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二次函数一.选择题1. （xx湖北随州3分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A.B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1直线y=x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C.D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：2a+b+c0；ab+c0；x（ax+b）a+b；a1其中正确的有（）A4个B3个C2个D1个【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c0，利用对称轴方程得到b=2a，则2a+b+c=c0，于是可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（1，0）右侧，则当x=1时，y0，于是可对进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+ca+b+c，于是可对进行判断；由于直线y=x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C.D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c3+c，然后把b=2a代入解a的不等式，则可对进行判断【解答】解：抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，抛物线的对称轴为直线x=1，b=2a，2a+b+c=2a2a+c=c0，所以正确；抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点在点（1，0）右侧，当x=1时，y0，ab+c0，所以正确；x=1时，二次函数有最大值，ax2+bx+ca+b+c，ax2+bxa+b，所以正确；直线y=x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C.D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c3+c，而b=2a，9a6a3，解得a1，所以正确故选：A【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解也考查了二次函数图象与系数的关系2. （xx湖北襄阳3分）已知二次函数y=x2x+m1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）Am5Bm2Cm5Dm2【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可【解答】解：二次函数y=x2x+m1的图象与x轴有交点，=（1）241（m1）0，解得：m5，故选：A【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键3.（xx山东东营市3分）如图所示，已知ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EFBC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x则DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）ABCD【分析】可过点A向BC作AHBC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案【解答】解：过点A向BC作AHBC于点H，所以根据相似比可知：=，即EF=2（6x）所以y=2（6x）x=x2+6x（0x6）该函数图象是抛物线的一部分，故选：D【点评】此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象4.（xx山东烟台市3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0），B（3，0）下列结论：2ab=0；（a+c）2b2；当1x3时，y0；当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x2）22其中正确的是（）ABCD【分析】根据二次函数图象与系数之间的关系即可求出答案【解答】解：图象与x轴交于点A（1，0），B（3，0），二次函数的图象的对称轴为x=1=12a+b=0，故错误；令x=1，y=ab+c=0，a+c=b，（a+c）2=b2，故错误；由图可知：当1x3时，y0，故正确；当a=1时，y=（x+1）（x3）=（x1）24将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x11）24+2=（x2）22，故正确；故选：D【点评】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是熟知二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型5.（xx上海4分）下列对二次函数y=x2x的图象的描述，正确的是（）A开口向下B对称轴是y轴C经过原点D在对称轴右侧部分是下降的【分析】A.由a=10，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；B.根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；C.代入x=0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；D.由a=10及抛物线对称轴为直线x=，利用二次函数的性质，可得出当x时，y随x值的增大而增大，选项D不正确综上即可得出结论【解答】解：A.a=10，抛物线开口向上，选项A不正确；B.=，抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；C.当x=0时，y=x2x=0，抛物线经过原点，选项C正确；D.a0，抛物线的对称轴为直线x=，当x时，y随x值的增大而增大，选项D不正确故选：C【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键6.（xx达州3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2下列结论：abc0；9a+3b+c0；若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1y2；a其中正确结论有（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案【解答】解：由开口可知：a0，对称轴x=0，b0，由抛物线与y轴的交点可知：c0，abc0，故正确；抛物线与x轴交于点A（1，0），对称轴为x=2，抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），x=3时，y0，9a+3b+c0，故正确；由于2，且（，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y2），y1y2，故正确，=2，b=4a，x=1，y=0，ab+c=0，c=5a，2c3，25a3，a，故正确故选：D【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型7.