2019-2020年八年级数学 变量与函数教案一.doc

2019-2020年八年级数学 变量与函数教案一教学目标：通过分析生活实例从而了解变量、常量的意义，培养学生分析问题的能力与归纳思维的能力。教学重点： 能分清什么是变量、常量。教学难点：在实际问题中变量与常量的区分。教学过程：一、情境导入“万物皆变” 行星在宇宙中的位置随时间而变化；气温随海拔而变化；汽车行驶里程随行驶时间而变化这种一处量随另一个的变化而变化的现象而大量存在。今天我们来看一看这种变化在生活中的体现。二、探索新知识1出示问题：（1）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影受出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y?(2)在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量 m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度l（单位：cm）？（3）要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆的半径r?（4）用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化。记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的长为xm,面积为Sm2,怎样用含x的式子表示S？2 归纳总结：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）.数值始终不变的量为常量。三、应用新知，反馈训练1、例：写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量。一辆汽车以40千米/小时的速度行驶，写出行驶路程s(千米)与行驶时间t(时)的关系式。一辆汽车行驶5小时，写出行驶路程s(千米)与行驶速度v(千米/小时)之间的关系式。圆的面积随着半径的增大而增大如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足的关系式。n边形的内角和S与边数n的关系式2、反馈练习：写出下列各问题中的关系式，并指出其中的变量与常量。若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，写出购买报纸的总价y（元）与x份间的关系； 若直角三角形中的一个锐角的度数为，写出另一个锐角(度)与间的关系式； 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式。3、让学生举出生活中一些变化的例子。四、小结： 学生对本节课的内容进行总结与回顾。本节课作你学到了什么？你有什么收获？五、作业：11.1.2函数（1）教学目标：1、通过对一些问题的分析，初步掌握函数的概念，能正确区分变量与常量，理解它们的相对性，能正确的判断一些解析式是否是函数，能列出简单的函数解析式，了解函数的三种表示方法。2、通过对一些问题的分析，对比、归纳函数的概念并在此基础上深刻理解函数的概念。3、学生通过积极参与课堂，对问题的分析，感受现实生活中函数的普遍性，体会事物之间的相互联系。教学重点：函数概念的归纳与理解。教学难点：函数概念的归纳与理解。教学过程：一、情境导入在生活中有很多量是相互关联、相互制约与变化的。比如同学们的身高与年龄的之间关系；一个灯泡的用电量与用电时间之间的关系。二、探究新知1、先看几个例子：例1、一辆汽车以40千米/小时的速度行驶，写出行驶路程s(千米)与行驶时间t(时)的关系式。例2、一辆汽车行驶5小时，写出行驶路程s(千米)与行驶速度v(千米/小时)之间的关系式。例3、(书P25) 问题4 圆的面积随着半径的增大而增大如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S_例4、某水库的存水量Q(万立方米)与h(米)之间的对应关系经过测定如下表所示(h是指水深最深处的水深)：水深h(米)051015202530存水量Q(万立方米)02550150257441600学生动手实践。小组交流。探究规律：在上面的问题中，我们研究了一些数量间的变化规律，他们都刻画了某些变化规律。分析：S40t。其中s与t是发生变化，这样的量叫变量，不变的40是常量。问：在中S5v的变量与常量分别是什么？这里说明，变量是随不同的问题而有所不同，在这个式子中是变量，也许在其它式子中就是常量，也就是说一个量是否是变量，是相对的，要视具体的问题而定。同时在这里也表明了常量也是相对的。师：在Sr2中的变量与常量分别是什么？师：在例4、例5中的变量分别是什么？师：在一个问题中有两个变量。归纳总结一般地，在一个变化过程中有两个变量，例如x和y。如果对于x的每一个值y都有唯一值与之对应，把y叫做x的函数。请判断这些式子是否是函数？yx1y2x23x2y2x1对于x的每一个值y有可能两个值与之相对应。比如x1时，y1。因此它不是函数。从前面的问题中和对函数的概念的探讨中我们得出：一个变化过程中有两个变量。函数与自变量之间是一种对应关系，并且要求对于x的每一个值y都有唯一的值与之相对应。自变量有一定的取值范围；自变量与函数是可以互相转化的，是相对的，但一般情况下约定y是函数，x是自变量；常量与变量也是相对的。三、应用新知，反馈练习1、例：写出下列函数关系式，并指出式中的变量与常量。每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y（元）与学生数n（个）的关系；计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n（个）与单价a（元）的关系2、课本P9练习四、小结学生对本节课的内容进行总结与回顾。