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知识点30 直角三角形、勾股定理一、选择题1. （xx山东滨州，1，3分）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ） A5 B6 C7 D8【答案】A【解析】三角形为直角三角形，三边满足勾股定理，弦为：5【知识点】勾股定理2. （xx四川泸州，8题，3分） “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图3所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8，大正方形的面积为25,则小正方形的边长为（ ）A. 9 B.6 C. 4 D.3第8题图【答案】D【解析】因为ab=8，所以三角形的面积为ab=4，则小正方形的面积为25-44=9，边长为3【知识点】勾股定理，三角形面积，平方根3. （xx年山东省枣庄市，12，3分）如图，在中，垂足为，平分，交于点，交于点.若，则的长为（ ）A B C D【答案】A【思路分析】在中， ， 平分，可知CE=CF，过F作FH垂直于AB，FH=CF，在RtFBH中设CF=x，利用勾股定理列方程求出CF的长，从而得到CE的长.【解题过程】解：在中， ，ACD=B，平分，CAF=BAF，CEF=CFE，CE=CF，如图，过点F作FGAB，平分，CF=FG，AG=AC=3，BG=2，设CF=FG=x， ，BC=4，则BF=4-x，在RtFBG中，解得，即CE=CF=，故选A.【知识点】勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形4. （xx湖南长沙，11题，3分）我国南宋著名数学家秦久韶的著作数书九章里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米【答案】A【解析】将里换算为米为单位,则三角形沙田的三边长为2.5千米,6千米,6.5千米,因为2.52+62=6.52，所以这个三角形为直角三角形,直角边长为2.5千米和6千米，所以S=62.5=7.5(平方千米)，故选A【知识点】勾股定理的逆定理，三角形面积5. (xx山东青岛中考，6，3分)如图，三角形纸片ABC，AB=AC，BAC=90，点E为AB中点沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F已知，则BC的长是（ ）A B C3 D 【答案】B【解析】AB=AC，BAC=90，B=45由折叠的性质可得BEF=90，BFE=45，BE=EF=点E为AB中点，AB=AC=3在RtABC中，BC=故选B【知识点】折叠的性质；等腰三角形的性质与判定；勾股定理；6.（xx山东省淄博市，12，4分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，则ABC的面积为（A）9+ （B）9+ （C）18+ （D）18+【答案】A【思路分析】将APB绕点A逆时针旋转60得到AHC，作AICH交CH延长线于点I，则APH为等边三角形，利用已知线段证明PHC为直角三角形，从而得到AHC=150，AHI=30，求得AI、IH，进而求得IC，利用勾股定理求出AC，再利用正三角形面积公式求出三角形ABC的面积.【解题过程】将APB绕点A逆时针旋转60得到AHC，作AICH交CH延长线于点I，则APH为等边三角形，HA=HP=PA=3，HC=PB=4，PC=5，PC2=PH2+CH2，PHC=90，AHI=30，AI=，HI=，CI=+4，AC2=（）2+（+4）2=25+12，SABC=AC2=（25+12）=9+.【知识点】图形的旋转的性质；解直角三角形；正三角形的面积；勾股定理及逆定理1. （xx湖北黄冈，5题，3分）如图，在RtABC中，ACB=90，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（ ）A.2 B.3 C.4 D.第5题图【答案】C【解析】在RtABC中，CE为AB边上的中线，所以CE=AB=AE，因为CE=5，AD=2，所以DE=3，因为CD为AB边上的高，所以在RtCDE中，=4，故选C【知识点】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理2. （xx四川凉山州，3，4分）如图，数轴上点A对应的数为2，ABOA于A，且AB1，以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点C，则OC长为（ ）A.3 B. C. D. 【答案】D【解析】ABOA于A，OAB=90.在RtOAB中，由勾股定理得OB=.OC=OB=.故选择D.【知识点】直角三角形的判定，勾股定理，尺规作图.二、填空题1. （xx年山东省枣庄市，15，4分） 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式.即：如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为，已知的三边长分别为，则的面积为 .【答案】1【解析】方法一：把代入三角形的面积得，故填 1.方法二：由的三边长分别为，根据勾股定理的逆定理得是直角三角形，其面积为，故填 1.