（xx遂宁4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（）ABCD【分析】利用抛物线开口方向得到a0，利用抛物线的对称轴在直线x=1的右侧得到b0，b2a，即b+2a0，利用抛物线与y轴交点在x轴下方得到c0，也可判断abc0，利用抛物线与x轴有2个交点可判断b24ac0，利用x=1可判断a+b+c0，利用上述结论可对各选项进行判断【解答】解：抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴在直线x=1的右侧，x=1，b0，b2a，即b+2a0，抛物线与y轴交点在x轴下方，c0，abc0，抛物线与x轴有2个交点，=b24ac0，x=1时，y0，a+b+c0故选：C【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数由判别式确定：=b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b24ac0时，抛物线与x轴没有交点8. （xx资阳3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有A.B.c三个字母的等式或不等式：=1；ac+b+1=0；abc0；ab+c0其中正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a0，1c0，b0，再对各结论进行判断【解答】解：=1，抛物线顶点纵坐标为1，正确；ac+b+1=0，设C（0，c），则OC=|c|，OA=OC=|c|，A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c0，ac+b+1=0，故正确；abc0，从图象中易知a0，b0，c0，故正确；ab+c0，当x=1时y=ab+c，由图象知（1，ab+c）在第二象限，ab+c0，故正确故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质，重点是学会由函数图象得到函数的性质9. （xx杭州3分）四位同学在研究函数 （b，c是常数）时，甲发现当 时，函数有最小值；乙发现 是方程 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 时， 已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B 【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值 【解析】【解答】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为:（1,3）且图像经过（2，4）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+3a+3=4解之：a=1抛物线的解析式为：y=（x-1）2+3=x2-2x+4当x=-1时，y=7，乙说法错误故答案为：B【分析】根据甲和丙的说法，可知抛物线的顶点坐标，再根据丁的说法，可知抛物线经过点（2,4），因此设函数解析式为顶点式，就可求出函数解析式，再对乙的说法作出判断，即可得出答案。10（xx临安3分）抛物线y=3（x1）2+1的顶点坐标是（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）【分析】已知抛物线顶点式y=a（xh）2+k，顶点坐标是（h，k）【解答】解：抛物线y=3（x1）2+1是顶点式，顶点坐标是（1，1）故选A【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易11. （xx湖州3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（1，2），（2，1），若抛物线y=ax2x+2（a0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A. a1或a B. aC. a或a D. a1或a【答案】A【解析】分析：根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；详解：抛物线的解析式为y=ax2-x+2观察图象可知当a0时，x=-1时，y2时，满足条件，即a+32，即a-1；当a0时，x=2时，y1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件，a，直线MN的解析式为y=-x+，由，消去y得到，3ax2-2x+1=0，0，a，a满足条件，综上所述，满足条件的a的值为a-1或a，故选：A点睛：本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型12. （xx贵州安顺3分） 已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论：；.其中正确的结论有（ ）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】B【解析】试题解析：由开口向下，可得 又由抛物线与y轴交于正半轴，可得 再根据对称轴在y轴左侧，得到与同号，则可得 故错误；由抛物线与x轴有两个交点，可得 故正确；当时， 即 （1）当时，,即 （2）（1）+（2）2得， 即 又因为所以 故错误；因为时， 时， 所以 即 所以 故正确，综上可知，正确的结论有2个.故选B13. （xx广西玉林3分）如图，一段抛物线y=x2+4（2x2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（） A6t8B6t8C10t12D10t12【分析】首先证明x1+x2=8，由2x34，推出10x1+x2+x312即可解决问题；【解答】解：翻折后的抛物线的解析式为y=（x4）24=x28x+12，设x1，x2，x3均为正数，点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限，根据对称性可知：x1+x2=8，2x34，10x1+x2+x312即10t12，故选：D14. （xx广西南宁3分）将抛物线y=x26x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）Ay=（x8）2+5By=（x4）2+5Cy=（x8）2+3Dy=（x4）2+3【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案【解答】解：y=x26x+21=（x212x）+21=（x6）236+21=（x6）2+3，故y=（x6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y=（x4）2+3故选：D【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确配方将原式变形是解题关键15. （xx黑龙江大庆3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