本节课作你学到了什么？你有什么收获？五、作业：P10T1T2（2）教学目标一、知识技能目标1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制；2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.二、过程性目标1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识； 2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法教学过程一、创设情境问题1 填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式解 如图能发现涂黑的格子成一条直线函数关系式：y10x问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式解 y与x的函数关系式：y1802x二、探究归纳思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？分析 问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围问题2，因为三角形内角和是180,所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90解 (1)问题1，自变量x的取值范围是：1x9；问题2，自变量x的取值范围是：0x90； (2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：s60t， SR2在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义例如，函数解析式SR2中自变量R的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系，那么自变量R的取值范围就应该是R0对于函数 yx(30x)，当自变量x5时，对应的函数y的值是y5(305)525125125叫做这个函数当x5时的函数值三、实践应用例1 求下列函数中自变量x的取值范围：(1) y3x1；(2) y2x27；(3)；(4)分析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值例如，在(1)，(2)中，x取任意实数，3x1与2x27都有意义；而在(3)中，x2时，没有意义；在(4)中，x2时，没有意义解:略归纳 四个小题代表三类题型(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式例2 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：(1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式；(2)已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x(cm)，求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式；(3)在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环设圆环的面积为S(cm2)，求S关于r的函数关系式解 (1) y0.50x，x可取任意正数；(2)，x可取任意正数；(3)S100r2，r的取值范围是0r10例4 求下列函数当x = 2时的函数值：(1)y = 2x-5 ；(2)y =3x2 ；(3)； (4)分析函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值解 (1)当x = 2时，y = 225 =1；(2)当x = 2时，y =322 =12；(3)当x = 2时，y = 2； (4)当x = 2时，y = 0四、交流反思1.求函数自变量取值范围的两个依据：(1)要使函数的解析式有意义函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母0；函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数0(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值五、检测反馈1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：(1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm求y和x间的关系式；(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式；(3)矩形的周长为12 cm，求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm时这个矩形的面积2.求下列函数中自变量x的取值范围：(1)y2x5x2；(2)； (3)3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离s（米）由下式给出：s10t2t2假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？4.当x2及x3时，分别求出下列函数的函数值：(1) y(x+1)(x2)；(2)y2x23x2； (3)（3）教学目标：1、知识与技能目标：进一步理解函数的概念，会写出一些简单的函数解析式，写出一些简单的实际问题中自变量的取值范围。2、过程与方法目标：通过对一些问题的分析，讨论与解决，体会如何写出解析式。