【知识点】二次根式；勾股定理的逆定理2. （xx四川省成都市，14，4）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；作直线MN交CD于点E，若DE2，CE3，则矩形的对角线AC的长为 【答案】【思路分析】因为由作图可知MN为线段AC的垂直平分线，则有AECE3，在RtADE中，由勾股定理可以求出AD的长，然后再在RtADC中用勾股定理求出AC即可【解析】解：连接AE，由作图可知MN为线段AC的垂直平分线，AECE3，在RtADE中，AD，在RtADC中，CDDECE5，AC【知识点】尺规作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理3. （xx天津市，18，3）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC的顶点A，B，C均在格点上.（1）ACB的大小为 （度）；（2）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点.A为中心，取旋转角等于BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P.当CP最短时，请用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 【答案】90; 如图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G；取格点F，连接FG交TC延长线于点P，则点P即为所求.【解析】分析：本题考查了勾股定理及其逆定理解题的关键是分析题意并构造出如图所示的三对格点解：(1)在网格中由勾股定理得：ABC为直角三角形，ACB=90(2) 如图，取格点，连接交于点；取格点，连接交延长线于点；取格点，连接交延长线于点，则点即为所求.【知识点】勾股定理定理及逆定理；格点作图4. （xx浙江湖州，16，4）在每个小正方形的边为1的网格图形中，每个小正方形的顶点为格点以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图例如，在图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的面积为5问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是 （不包括5）图1 【答案】9，13和49【解析】设图中直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则a2+b265小正方形的面积为（ab）2只要能把长为a和b的线段在网格中画出来，并且a和b的端点都在格点上即可65可以写作64+1或49+16，所以a，b的值分别为8，1或7，4此时小正方形的面积为49或9另外，长为13和5的线段也可以在网格中画出，所以65还可以写成52+13或45+20，此时a，b的值分别为2，和3，2此时小正方形的面积为13和5小正方形的面积为9，13和49对应的图形分别为下图的故填9，13和49. 【知识点】勾股定理1. （xx湖北黄冈，13题，3分）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为_cm（杯壁厚度不计）第13题图【答案】20【解析】如图，点E与点A关于直线l对称，连接EB，即为蚂蚁爬行的最短路径，过点B做BCAE于点C，则RtEBC中，BC=322=16cm，EC=3+14-5=12cm，所以第13题解图【知识点】轴对称，勾股定理2. （xx重庆A卷，16，4）如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到AGE30，若AEEG厘米，则ABC的边BC的长为 厘米 【答案】46 【解析】如下图，过点E作EMAG于点M，则由AEEG，得AG2MG AGE30，EG厘米， EMEG（cm） 在RtEMG中，由勾股定理，得MG3（cm），从而AG6cm 由折叠可知，BEAE（cm），GCAG6cm BCBEEGGC646（cm） 【知识点】翻折；轴对称；勾股定理；直角三角形的性质；等腰三角形3. （xx江苏淮安，15，3） 如图，在份RtABC中，C=90，AC=3, BC=5,分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q,过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD 的长是 .(第15题）【答案】1.6【解析】本题考查勾股定理和基本作图，连结AD,由线段的垂直平分线的性质可知AD=BD,再由勾股定理可求得CD.解：连结AD由作法可知AD=BD,在RtACD中设CD=x,则AD=BD=5-x,AC=3.由勾股定理得，CD2+AC2=AD2即x2+32=(5-x)2解得x=1.6故答案为1.6【知识点】勾股定理；轴对称；线段的垂直平分线；基本作图4. （xx山东德州，15，4分）如图,为的平分线，则点到射线的距离为 【答案】3 【解析】因为，所以CM=3，过点C作CMOA于N，又因为为的平分线，所以CN= CM=3，即点到射线的距离为3【知识点】勾股定理，角平分线的性质5. （xx福建A卷，13，4）如图，在RtABC中，ACB=90，AB=6，D为AB的中点，则CD= _【答案】3【思路分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得出CD的值.