数y=ax2+bx+c的最小值为4a；若1x24，则0y25a；若y2y1，则x24；一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为1和其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y=ax22ax3a，配成顶点式得y=a（x1）24a，则可对进行判断；计算x=4时，y=a51=5a，则根据二次函数的性质可对进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对进行判断；由于b=2a，c=3a，则方程cx2+bx+a=0化为3ax22ax+a=0，然后解方程可对进行判断【解答】解：抛物线解析式为y=a（x+1）（x3），即y=ax22ax3a，y=a（x1）24a，当x=1时，二次函数有最小值4a，所以正确；当x=4时，y=a51=5a，当1x24，则4ay25a，所以错误；点C（1，5a）关于直线x=1的对称点为（2，5a），当y2y1，则x24或x2，所以错误；b=2a，c=3a，方程cx2+bx+a=0化为3ax22ax+a=0，整理得3x2+2x1=0，解得x1=1，x2=，所以正确故选：B16. （xx黑龙江哈尔滨3分）将抛物线y=5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）Ay=5（x+1）21By=5（x1）21Cy=5（x+1）2+3Dy=5（x1）2+3【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案【解答】解：将抛物线y=5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为：y=5（x+1）21故选：A【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键17. （xx黑龙江齐齐哈尔3分）抛物线C1：y1=mx24mx+2n1与平行于x轴的直线交于A.B两点，且A点坐标为（1，2），请结合图象分析以下结论：对称轴为直线x=2；抛物线与y轴交点坐标为（0，1）；m；若抛物线C2：y2=ax2（a0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是a2；不等式mx24mx+2n0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（）A2个B3个C4个D5个【分析】利用抛物线对称轴方程可判定；与y轴相交设x=0，问题可解；当抛物线过A（1，2）时，带入可以的到2n=35m，函数关系式中只含有参数m，由抛物线与x轴有两个公共点，则由一元二次方程根的判别式可求；求出线段AB端点坐标，画图象研究临界点问题可解；把不等式问题转化为函数图象问题，答案易得【解答】解：抛物线对称轴为直线x=故正确；当x=0时，y=2n1故错误；把A点坐标（1，2）代入抛物线解析式得：2=m+4m+2n1整理得：2n=35m带入y1=mx24mx+2n1整理的：y1=mx24mx+25m由已知，抛物线与x轴有两个交点则：b24ac=（4m）24m（25m）0整理得：36m28m0m（9m2）0m09m20即m故错误；由抛物线的对称性，点B坐标为（5，2）当y2=ax2的图象分别过点A.B时，其与线段分别有且只有一个公共点此时，a的值分别为a=2.a=a的取值范围是a2；故正确；不等式mx24mx+2n0的解可以看做是，抛物线y1=mx24mx+2n1位于直线y=1上方的部分，其此时x的取值范围包含在使y1=mx24mx+2n1函数值范围之内故正确；故选：B【点评】本题为二次函数综合性问题，考查了二次函数对称轴、与坐标轴交点、对称性、抛物线与x轴交点个数判定、与抛物线有关的临界点问题以及从函数的观点研究不等式18. （xx湖北省恩施3分）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，部分图象如图所示，下列判断中：abc0；b24ac0；9a3b+c=0；若点（0.5，y1），（2，y2）均在抛物线上，则y1y2；5a2b+c0其中正确的个数有（）A2B3C4D5【分析】根据二次函数的性质一一判断即可【解答】解：抛物线对称轴x=1，经过（1，0），=1，a+b+c=0，b=2a，c=3a，a0，b0，c0，abc0，故错误，抛物线与x轴有交点，b24ac0，故正确，抛物线与x轴交于（3，0），9a3b+c=0，故正确，点（0.5，y1），（2，y2）均在抛物线上，1.52，则y1y2；故错误，5a2b+c=5a4a3a=2a0，故正确，故选：B【点评】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型18. （xx广西北海3分）2x将抛物线 y1 26x21 向左平移 2 个单位后，得到新抛物线的解析式为A. y1 8)25B. y14)252(x2(xC. y1 8)23D. y14)232(x【答案】D2(x【考点】配方法；函数图像的平移规律；点的平移规律；2x【解析】方法 1：先把解析式配方为顶点式，再把顶点平移。抛物线 y1 26x21 可配方成 y12(x6)23，顶点坐标为(6,3)因为图形向左平移 2 个单位，所以顶点向左平移 2 个2(x单位，即新的顶点坐标变为(4,3)，而开口大小不变，于是新抛物线解析式为 y14)23方法2：直接运用函数图像左右平移的“左加右减”法则。向左平移2个单位，即原来解析2(x式中所有的“x”均要变为“x2”，于是新抛物线解析式为 y12)26(x2)21，整理得 y1 24x11，配方后得 y1 4)232x2(x【点评】本题可运用点的平移规律，也可运用函数图像平移规律，但要注意的是二者的区别： 其中点的平移规律是上加下减，左减右加；而函数图像的平移规律是上加下减，左加右减。19.（xx广西贵港3分）如图，抛物线y=（x+2）（x8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作D下列结论：抛物线的对称轴是直线x=3；D的面积为16；抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；直线CM与D相切其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【分析】根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A.B坐标，由抛物线的对称性即可判定；求得D的直径AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定，过点C作CEAB，交抛物线于E，如果CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定【解答】解：在y=（x+2）（x8）中，当y=0时，x=2或x=8，点A（2，0）、B（8，0），抛物线的对称轴为x=3，故正确；D的直径为8（2）=10，即半径为5，D的面积为25，故错误；在y=（x+2）（x8）=x2x4中，当x=0时y=4，点C（0，4），当y=4时，x2x4=4，解得：x1=0、x2=6，所以点E（6，4），则CE=6，AD=3（2）=5，ADCE，四边形ACED不是平行四边形，故错误；y=x2x4=（x3）2，点M（3，），设直线CM解析式为y=kx+b，将点C（0，4）、M（3，）代入，得：，解得：，所以直线CM解析式为y=x4；设直线CD解析式为y=mx+n，将点C（0，4）、D（3，0）代入，得：，解得：，所以直线CD解析式为y=x4，由=1知CMCD于点C，直线CM与D相切，故正确；故选：B【点评】本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是掌握抛物线的顶点坐标的求法和对称轴，平行四边形的判定，点是在圆上还是在圆外的判定，切线的判定等20.