3、情感与态度目标：学生通过积极参与，感受写出量与量之间的关系的快乐。教学重难点教学重点：函数概念的进一步理解与就实际问题写出解析式。教学难点：在实际问题中写出解析式教学过程：一、复习提问：1、什么是函数？一般地，在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个值y都有唯一的值与之相对应，由把y叫做x的函数。对它的理解要注意：A、涉及到两个变量，变量和常量是相对的。B、自变量也函数也是相对的，一般情况下，没有特别说明，y是函数，x是自变量。C、函数与自变量之间是一咱对应关系。D、对于x的每一个值y都有唯一的值与之相对应。判断下列是否是函数：yx24x12y2x|y|x1E、函数中的自变量有一定的取值范围，这个取值范围是函数的一个有机的组成部分，因此今后在求函数的解析式时，一定要思考它的自变量的取值范围。否则这个函数将是不完整的。二、典例分析例题1：银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是xx年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的例题2：收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的下面是一些对应的数值：观察上表回答：(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?(2)波长l越大，频率f 就_例题3、下表是某市xx年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?例题4、写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：(1)圆的周长C与半径r的关系式；(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；(3)n边形的内角和S与边数n的关系式三、应用巩固1、写出下列各问题中的关系式，并指出其中的变量与常量。(1)三角形的一边长5cm，写出。它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式； (2) 若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，写出购买报纸的总价y（元）与x份间的关系；(3) 若直角三角形中的一个锐角的度数为，写出另一个锐角(度)与间的关系式； (4)试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式。解：(1)(h0)，是常量，S，h是变量；(2) yax(x是非负整数)， a是常量，y、x是变量；(3) 90(090)，90是常量，、是变量；(4)y1802x(090，180/2是常量，y、x是变量；2、写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与常量：(1)每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y（元）与学生数n（个）的关系；(2)计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n（个）与单价a（元）的关系(3)填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑若用x表示涂黑的格子横向的加数，y表示纵向的加数，试写出y关于x的函数关系式四、课外思考：用60cm的篱笆围成矩形，使矩形一边靠墙，另三边用篱笆围成。1、写出矩形面积s(m2)与平行于墙的一边长为x(m)的关系式；2、写出矩形面积s(m2)与垂直于墙的一边长为x(m)的关系式。并指出两式中的常量与变量，函数与自变量。（4）教学目标1、通过应用练习巩固对已有知识，使学生能学以致用。2、提高学生解题的技巧和能力。教学重点知识点的应用教学过程一、教学例题例1、一辆汽车以40千米/小时的速度行驶，写出行驶路程s(千米)与行驶时间t(时)的关系式。例2、一辆汽车行驶5小时，写出行驶路程s(千米)与行驶速度v(千米/小时)之间的关系式。例3、圆的面积随着半径的增大而增大如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S_利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_二、巩固练习1、如图所示,ABC底边BC上的高是6厘米.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点C运动时,三角形的面积发生了变化. （1）在这个变化过程中,自变量是_,因变量是_。如果三角形的底边长为x (厘米),那么三角形的面积y (厘米2)可以表示为_当底边长从12厘米变化到3厘米时,三角形的面积从_厘米2变化到_厘米2。2、如图所示,圆锥的底面半径是2 厘米,当圆锥的高由小到大变化时,圆锥的体积也随之而发生了变化.（1）在这个变化过程中，自变量是_,因变量是_。（2）如果圆锥的高为h (厘米),那么圆锥的体积V(厘米3)与h 的关系式是_（3） 当高由1 厘米变化到10厘米时,圆锥的体积由_厘米3变化到_厘米3。3、如图所示,长方形的长为12,宽为x,则（1）若设长方形的面积S,则面积S与宽x之间有什么关系? （2）若用C表示长方形的周长,则周长C与宽x之间有什么关系? （3）当x增加一倍时,长方形的面积S 是如何变化的?周长C又是如何变化的?说一说你为什么会这样认为? 