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提分专练(六)以矩形、菱形、正方形为背景的中档计算题与证明题|类型1|以矩形为背景的问题1.xx连云港 如图T6-1,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.图T6-12.xx日照 如图T6-2,已知BA=AE=DC,AD=EC,CEAE,垂足为E.(1)求证:DCAEAC;(2)只需添加一个条件,即,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.图T6-23.已知:如图T6-3,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AEBC,CEAE,垂足为E.(1)求证:ABDCAE.(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.图T6-3|类型2|以菱形为背景的问题4.xx北京 如图T6-4,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,ADBC,AD=2BC,ABD=90,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的长.图T6-45.已知:如图T6-5,在ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G,H,交BD于点O.(1)求证:ABECDF.(2)连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由.图T6-5|类型3|以正方形为背景的问题6.xx盐城 在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图T6-6所示.(1)求证:ABEADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.图T6-67.如图T6-7,已知正方形ABCD中,BC=3,点E,F分别是CB,CD延长线上的点,DF=BE,连接AE,AF,过点A作AHED于点H.(1)求证:ADFABE;(2)若BE=1,求tanAED的值.图T6-78.xx聊城 如图T6-8,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BHAE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.(1)求证:AE=BF;(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.图T6-8参考答案1.解:(1)证明:四边形ABCD是矩形,ABCD,FAE=CDE,E是AD的中点,AE=DE,又FEA=CED,FAECDE,CD=FA,又CDAF,四边形ACDF是平行四边形.(2)BC=2CD.理由:CF平分BCD,DCE=45,CDE=90,CDE是等腰直角三角形,CD=DE,E是AD的中点,AD=2CD,AD=BC,BC=2CD.2.解:(1)证明:在DCA和EAC中,DC=EA,AD=CE,AC=CA,DCAEAC(SSS).(2)添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形(添加的条件不唯一).证明如下:AB=DC,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形,CEAE,E=90,由(1)得:DCAEAC,D=E=90,四边形ABCD为矩形.3.解:(1)证明:AB=AC,AD是BC边上的中线,ADBC,BD=CD.AEBC,CEAE,DCE=90,四边形ADCE是矩形,AD=CE.在RtABD与RtCAE中,AD=CE,AB=CA,RtABDRtCAE.(2)DEAB,DE=AB.证明如下:如图所示,由(1)知四边形ADCE是矩形,AE=CD=BD,又AEBD,四边形ABDE是平行四边形,DEAB,DE=AB.4.解:(1)证明:E为AD的中点,AD=2BC,BC=ED,ADBC,四边形BCDE是平行四边形,ABD=90,AE=DE,BE=ED,四边形BCDE是菱形.(2)ADBC,AC平分BAD,BAC=DAC=BCA,BA=BC=1,AD=2BC=2,sinADB=12,ADB=30,DAC=30,ADC=60.ACD=90.在RtACD中,AD=2,CD=1,AC=3.5.解:(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,BAE=DCF,在ABE和CDF中,AB=CD,BAE=DCF,AE=CF,ABECDF(SAS).(2)四边形BEDF是菱形.理由如下:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC,AE=CF,DE=BF,四边形BEDF是平行四边形,OB=OD,DG=BG,EFBD,四边形BEDF是菱形.6.解:(1)证明:四边形ABCD是正方形,ABD=45,ADB=45,AB=AD.ABE=ADF=135.又BE=DF,ABEADF(SAS).(2)四边形AECF是菱形.理由:连接AC交BD于点O,图略.则ACBD,OA=OC,OB=OD.又BE=DF,OE=OF,四边形AECF是菱形.7.解:(1)证明:正方形ABCD中,AD=AB,ADC=ABC=90,ADF=ABE=90.在ADF与ABE中,AD=AB,ADF=ABE,DF=BE,ADFABE.(2)在RtABE中,AB=BC=3,BE=1,AE=10,ED=CD2+CE2=5,SAED=12ADBA=12EDAH,AH=ADBAED=335=1.8.在RtAHE中,EH=AE2-AH2=2.6,tanAED=AHEH=1.82.6=913.8.解:(1)证明:四边形ABCD是正方形,AB=BC,ABC=C=90,BHAE,垂足为点H,BAE+ABH=90,CBF+ABH=90,BAE=CBF.在ABE和BCF中,ABC=C=90,AB=BC,BAE=CBF,ABEBCF(ASA),AE=BF.(2)ABEBCF,CF=BE=2,正方形的边长为5,AD=CD=5,DF=CD-CF=5-2=3.在RtADF中,AF=AD2+DF2=52+32=34.
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