B.【分析】首先由尺规作图的步骤可知这是作BCD的角平分线CN；由平行四边形的性质可得ABCD，则E=DCN=BCN，由“等角对等边”可知BCE是等腰三角形即可求得AE的长度二、填空题 13.若一个等腰三角形的顶角等于50，则它的底角等于_ 【答案】65 【解析】 ：等腰三角形的顶角等于50，它的底角为：（180-50）2=65.故答案为：65.【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出答案.14.在ABC中, AB=AC,BAC=100,点D在BC边上,连接AD,若ABD为直角三角形,则ADC的度数为_. 【答案】90或130 【解析】 ：AB=AC，BAC=100C=B=（180-100）2=40如图1，当RtABD的CAD=90时ADB=C+CAD=40+90=130；如图2，RtABD中ADB=90故答案为：90或130【分析】根据等边对等角及三角形的内角和定理，可求出C的度数，再分情况讨论：当RtABD的CAD=90时，利用三角形外角的性质可求出ADB的度数；RtABD中ADB=90；即可求解。15.如图，在边长为4的等边 中， ， 分别为 ， 的中点， 于点 ， 为 的中点，连接 ，则 的长为_【答案】【解析】 连接DE，D、E分别是AB、BC的中点，DEAC，DE= ACABC是等边三角形，且BC=4DEB=60,DE=2EFAC，C=60,EC=2FEC=30，EF= DEG=180-60-30=90G是EF的中点，EG= .在RtDEG中，DG= 故答案为： .【分析】连接DE，根据三角形的中位线定理得出DEAC，DE=AC，根据等边三角形的性质由ABC是等边三角形得出DEB=60,DE=2，根据含30直角三角形的边之间的关系，及中点定义得出EF的长，进而判断出DEG是直角三角形，根据勾股定理得出DG的长。16.如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线BD延长线上一点，BD4，DE1，BAE45，则AB长为 _【答案】【解析】 ：连接AO交BD于O，作BMAE于M，交AC于NBAE=45，BMA=90，MAB=MBA=45，AM=BM，四边形ABCD是菱形，ACBD，AOE=90，设AM=BM=b，ME=a，E=E，AOE=BME=90，AOEBME， = ， = ，a2+ab=15 又a2+b2=25 53得到：2a2+5ab3b2=0，（a+3b）（2ab）=0，b=2a代入得到a= ，b=2 ，AB= AM=2 故答案为2 【分析】连接AO交BD于O，作BMAE于M，交AC于N根据三角形的内角和判断出MAB=MBA=45，根据等边对等角得出AM=BM，根据菱形的性质得出ACBD，AOE=90，设AM=BM=b，ME=a，然后判断出AOEBME，根据相似三角形对应边成比例得出 O E E M = A E B E，从而得出关于a,b的方程，a2+ab=15 ，根据勾股定理得出a2+b2=25 ，53得到：2a2+5ab3b2=0，求解得出，a,b的值，根据等腰直角三角形边之间的关系由AB=AM得出答案。17.如图，在ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AB=8，则DE的长为_。【答案】4 【解析】 ：点D，E分别是BC，AC的中点DE是ABC的中位线DE=AB=8=4故答案为：4【分析】根据已知可得出DE是ABC的中位线，再根据中位线定理，可求出DE的长。18.如图，RtABC中，B90，AB3cm，AC5cm，将ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则ABE的周长等于_cm.【答案】7 【解析】 ：依题可得：AE=CE,在RtABC中，AB3cm，AC5cm，BC=4,CABE=AB+BE+EA=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7，故答案为：7.【分析】根据折叠的性质可知AE=CE,在RtABC中，根据勾股定理可求得BC长，再根据三角形周长即可求得答案.19.如图，在正方形 中， ，点 ， 分别在 ， 上， ， ， 相交于点 .若图中阴影部分的面积与正方形 的面积之比为 ，则 的周长为_【答案】【解析】 ：阴影部分的面积与正方形 的面积之比为 ，空白部分的面积= 在BCE和CDF中，BCECDF（SAS）， ，BEC=CFD， ，即 ， ，BEC=CFD，CFD+DCF=90，BEC+DCF=90，则BGC=90，在RtBCG中，设BG=x，CG=y，则 可得 ， ，BCG的周长为BC+BG+CG= 故答案为： .【分析】阴影部分的面积与正方形 的面积之比可求得空白部分的面积，由CE=DF，不难证得BCECDF，则可得 ，求得 ；由BCECDF，全等三角形的性质可证明BGC=90；问题是求BCE的周长，BC已知，所以只需要求出BG+CG的即可，由三角形面积公式及勾股定理，根据代数式的运算求出BG+CG值即可20.