【解析】解：在ABC中，以ACB为直角的直角三角形的斜边AB=6，CD是AB边上的中线，CD=AB=3.【知识点】直角三角形6.（xx福建A卷，15，4）把两个相同大小的含45角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，另外三角板的锐角顶点B、C、D在同一直线上，若AB=，则CD=_【答案】【思路分析】首先利用勾股定理计算出BC、AD的长，过点A作AFBC，由“三线合一”及等腰直直角三角形的性质易求得AF=CF，在直角三角形ADF中，再次利用勾股定理计算出DF的长度，问题便获得解决.【解析】解：过点A作AFBC，垂足为点F， AB=AC，CF=， AB=AC=，AD=，CF=1，C=45，AF=CF=1，.【知识点】等腰三角形的性质，勾股定理7. （xx福建B卷，13，4）如图，在RtABC中，ACB=90，AB=6，D为AB的中点，则CD= _【答案】3【思路分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得出CD的值.【解题过程】解：在ABC中，以ACB为直角的直角三角形的斜边AB=6，CD是AB边上的中线，CD=AB=3.【知识点】直角三角形8. （xx福建B卷，15，4）把两个相同大小的含45角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，另外三角板的锐角顶点B、C、D在同一直线上，若AB=，则CD=_【答案】【思路分析】首先利用勾股定理计算出BC、AD的长，过点A作AFBC，由“三线合一”及等腰直直角三角形的性质易求得AF=CF，在直角三角形ADF中，再次利用勾股定理计算出DF的长度，问题便获得解决.【解析】解：过点A作AFBC，垂足为点F， AB=AC，CF=， AB=AC=，AD=，CF=1，C=45，AF=CF=1，.【知识点】等腰三角形的性质，勾股定理9.（xx湖北省襄阳市，15，3分）已知CD是ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为= .【答案】【解析】解：分两种情况讨论：当CD在ABC内部时，如图在RtACD中，由勾股定理得AC=2.AB=2AC=4，BD=AB-AD=3.在RtBCD中，由勾股定理得，BC=.当CD在ABC外部时，如图此时，AB=4，BD=BA+AD=5,在RtABD中，由勾股定理得，BC=.综上所述，BC的长为.故答案为.【知识点】勾股定理，分类讨论思想10. （xx广西玉林，17题，3分）如图，在四边形ABCD中，B=D=90，A=60，AB=4，则AD的取值范围是_第17题图【答案】2AD8【解析】由题，A=60，AB=4，已确定，AD的长度可以变化，如下图（1），是AD最短的情况，此时AD=ABcos60=2，如下图（2），是AD最长的情况，此时AD=AB/cos60=8，而这两种情况四边形ABCD就变成了三角形，故都不能达到，故AD的取值范围是2AD8 第17题图（1） 第17题图（2）【知识点】动态问题，特殊的三角函数值三、解答题1. （xx四川广安，题号24，分值8） 下面有4张形状，大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：（1）画一个直角边为4，面积为6的直角三角形.（2）画一个底边为4，面积为8的等腰三角形.（3）画一个面积为5的等腰直角三角形.（4）画一个边长为22，面积为6的等腰三角形.第24题图【思路分析】对于（1），根据面积公式求出两条直角边即可画出图形；对于（2），根据面积公式求出底边上的高，再画出图形即可；对于（3），根据面积公式求出直角边，即可画出图形；对于（4）根据腰长为22不成立，可知以22为底边，再求出底边上的高，可画出图形.【解题过程】如图所示.（1）直角边为4，3的直角三角形；.2分（2）底边为4，底边上的高为4的等腰三角形；.4分（3）直角边为10的等腰直角三角形；.6分（4）底边为22，底边上的高为32的等腰三角形8分第24题答图【知识点】勾股定理，三角形的面积1. （xx湖北荆门，19，9分） 如图，在中，为边的中点，以为边作等边，连接，.（1）求证：；（2）若，在边上找一点，使得最小，并求出这个最小值.【思路分析】（1）首先根据E为AB边的中点可得BC=AE，根据DEB为等边三角形可得DB=DE，DEA=DBC，然后根据全等三角形的判定即可证明出结论；（2）作点E关于直线AC对称点E，连接BE交AC于点H，由作图可知：EH+BH=BE，根据勾股定理计算即可.【解题过程】（1）证明：在RtABC中，BAC=30，E为AB边为中点，BC=EA，ABC=60.DEB为等边三角形，DB=DE，DEB=DBE=60，DEA=120，DBC=120，DEA=DBC，ADECDB.（2） 解：如图，作点E关于直线AC对称点E，连接BE交AC于点H. 则点H即为符合条件的点.由作图可知：EH+BH=BE，AE=AE，EAC=BAC=30，EAE=60，EAE为等边三角形，EE=EA=AB，AEB=90，在RtABC中，BAC=30，BC=，AB=2，AE=AE=，BE=3，BH+EH的最小值为3.【知识点】等边三角形的性质，含30角的直角三角形的性质，全等三角形的判定，利用轴对称作图，勾股定理
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