当x为何值时,长方形会变成一条线段?11.1.3函数的图象（1）教学目标1、从学生熟悉的情境出发，经历从图中分析变量之间关系的过程，理解函数图象的意义会对实际生活中的例子用两变量之间关系的图象进行描述表达，初步认识函数与图象的对应关系2、学会观察图象、识别图象及理解图象所表示的含义了解图象的意义及其与实际轨道之间的关系和区别3、渗透数形结合思想，体会到数学来源于生活，又应用于生活培养学生的团结作精神、探索精神和合作交流的能力教学重点与难点把实际问题转化为函数图象，再根据图象来研究实际问题教学过程一、提出问题下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京春季某天气温T如何随时间t的变化而变化你从下图中得到哪些信息？ 在学生充分发表自己的意见的基础上，师生共同归纳得出：气温T是时间t的函数由图象可知： （ 1）这一天凌晨4时气温最低（3）， 14时气温最高（8）； （2）从0时至4时气温呈下降状态，（即温度随时间的增长而下降），从4时到14时气温呈上升状态，从14时至以时气温又呈下降状态；（3）我们可以从图象中看出，这一天任一时刻的气温大约是多少；（4）如果长期观察这样的气温图象，我们就能得到更多的信息，掌握更多的气温变化规律二、探究新知1有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图象来直观地反映例如，用自动测温仪记录的图象表示气温与时间的关系即使对于能列式子表示的函数关系，如果画图表示则会使函数关系更为清晰2函数的图象问题：写出正方形的边长X与面积S的函数关系式，并确定自变量x的取值范围在学生完成这个问题的解答后，师生共同探讨利用在坐际系中画图的方法来表示S与X的关系教师在讲解教科书第10页函数S图象的画法后，指出：一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对付应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象通过图象，我们可以数形结合地研究函数三、巩固新知做一做：教科书第16页练习第2题四、解决问题下面的图象反映的过程是：小明从家里出发去菜地浇水，又去五米地锄草，然后回家其中x表示时间，y表示小明离他家的距离根据图象回答下列问题：1菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？2小明给菜地浇水用了多少时间？3菜地离玉米地多远？小明从菜地走到玉米地用了多少时间？4小明给玉米地锄草用了多少时间？5玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？五、总结归纳：围绕下面两点，以师生共同交流的方式进行归纳：（1）函数图象会使函数关系更为清晰，怎样画出函数的图象呢？（2）如何根据函数图象中获得的信息来研究实际问题？六、布置作业1必做题：教科书第19页习题11.1第5题2选做题：教科书第19页习题11.l第7题3备选题：（1）柿子熟了，从树上落下来下面的哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中的速度变化情况？ （2）教学目标1、学会用描点法画出简单函数的图象，初步了解函数关系式与函数图象之间的关系。2、渗透数形结合思想，让学生学会函数图象的基本画法。3、引导学生积极参与实验与探索活动，体验探索的快乐并从中获得成功的体验通过细心画图，培养严谨细致的学习作风。教学重点与难点重点：了解画函数图象的一般步骤，画出简单函数的图象。难点：函数关系式与函数图象之对应关系。教学过程一、提出问题 在下列式子中，对于x的每一确定的值，y有惟一的对应值，即y是x的函数你能画出这些函数的图象吗？yx0.5二、探究新知l分组讨论这两个函数图象的画法，然后每人自己动手画出这两个函数的图象，先在组内交流各自所画的图象，然后每组选出一个同学所画的图象进行交流。看看你画出的图象与教科书上图11.l6、图11.l7相同吗？ 2师生共同探讨下列问题： （1）观察函数yx0.5的图象，可以看出直线从左向右上升，即当x由小变大时，yx0.5随之增大；观察函数（xO）的图象，可以看出曲线从左向右下降，即当x由小变大时，随之减小。 （2）描点法画函数图象的一般步骤如下：第一步：列表；（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）第二步：描点；（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来）三、讨论交流教科书第15页“思考”的两个问题。四、巩固新知1画出函数y2x1的图象。判断：点A（2.5，4）、点B（1，3）、点C（2.5，4）是否在函数y2x1的图象上。2画出函数yx2的图象从图象中观察，当x0时，y随x增大而增大呢，还是y随x增大而减小？当x0时呢？五、总结归纳以问题的形式要求学生思考、交流：1作函数图象的三个步骤分别是什么？2如何从图象中了解函数的变化情况？六、布置作业1必做题：教科书第19页第6题。2选做题：教科书第20页第10题。3备选题：（1）画出函数y3x的图象。（2）在同一直角坐标系中画出函数yx与yx6的图象；观察这两个图象的位置关系如何。（3）教学目标1、运用丰富的实例，帮助学生全面理解函数的三种表示方法。2、通过观察、作图、交流、归纳等数学实践活动，使学生加深对函数三种表示方法的认识，提高把实际问题转化为数学问题的能力3、让学生通过实际操作，体会函数的三种表示方法在实际生活中的应用价值，以激发学生对数学的学习兴趣教学重点与难点重点：函数的三种表示方法及其应用难点：函数的三种表示方法的应用教学过程一、提出问题实验演示：倾斜木板，将小车置于木板顶端，观察小车下滑过程小车沿斜坡下滑，下滑速度与其下滑时间的关系如上图所示1填写下表：2写出V与t之间的关系式二、探究新知1通过学习，我们已经知道可以用列表格、写式子和画讨论：从前面的例子来看，你认为这三种表示方法各有什么优点？ 