如图，在矩形ABCD中，AB=6，E，H分别为AD、CD的中点，沿BE将ABE折叠，若点A恰好落在BH上的F处，则AD_【答案】【解析】 ：连接EH点E、点H是AD、DC的中点，AE=ED，CH=DH= CD= AB=3，由折叠的性质可得AE=FE，FE=DE在RtEFH和RtEDH中， ，RtEFHRtEDH（HL），FH=DH=3，BH=BF+FH=AB+DH=6+3=9在RtBCH中，BC= = = ，AD=BC= 故答案为： 【分析】连接EH根据三角形的中位线定理可得，AE=ED，CH=DH=CD=AB=3，由折叠的性质可得AE=FE，所以FE=DE用斜边直角边定理可证得RtEFHRtEDH，所以FH=DH=3，由线段的构成可得BH=BF+FH=AB+DH=6+3=9，在RtBCH中，由勾股定理可求得BC=6=AD.三、解答题 21.如图， ， ， 、 相交于点 .求证： .【答案】解：A=D=90在RtABC和RtDCB中BC=CB AC=DBRtABCRtDCB（HL）ACB=DBCOB=OC 【解析】【分析】根据直角三角形的全等判定定理，可证得RtABCRtDCB，得出ACB=DBC，再根据等角对等边，可证得结论。22.如图，点D，C在BF上，ABEF，A=E，BD=CF求证：AB=EF【答案】证明：ABEF，B=F又BD=CF，BC=FD在ABC与EFD中 ，ABCEFD（AAS），AB=EF 【解析】【分析】根据平行线的性质可得B=F用角角边可证得ABCEFD，所以AB=EF。23.如图，ABC和ADE都是等腰三角形，且BAC90，DAE90，B，C，D在同一条直线上求证：BDCE.【答案】证明：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ADAE，ABAC又EAC90CAD，DAB90CAD，DABEAC.在ADB和AEC中，ADBAEC(SAS)，BDCE. 【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质，可证得ADAE，ABAC，再证明DABEAC，然后根据全等三角形的判定方法，证明ADBAEC，从而可证得结论。24.已知：如图，ABAE，12，BE.求证：BCED.【答案】证明：12，1BAD2BAD，即：EADBAC.在EAD和BAC中，ABCAED(ASA)，BCED 【解析】【分析】根据12，证得EADBAC，再利用全等三角形的判定证明ABCAED，然后根据全等三角形的性质可证得结论。25.已知，等边三角形ABC的边长为5，点P在线段AB上，点D在线段BC上，且PDE是等边三角形（1）初步尝试：若点P与点A重合时（如图1），BD+BE=_ （2）类比探究：将点P沿AB方向移动，使AP=1，其余条件不变（如图2），试计算BD+BE的值是多少？ （3）拓展迁移：如图3，在ABC中，AB=AC，BAC=70，点P在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上，在PDE中，PD=PE，DPE=70，设BP=a，请直接写出线段BD、BE之间的数量关系（用含a的式子表示） 【答案】（1）5（2）解：如图2，过点P作PFAC交BC于F，FPB是等边三角形，BF=PF=PB=ABAP=4，BPF=60，PDE是等边三角形，PD=PE，DPE=60，BPE=FPD，PBEPFD，BE=DF，BD+BE=BD+DF=BF=4；（3）解：如图3，过点P作PFAC交BC于F，BPF=BAC=70，PFB=C，AB=AC，BAC=70，ABC=C=55，PFB=C=PBF=55，PF=PB=a，BPF=DPE=70，DPF=EPB，PD=PE，PBEPFD，BE=DF，过点P作PGBC于G，BF=2BG，在RtBPG中，PBD=55，BG=BPcosPBD=acos55，BF=2BG=2acos55，BDBE=BDDF=BF=2acos55 【解析】 ：（1）ABC和PDE是等边三角形，PE=PD，AB=AC，DPE=CAB=60，BPE=CAD，PBEACD，BE=CD，BD+BE=BD+CD=BC=5，故答案为5；【分析】（1）由已知条件用边角边易证得PBEACD，所以可得BE=CD，所以BE+BD=BD+CD=BC ;（2）由（1）的方法可作辅助线，过点P作PFAC交BC于F，将问题转化为（1）的形式，同理可证PBEPFD，则BE=DF，所以BE+BD=BD+FD=BF;由题意得BF=BC-1=4，问题得解；（3）由（1）和（2）的思路可作辅助线，过点P作PFAC交BC于F，过点P作PGBC于G，根据已知条件易证得PBEPFD，BE=DF，则BF=2BG，在RtBPG中，解直角三角形即可用含a的代数式表示BG，则BF=2BG也可用含a的代数式表示，所以BDBE=BDDF=BF可得结论。
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