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2.4.1二次函数的应用预习案一、预习目标及范围：1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值 2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题 预习范围：P46-47二、预习要点根据二次函数的一般形式求出最大值、最小值：几何图形的几个面积公式是怎么样的？三、预习检测1.（xx六盘水）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是 （）A. 60 m2B. 63 m2C. 64 m2D. 66 m2 2. 用长6 m的铝合金条制成“日”字型矩形窗户，使窗户的透光面积最大（如图），那么这个窗户的最大透光面积是（） A. m2 B. 1 m2 C. m2D. 3 m23. （xx绍兴）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=- (x-6)2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_. 探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?解：活动2：探究归纳先将 转化为 ，再将所求的问题用 关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出 ，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出 . 活动内容2：典例精析例题:某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?解：二、随堂检测1（包头中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2 2（芜湖中考）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积 3（潍坊中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？4（南通中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）连接DE，作EFDE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y（1）求y关于x的函数关系式. （2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ 5.（河源中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆设矩形的宽为x，面积为y （1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由 参考答案预习检测：1.C2.C3. 随堂检测1.12.52. 根据题意可得：等腰三角形的直角边为m矩形的一边长是2xm,其邻边长为 3.解; （1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意得：4x2（1002x）（802x）5 200，整理得x245x3500，解得x135，x210，经检验x135，x210均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则y304x2(1002x)(802x)202x(1002x)2x(802x) 即y80x23 600x240 000，配方得y80（x225）2199 500，当x225时，y的值最小，最小值为199 500，所以当矩形广场四角的小正方形的边长为225米时，铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元 4. 在矩形ABCD中，B=C=90，在RtBFE中， 1+BFE=90，又EFDE， 1+2=90，2=BFE，RtBFERtCED，, 即当m=8时，化成顶点式: （3）由，及得关于x的方程: ，得DEF中FED是直角，要使DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，此时， RtBFERtCED，当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2.即DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.5. 解：（1）依题意得：y=(40-2x)x y=-2x2+40x x的取值范围是0 x 20（2）当y=210时，由（1）可得，-2x2+40x=210 即x2-20x+105=0 a=1，b=-20，c=105，此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米
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