（xx贵州贵阳3分）已知二次函数 y = - x 2 + x + 6 及一次函数 y = - x + m ，将该二次函数在 x 轴上方的图像沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新函数（如图所 示），当直线 y = - x + m 与新图像有 4 个交点时， m 的取值范 围是（ D ）（A） - 25 m 34（B） - 25 m 24（C） - 2 m 3（D） - 6 m -2【解】图解故选 D21. （xx湖南长沙3.00分）若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax2a总不经过点P（x03，x0216），则符合条件的点P（）A有且只有1个B有且只有2个C有且只有3个D有无穷多个【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax2a总不经过点P（x03，x0216），即可求得点P的坐标，从而可以解答本题【解答】解：对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax2a总不经过点P（x03，x0216），x0216a（x03）2+a（x03）2a（x04）（x0+4）a（x01）（x04）（x0+4）a（x01）x0=4或x0=1，点P的坐标为（7，0）或（2，15）故选：B【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答22.（xx上海4分）下列对二次函数y=x2x的图象的描述，正确的是（）A开口向下B对称轴是y轴C经过原点D在对称轴右侧部分是下降的【分析】A.由a=10，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；B.根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；C.代入x=0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；D.由a=10及抛物线对称轴为直线x=，利用二次函数的性质，可得出当x时，y随x值的增大而增大，选项D不正确综上即可得出结论【解答】解：A.a=10，抛物线开口向上，选项A不正确；B.=，抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；C.当x=0时，y=x2x=0，抛物线经过原点，选项C正确；D.a0，抛物线的对称轴为直线x=，当x时，y随x值的增大而增大，选项D不正确故选：C【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键23. （xx达州3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2下列结论：abc0；9a+3b+c0；若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1y2；a其中正确结论有（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案【解答】解：由开口可知：a0，对称轴x=0，b0，由抛物线与y轴的交点可知：c0，abc0，故正确；抛物线与x轴交于点A（1，0），对称轴为x=2，抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），x=3时，y0，9a+3b+c0，故正确；由于2，且（，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y2），y1y2，故正确，=2，b=4a，x=1，y=0，ab+c=0，c=5a，2c3，25a3，a，故正确故选：D【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型24. （xx遂宁4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（）ABCD【分析】利用抛物线开口方向得到a0，利用抛物线的对称轴在直线x=1的右侧得到b0，b2a，即b+2a0，利用抛物线与y轴交点在x轴下方得到c0，也可判断abc0，利用抛物线与x轴有2个交点可判断b24ac0，利用x=1可判断a+b+c0，利用上述结论可对各选项进行判断【解答】解：抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴在直线x=1的右侧，x=1，b0，b2a，即b+2a0，抛物线与y轴交点在x轴下方，c0，abc0，抛物线与x轴有2个交点，=b24ac0，x=1时，y0，a+b+c0故选：C【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数由判别式确定：=b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b24ac0时，抛物线与x轴没有交点25. （xx资阳3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有A.B.c三个字母的等式或不等式：=1；ac+b+1=0；abc0；ab+c0其中正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a0，1c0，b0，再对各结论进行判断【解答】解：=1，抛物线顶点纵坐标为1，正确；ac+b+1=0，设C（0，c），则OC=|c|，OA=OC=|c|，A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c0，ac+b+1=0，故正确；abc0，从图象中易知a0，b0，c0，故正确；ab+c0，当x=1时y=ab+c，由图象知（1，ab+c）在第二象限，ab+c0，故正确故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质，重点是学会由函数图象得到函数的性质二.填空题1. （xx乌鲁木齐4分）把拋物线y=2x24x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 【分析】将原抛物线配方成顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得【解答】解：y=2x24x+3=2（x1）2+1，向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+11）2+1=2x2+1，故答案为：y=2x2+1【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”2.