分组活动先独立思考，然后组内交流并作记录，最后各组选派代表汇报2注意：表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法 图象的方法来表示函数这三种表示函数的方法分别被称为列表法、解析式法和图象法为了全面地认识问题，有时需要几种方法同时运用 讲解教科书第17页例4 问题1：观察记录表中的6组数值，你认为这两个变量之间有什么关系？ 问题2：请你写出水位高度y（米）随时间x（时）变化的函数解析式 问题3：请你画出这个函数的图象 问题4：请你预测一下，再过2小时，水位高度将达到多少米？三、巩固新知教科书第18页练习第1、2题四、解决问题 某电视机厂要印制一批产品宣传资料甲厂提出：每份资料收1元印制费，所有资料另收1500元的制版费；乙厂提出：每份资料收2.5元印制费，不收制版费 1分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式 2在同一直角坐标系内作出它们的图象 3根据图象回答以下问题： （1）印制 800份宣传资料，选择哪家印刷厂比较合算？ （2）电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传资料，选择哪家印刷厂宣传资料能多印一些？五、总结归纳教师强调，本节课主要学习了函数的三种表示方法：列表法、解析式法和图象法以及各自的优点特别提醒：函数的不同表示方法之间是可以转化的六、作业1必做题：教科书第 20页第11题2选做题：教科书第20页第12题3备选题：（1）某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千米耗油9升完成下表：写出x与y之间的关系式（2）作出函数y32x的图象，根据图象回答以下问题：y值随值的增大而图象与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是当x0时，y0（4）知识技能目标1.使学生掌握用描点法画实际问题的函数图象； 2.使学生能从图形中分析变量的相互关系，寻找对应的现实情境，预测变化趋势等问题过程性目标； 通过观察实际问题的函数图象,使学生感受到解析法和图象法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思想教学过程一、创设情境问题 王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时）问题1、图中有一个直角坐标系，它的横轴（x轴）和纵轴（y轴）各表示什么？2、如图，线段上有一点P，则P的坐标是多少？表示的实际意义是什么？我们能否从图象中看出其它信息呢？二、探究归纳看上面问题的图，回答下列问题：(1)小强让爷爷先上多少米？(2)山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？解 (1)小强让爷爷先上60米；(2)山顶离山脚的距离有300米，小强先爬上山顶归纳 在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标意义如图中的P(3,90)，这一点表示小强爬山3分后，离开山脚的距离90米再从图形中分析两变量的相互关系，寻找对应的现实情境如图中的两条线段都可以看出随着自变量x的逐渐增大，函数值y也随着逐渐增大，再联系现实情境爬山所用时间越长，离开山脚的距离越大，当x达到最大值时，也就是到达山顶三、实践应用例1 王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习，在某处按函数关系式击球，球正好进洞其中，y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离(1)试画出高尔夫球飞行的路线；(2)从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少？球的起点与洞之间的距离是多少？解 (1)列表如下：在直角坐标系中，描点、连线，便可得到这个函数的大致图象(2)高尔夫球的最大飞行高度是3.2 m，球的起点与洞之间的距离是8 m例2 小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系请你由图具体说明小明散步的情况解 小明先走了约3分钟，到达离家250米处的一个阅报栏前看了5分钟报，又向前走了2分钟，到达离家450米处返回，走了6分钟到家四、交流反思1.画实际问题的图象时，必须先考虑函数自变量的取值范围有时为了表达的方便，建立直角坐标系时，横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致；2.在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义然后观察图形，分析两变量的相互关系，给合题意寻找对应的现实情境五、检测反馈1.下图为世界总人口数的变化图.根据该图回答：(1)从1830年到xx年，世界总人口数呈怎样的变化趋势？(2)在图中，显示哪一段时间中世界总人口数变化最快？2.一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是( )3.已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm(1)写出y与x的函数关系式；(2)求自变量x的取值范围；(3)画出这个函数的图象4.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里他离开家后的距离S（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示根据这个图象回答下列问题：(1)小李到达离家最远的地方是什么时间？(2)小李何时第一次休息？(3)10时到13时，小骑了多少千米？(4)返回时，小李的平均车速是多少？（5）教学目标1、让学生在应用训练中对函数图象所表示的意义有进一步的认识。