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第3课时椭圆及其标准方程基础达标(水平一 )1.已知椭圆x2a2+y225=1(a5)的两个焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB过点F1,则ABF2的周长为().A.10B.20C.241D.441【解析】因为a5,所以该椭圆焦点在x轴上.又因为|F1F2|=8,所以a2=b2+c2=41.所以ABF2的周长为4a=441.【答案】D2.椭圆x225+y29=1上的点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,O为坐标原点,则|ON|的值为().A.4B.2C.8D.32【解析】由椭圆的定义,知|MF1|+|MF2|=2a=10,|MF2|=10-2=8.又O为F1F2的中点,N为MF1的中点,ON为MF1F2的中位线,|ON|=12|MF2|=4.【答案】A3.已知椭圆x2sin -y2cos =1 (02)的焦点在y轴上,则的取值范围是().A.34,B.4,34C.2,D.2,34【解析】因为椭圆x2sin -y2cos =1 (00,cos-cos,所以20,2-m0,2-mm-1,解得1m32.【答案】1mb0)上一点,F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆的两个焦点,若PF1PF2=0.试求:(1)椭圆的标准方程;(2)sin PF1F2的值.【解析】(1)因为PF1PF2=0,所以-(c+6)(c-6)+64=0,解得c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),所以2a=|PF1|+|PF2|=(6+10)2+82+(6-10)2+82=125,所以a=65,b2=80.所以椭圆的标准方程为x2180+y280=1.(2)因为PF1PF2,所以SPF1F2=12|PF1|PF2|=12|F1F2|yP=80,所以|PF1|PF2|=160.又因为|PF1|+|PF2|=125,且点P(6,8)在第一象限内,所以|PF2|=45,所以sin PF1F2=|PF2|F1F2|=4520=55.拓展提升(水平二)8.已知P为椭圆x216+y212=1上的点,F1,F2为其两个焦点,则使F1PF2=90的点P有().A.4个B.2个C.1个D.0个【解析】设点P(x,y),由PF1PF2=0,得(x+2)(x-2)+y2=0.因为x216+y212=1,所以x2=-32,无意义,故不存在使F1PF2=90的点P.【答案】D9.在ABC中,点B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程,下表给出了一些条件及方程:条件方程ABC的周长为10C1:y2=25ABC的面积为10C2:x2+y2=4(y0)ABC中,A=90C3:x29+y25=1(y0)则满足条件的点A的轨迹方程按顺序分别是().A.C3,C1,C2B.C2,C1,C3C.C1,C3,C2D.C3,C2,C1【解析】如图,在平面直角坐标系中,因为B(-2,0),C(2,0),若ABC周长为10,则|AB|+|AC|=64=|BC|,所以点A的轨迹为以B,C为焦点,长轴长为6的椭圆(去除与x轴的交点),方程为x29+y25=1(y0);若ABC的面积为10,设A到BC所在直线距离为d,则12|BC|d=10,即124d=10,d=5.所以|y|=5,y2=25,所以点A的轨迹方程为y2=25;若ABC中,A=90,则|OA|=2,即x2+y2=2,x2+y2=4(y0).所以满足条件的点A的轨迹方程按顺序分别是C3,C1,C2.【答案】A10.已知椭圆E:x2a2+y2b2(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在椭圆上,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,-,得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即b2a2=-(y1+y2)(y1-y2)(x1+x2)(x1-x2).AB的中点为(1,-1),y1+y2=-2,x1+x2=2,而y1-y2x1-x2=kAB=0-(-1)3-1=12,b2a2=12.又a2-b2=9,a2=18,b2=9.椭圆E的方程为x218+y29=1.【答案】x218+y29=111.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-13.(1)求动点P的轨迹方程.(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P,使得PAB与PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x,y),由题意得y-1x+1y+1x-1=-13,化简得x2+3y2=4(x1).故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x1).(2)设点P的坐标为(x0,y0),点M,N的坐标分别为(3,yM),(3,yN),则直线AP的方程为y-1=y0-1x0+1(x+1),直线BP的方程为y+1=y0+1x0-1(x-1),令x=3,得yM=4y0+x0-3x0+1,yN=2y0-x0+3x0-1,所以PMN的面积SPMN=12|yM-yN|(3-x0)=|x0+y0|(3-x0)2|x02-1|,又直线AB的方程为x+y=0,|AB|=22,点P到直线AB的距离d=|x0+y0|2,所以PAB的面积SPAB=12|AB|d=|x0+y0|,当SPAB=SPMN时,得|x0+y0|=|x0+y0|(3-x0)2|x02-1|,又|x0+y0|0,所以(3-x0)2=|x02-1|,解得x0=53.又因为x02+3y02=4,所以y0=339.故存在点P使得PAB与PMN的面积相等,此时点P的坐标为53,339.
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