（xx江苏淮安3分）将二次函数y=x21的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是y=x2+2【分析】先确定二次函数y=x21的顶点坐标为（0，1），再根据点平移的规律得到点（0，1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式【解答】解：二次函数y=x21的顶点坐标为（0，1），把点（0，1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2故答案为：y=x2+2【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式3.（xx江苏苏州3分）如图，已知AB=8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，DAP=60M，N分别是对角线AC，BE的中点当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为2（结果留根号）【分析】连接PM、PN首先证明MPN=90设PA=2a，则PB=82a，PM=a，PN=（4a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；【解答】解：连接PM、PN四边形APCD，四边形PBFE是菱形，DAP=60，APC=120，EPB=60，M，N分别是对角线AC，BE的中点，CPM=APC=60，EPN=EPB=30，MPN=60+30=90，设PA=2a，则PB=82a，PM=a，PN=（4a），MN=，a=3时，MN有最小值，最小值为2，故答案为2【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题4. （xx乌鲁木齐4分）把拋物线y=2x24x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 【分析】将原抛物线配方成顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得【解答】解：y=2x24x+3=2（x1）2+1，向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+11）2+1=2x2+1，故答案为：y=2x2+1【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”5. （xx湖州4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a0）交于点B若四边形ABOC是正方形，则b的值是2【分析】根据正方形的性质结合题意，可得出点B的坐标为（，），再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于b的方程，解之即可得出结论【解答】解：四边形ABOC是正方形，点B的坐标为（，）抛物线y=ax2过点B，=a（）2，解得：b1=0（舍去），b2=2故答案为：2【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于b的方程是解题的关键6. （xx黑龙江哈尔滨3分）抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为（2，4）【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标【解答】解：y=2（x+2）2+4，该抛物线的顶点坐标是（2，4），故答案为：（2，4）【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标7.（xx福建A卷4分）如图，直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，BCx轴，ACy轴，则ABC面积的最小值为6【分析】根据双曲线y=过A，B两点，可设A（a，），B（b，），则C（a，）将y=x+m代入y=，整理得x2+mx3=0，由于直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，所以A.b是方程x2+mx3=0的两个根，根据根与系数的关系得出a+b=m，ab=3，那么（ab）2=（a+b）24ab=m2+12再根据三角形的面积公式得出SABC=ACBC=m2+6，利用二次函数的性质即可求出当m=0时，ABC的面积有最小值6【解答】解：设A（a，），B（b，），则C（a，）将y=x+m代入y=，得x+m=，整理，得x2+mx3=0，则a+b=m，ab=3，（ab）2=（a+b）24ab=m2+12SABC=ACBC=（）（ab）=（ab）=（ab）2=（m2+12）=m2+6，当m=0时，ABC的面积有最小值6故答案为6【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点也考查了函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，三角形的面积，二次函数的性质8（xx贵州黔西南州3分）已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0） x1012y0343【分析】根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可【解答】解：抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，对称轴x=1；点（1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）故答案为：（3，0）【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性9.（xx贵州遵义4分）如图抛物线y=x2+2x3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D.E.F分别是BC.BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为【分析】直接利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置，再求出AO，CO的长，进而利用勾股定理得出答案【解答】解：连接AC，交对称轴于点P，则此时PC+PB最小，点D.E.F分别是BC.BP、PC的中点，DE=PC，DF=PB，抛物线y=x2+2x3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，0=x2+2x3解得：x1=3，x2=1，x=0时，y=3，故CO=3，则AO=3，可得：AC=PB+PC=3，故DE+DF的最小值为：故答案为：10. （xx乌鲁木齐4分）把拋物线y=2x24x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 【分析】将原抛物线配方成顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得【解答】解：y=2x24x+3=2（x1）2+1，向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+11）2+1=2x2+1，故答案为：y=2x2+1【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”三.