2、进一步认识到函数三种表示方法的互相转化。教学重难点提高对函数图象表示意义的判断能力教学过程一、典例精析例1如图是某人从A地到B地的行车时间与所行路程之间的关系的图象。根据图象回答：他从A地到B地共用多少时间？他在路上休息了多少时间？他走了4小时时，离B地还有多少路程？例2如图是反映某水库的蓄水量V（万米3）随着干旱持续时间t（天）变化的图象，根据图象填空。水库原有水量 万米3，干旱连续10天，水库蓄水量为 。蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，则连续干旱 天将发出严重干旱警报。持续干旱 天水库将干涸。例3小明粉刷他的卧室共用去10小时，他记录的完成工作量的百分数如下表：时间12345678910完成百分数525355050657080951005小时后他完成工作量的百分数是多少？哪一个时段工作效率最高？其次呢？如果他从早上8点开始工作，那么他是什么时候休息的？例4下表列出了一项实验的统计数据，表示皮球从高处落下，弹跳高度b(厘米)与下落高度d(厘米)之间的关系，根据表格中的数据，写出这种关系的关系式d5080100150b25405075二、应用练习1、如图，反映了甲离开A的时间与离A地的距离的关系，反映了乙离开A地的时间与离A地的距离之间的关系，根据图象填空：当时间为2小时时，甲离A地 千米，乙离A地 千米。当时间为6小时时，甲离A地 千米，乙离A地 千米。当时间 时，甲、乙两人离A地距离相等。当时间 时，甲在乙的前面，当时间 时，乙超过了甲。对应的函数表达式为 ，对应的函数表达式为 。2、晚报2001年4月12日报道了“养老保险执行新标准”的消息，某中学数学课外活动小组根据消息中提供的数据，绘制出某市区企业职工养老保险个人月缴费y（元）随个人月工资x（元）变化的图象（如图），请你根据图象解决下列的问题：（1）张总工程师五月份工资是3000元，这月他个人应缴养老保险 元；(2)小王五月份工资为500元，这月他个人应缴养老保险 元。3、杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润扬”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：买进每份元，卖出每份元；一个月内（以30天计），有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份；一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸，以每元退回给报社；（1）填表：一个月内每天买进该种晚报的份数100150当月利润（单位：元）（2）设每天从报社买进该种晚报份（）时，月利润为元，试求出与的函数关系式，并求月利润的最大值11.2.1正比例函数教学目标1、通过对不同背景下函数模型（关系式）的比较，接受正比例函数的概念2、在用描点法画正比例函数图象的过程中发现正比例函数的性质3、利用发现的性质简便地画出正比例函数的图象4、初步体验研究函数的一般思路与方法教学重点与难点重点：正比例函数的概念、图象与性质难点：体验研究函数的一般思路与方法教学过程一、概念的引出1出示教科书第22页的问题先出示问题背景，再逐一提出问题、。问题的解决可由一位学生回答，其他学生补充进行说明：以上我们用函数y=200x对燕鸥的飞行路程问题进行了刻画尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型2此类模型在生活中广泛存在出示教科书第23页的问题：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？通过讨论、归纳形成共识，给出正比例函数的概念一般地，形如 ykx（k是常数，k0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数上述问题中各正比例函数的比例系数分别是什么？二、认识的扩大我们知道，函数图象可以直观、清晰地表示函数关系正比例函数的解析式具有共同的结构，那么它们的图象是否也有某种必然的共同之处呢？1画出下列正比例函数的图象：（1）y2x（2）y2x学生通过列表、描点、连线画出图象，使用课前准备好的方格子纸（或由教师统一发下）可以节约时间提高效率2比较上面两个函数的图象的相同点与不同点，你发现它们具有怎样的规律了吗？让学生充分发表意见，鼓励百家争鸣、各抒己见教师暂时不做评判，对于争论最好的办法是让学生自己想办法验证解决引导学生思考：这种规律对其他正比例函数适用吗？具有一般规律吗？3适时引导学生继续尝试：练习：在同一个坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较：（1）yx（2）yx4达成共识：一般地，正比例函数ykx（k是常数，k0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线ykx。当k0时，直线ykx经过第一、三象限，从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k0时，直线ykx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。三、认识的深化1经过原点与点（1，3）的直线是哪个函数的图象？若经过原点与点（ 1，4）呢？你发现了什么？2画正比例函数的图象时，怎样画最简便？为什么？以上问题逐一出示，由学生思考后回答，避免让思维快的学生影响思维慢的学生。3用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：（1）yx（2）y3x四、小结归纳1在本节课中，我们经历了怎样的过程？有怎样的收获？2在以后的学习中，我们将继续这样的思路来研究各种具体的函数，根据它们共同的结构给它们取名，画出它们的图象与研究它们的性质五、作业1必做题：教科书第35页习题11.2第1、2题2选做题：正比例函数y（m1）x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（）A、m1B、m1C、m1D、m111.2.2一次函数（1）教学目标1、理解一次函数与正比例函数的概念以及它们的关系，在探索过程中，发展抽象思维及概括能力，体验特殊和一般的辩证关系2、能根据问题信息写出一次函数的表达式能利用一次函数解决简单的实际问题3、经历利用一次函数解决实际问题的过程，逐步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力教学重点与难点重点：一次函数、正比例函数的概念及关系会根据已知信息写出一次函数达式难点：理解一次函数、正比例函数概念及关系在探索过程中，发展及概括能力教学过程一、复习与反思1复习：函数与正比例函数的概念和它们之间的关系2问题：某登山队大本营所在地的气温为15海拔每升高1km气温下降6，登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y试用解析式表示y与x的关系3反思：这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有什么不同？这种形式的函数还会有吗？二、概念的形成1下列问题中变量问的对应关系可用怎样的函数表示？出示教科书第27页问题逐一出示题目并由学生完成此处不必对自变量取值范围作深入追究，重在正确得出关系式2思考：上面这些函数有什么共同点？引导学生自己得出上面这些函数的形式都是自变量的是k（常数）倍与一个常数的和并把它们抽象为ykxb的形式3抽取共性，形成概念一般地，形如ykxb（k、b是常数，k0）的函数，叫做一次函数4回顾反思，追求统一本节涉及的函数y156x，c7t35，gh105，y0.01x22，y5x50都不符合正比例函数的结构，都不是正比例函数，而是一次函数那么像yx、y2x这些正比例函数是否符合一次函数的结构呢？在怎样的情况下符合？这说明了什么？5达成共识，完善认知学生通过讨论达成共识：当b0时，ykxb即ykx。所以正比例函数其实是一种特殊的一次函数三、概念的辨析教科书第28页练习1：下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？y8x；y5x2 6；。特别注意：回答哪些是一次函数时需包含正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数四、应用与问题解决l教科书第28页练习2、32气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地到高空11km处，每升高1km，气温下降6高于11km气温几乎不再变化，设地面的气温为38，高空中x km气温为y（1）当0x11时，求y与x之间的关系式？（2）求当x2、5、8、11时，y的值？（3）求在离地面13 km的高空处，气温是多少度？4当气温是16时，间在离地面多高的地方？五、回顾与小结1回顾函数、正比例函数、一次函数的概念与它们间的关系2感受数学的抽象与广泛应用。体会结构的重要六、作业1必做题：教科书第35页习题112第3题补充：1、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6米3时，水费按0.6元米3收费；每户每月用水量超过6米3时，超过部分按1元米3收费设每户每月用水量为x米3，应缴水费y元（1）写出每月用水量不超过6米3和超过6米3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数（2）已知某户5月份的用水量为8米3，求该用户5月份的水费2备选题：（1）写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？汽车以60千米时的速度匀速行驶，行驶路程中y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系式；圆的面积y（厘米句与它的半径x（厘米）之间的关系；一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）（2）如下图，矩形ABCD中，当点P在边AD上从A向D移动时，有些线段的长度保持不变，有些则发生了变化；有些三角形的面积始终保持不变，另一些则发生了变化请分别找出变化与不变的线段和三角形（各两个）；若矩形的长AD10 cm，宽AB4cm，线段AP长为x crn，请分别写出变化的线段PD的长度y、变化的APCD的面积S与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围（2）教学目标1、了解一次函数（包括正比例函数）的图象与性质，了解常数k，b的意义和作用。2、能用简便方法熟练作出一次函数的图象。3、经历利用函数图象研究函数性质的过程，发展观察、比较、抽象和概括能力，体验“数形结合”的思想与方法。教学重点与难点重点：一次函数（包括正比例函数）图象与性质。难点：如何使学生通过自己的实践与探究发现图象的特点与性质。教学过程一、复习与反思1复习：正比例函数的图象与性质。2反思：正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是直线，那么一次函数的图象也会是一条直线吗？从解析式上看，一次函数ykxb与正比例函数ykx只差一个常数b，体现在图象上，又会有怎样的关系呢？二、探究新知1画出函数y6x与y6x5的图象学生通过列表、描点、连线画出图象，使用课前准备好的方格子纸（或由教师统一发下）可以节约时间提高效率2观察与比较比较上面两个函数的图象的相同点与不同点填出你的观察结果并与同伴交流这两个函数的图象形状都是，并且倾斜程度，函数y6x的图象经过原点，函数y6x5的图象与y轴交于点，即它可以看作由直线y6x向平移个单位长度而得到。