解答题1. （xx湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市10分）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？【分析】（1）根据线段EF经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（2）显然，当0x50时，y2=70；当130x180时，y2=54；当50x130时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n，利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（3）利用：总利润=每千克利润产量，根据x的取值范围列出有关x的二次函数，求得最值比较可得【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b，经过点（0，168）与（180，60），解得：，产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1=x+168（0x180）；（2）由题意，可得当0x50时，y2=70；当130x180时，y2=54；当50x130时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n，直线y2=mx+n经过点（50，70）与（130，54），解得，当50x130时，y2=x+80综上所述，生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y2=；（3）设产量为xkg时，获得的利润为W元，当0x50时，W=x（x+16870）=（x）2+，当x=50时，W的值最大，最大值为3400；当50x130时，W=x（x+168）（x+80）=（x110）2+4840，当x=110时，W的值最大，最大值为4840；当130x180时，W=x（x+16854）=（x95）2+5415，当x=130时，W的值最大，最大值为4680因此当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型2. （xx湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市12分）抛物线y=x2+x1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D将抛物线位于直线l：y=t（t）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象（1）点A，B，D的坐标分别为（，0），（3，0），（，）；（2）如图，抛物线翻折后，点D落在点E处当点E在ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m，分m或m3及m3两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，进而可找出点P的坐标，此题得解【解答】解：（1）当y=0时，有x2+x1=0，解得：x1=，x2=3，点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3，0）y=x2+x1=（x2x）1=（x）2+，点D的坐标为（，）故答案为：（，0）；（3，0）；（，）（2）点E.点D关于直线y=t对称，点E的坐标为（，2t）当x=0时，y=x2+x1=1，点C的坐标为（0，1）设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，将B（3，0）、C（0，1）代入y=kx+b，解得：，线段BC所在直线的解析式为y=x1点E在ABC内（含边界），解得：t（3）当x或x3时，y=x2+x1；当x3时，y=x2x+1假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m当m或m3时，点Q的坐标为（m，x2+x1）（如图1），以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，CPPQ，CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2+m）2=m2+1+m2+（m2+m1）2，整理，得：m1=，m2=，点P的坐标为（，0）或（，0）；当m3时，点Q的坐标为（m，x2x+1）（如图2），以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，CPPQ，CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2m+2）2=m2+1+m2+（m2m+1）2，整理，得：11m228m+12=0，解得：m3=，m4=2，点P的坐标为（，0）或（1，0）综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）【点评】本题考查了一次（二次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A.B的坐标；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征结合点E在ABC内，找出关于t的一元一次不等式组；（3）分m或m3及m3两种情况，找出关于m的一元二次方程3. （xx湖北随州11分）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1x15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：天数（x）13610每件成本p（元）7.58.51012任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y=设李师傅第x天创造的产品利润为W元（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？（3）任务完成后统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金请计算李师傅共可获得多少元奖金？【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：（2）根据题意和题目中的函数表达式可以解答本题；（3）根据（2）中的结果和不等式的性质可以解答本题【解答】解：（1）设p与x之间的函数关系式为p=kx+b，解得，即p与x的函数关系式为p=0.5x+7（1x15，x为整数），当1x10时，W=20（0.5x+7）（2x+20）=x2+16x+260，当10x15时，W=20（0.5x+7）40=20x+520，即W=；（2）当1x10时，W=x2+16x+260=（x8）2+324，当x=8时，W取得最大值，此时W=324，当10x15时，W=20x+520，当x=10时，W取得最大值，此时W=320，324320，李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元；（3）当1x10时，令x2+16x+26
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