3探究比较两个函数的解析式与图象，你能解释这是为什么吗？建议引导学生理性思考并回答。4猜想你得到的结论具有一般性吗？不画图，你能说出一次函数y3x4的图象是什么形状吗？它与直线y3x有什么关系？你能解释其中的道理吗？鼓励学生讨论，形成统一且正确的认识5结论一次函数ykxb的图象是一条直线，我们称它为直线ykxb，它可以看作由直线ykx平移b个单位长度得到。（当b0时，向上平移；当b0时，向下平移鼓励学生用自己的语言说出，教师再完整出示。三、巩固与应用画出函数y2xl与y2xl的图象思路1：由于一次函数的图象是直线，故选择其上合适两点可画出思路2：先画直线y2x与直线y2x，再平移它们，也能得到让学生说出你是怎么做的，再谈谈这个方法你是怎样想的四、研究的深入在上题的基础上，继续画出函数yx1，yx1的图象，分析这些图象的特点，并由它们联想：一次函数解析ykxb（k，b是常数，k0）中，k的正负对函数图象有什么影响？鼓励学生用自己的语言说出，教师引导学生归纳与概括从而形成一次函数的性质：当k0时，y随x的增大而增大；当k0时，y随的x的增大而减小。五、回顾与反思在本节课中，我们经历了怎样的过程？有怎样的收获？1一次函数的图象与性质，常数k，b的意义和作用；2数形结合的思想与方法；3进一步体验研究函数的一般思路与方法六、作业1、必做题：教科书第31页练习1、2、3题2、选做题：教科书第35页习题11.2第4、8题3、备选题：1将直线y=3x向下平移2个单位，得到直线。2一根弹簧长15，它能挂的物体质量不能超过18 kg，并且每挂1kg就伸长0.5cm写出挂上物体后的弹簧长度y（）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式与自变量x的取值范围，并且画出它的图象（3）教学目标1、了解待定系数法的思维方式与特点明确两个条件确定一个一次函数、一个条件确定一个正比例函数的基本事实2、会根据所给信息用待定系数法求一次函数解析式，发展解决问题的能力3、进一步体验并初步形成“效形结合”的思想方法教学重点与难点重点：根据所给信息确定一次函数表达式难点：培养数形结合解决问题的能力。教学过程一、复习与反思1复习；画出函数与y3x1的图象2反思：你在作这两个函数图象时，分别描了几个点？你为何选取这几个点？可以有不同取法吗？3引入：在上节课中我们学习了在给定一次函数表达式的前提下，我们可以说出它的图象特征及有关性质；反之，如果给你信息，你能否求出函数的表达式呢？这将是本节课我们要研究的问题二、提出问题、形成思路1求下图中直线的函数表达式：2分析与思考；根据原有经验，图1的解析式学生可凭经验与直觉答出但图2的解析式凭直觉不易得出应引导学生进行理性思考。从图象知，图1中直线的函数是正比例函数，故其解析式必为ykx形式，关键是如何求出k的值；同样由图可知图象经过点（1，2），所以该点坐标必适合解析式，将坐标代入ykx即可求出k的值图2中直线的函数是一次函数，故其解析式为ykxb的形式，同样代人直线上两点（2，0）与（0，3）即可求出k、b，确定解析式教学时，应让学生充分表达自己的想法，并在讨论交流中清晰思路3反思小结：确定正比例函数的表达式需要1个条件，确定一次函数的表达式需要2个条件三、初步应用、感悟新知1例题：已知一次函数的图象经过点（3，5）与（4，9）求这个一次函数的解析式在前面形成思路的基础上，此题的解答应突出解题过程的完整教师应作好板演示范，2回顾并介绍：像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法3反思体会：在前面的学习过程中我们发现数与形之间是怎样结合互化的四、综合运用1写出两个一次函数，使它们的图象都经过点（一2，3）2生物学家研究表明，某种蛇的长度y（cm）是其尾长x（cm）的一次函数，当蛇的尾长为 6 cm时，蛇长为 45.5 cm；尾长为 14 cm时，蛇长为 105.5 cm当一条蛇的尾长为10cm时，这条蛇的长度是多少？第1、2两题当堂解决，由学生完成；下面3、4两题可视教学情况灵活处理3教科书第35页第6题：一个一次函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过第四象限及点（2，一3a）与点（a，6），求这个函数的解析式4小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内钱数y（元）与存钱月数x（月）之间的关系如图所示，根据下图回答下列问题：求出y关于x的函数解析式根据关系式计算，小明经过几个月才能存够200元？五、回顾反思1用待定系数法求函数解析式的一般步骤（过程）2数形结合解决问题的一般思路六、作业l必做题：教科书第32页练习1、2，35页习题11.2第5题2选做题：教科书第35页第7题3备选题：（1）老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确地指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一象限；乙：函数的图象经过第二象限；丙：在每个象限内，。随着。的增大而减小请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数，并写出它的函数关系式。（4）教学目标1、了解分段函数的特点，会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象2、在涉及多变量的问题的解决中，能合理选择某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数3、能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题，发展学生的数学应用能力4、体会并感知数