资源描述
教学过程几何问题探究与中点相关问题知识点1.中点的定义2.中点的表示方法：等量关系、倍的关系、分的关系3.三角形中线的作用：等分线段4.全等三角形的中线的作用：倍长中线（延长中线至*，连接*，证明三角形全等）教学目标熟练掌握有中点为背景的全等三角形证明的方法.教学重点在实际问题中能对中线倍长法模型的建立，利用中线倍长法解决问题.教学难点利用中线倍长法构造全等三角形解决问题.教学过程几何在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中图形与几何的探究问题占到20%到30%的比重。主要考查了图形的一些基本性质，借助图形的变换（平移变换、旋转变换、轴对称变换、相似变换）进行线段和角的一些相关问题的探讨，主要考查了学生的观察能力、空间想象能力、动手操作能力以及所学几何基础知识的灵活运用能力。解决几何综合问题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧“模型间的关联，明确努力方向，才能进一步探究综合问题。注重对基本模型及辅助线的积累是非常必要的。二、复习预习三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线。三角形中线的相关定理：1. 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。2. 等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）。中线中位线相关问题（涉及中点的问题）见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见。三、知识讲解考点1 三角形的中位线1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。2. 三角形中位线的定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。3. 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边。考点2 全等三角形的概念及其性质1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2.性质定理：（1）全等三角形的对应角相等。 （2）全等三角形的对应边相等。（3）能够完全重合的顶点叫对应顶点。 （4）全等三角形的对应边上的高对应相等。（5）全等三角形的对应角的角平分线相等。（6）全等三角形的对应边上的中线相等。（7）全等三角形面积和周长相等。 （8）全等三角形的对应角的三角函数值相等。考点3 全等三角形的解题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我们可以来采用逆向思维的方式，要想证明全等，需要什么条件。例如：要想证明某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等，然后把所得到的等式运用（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）证明三角形全等，有时还需要辅助线。分析完毕后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象，同时注意隐含的条件。四、例题精析考点一 倍长中线问题例1 如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF，求证：AC=BE例2 如图所示， OAB，OCD为等腰直角三角形，AOB=COD=90.(1) 如图1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD，BC，M为线段AD的中点，求证：OMBC.(2) 如图2，在图1的基础上，将OCD绕点O逆时针旋转（为锐角），M为线段AD的中点.线段OM与线段BC是否存在某种确定的数量关系？写出并证明你的结论；OMBC是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.考点二 构造中位线问题例3如图，在ABC和PQD中，AC = kBC，DP = kDQ，C =PDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，连结EQ交PC于点H猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的猜想例4 如图，在ABC和DAE中，AB=k AC，AD=k AE（k1）且BAC=DAE=，H为BC的中点，G为ED的中点，F为CD的中点，连结FG，FH，请探究FH与FG的关系，并证明你的结论。说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以选取（1）（2）中的一个条件完成你的探究（1）k=1；（2）点D在BA上，点E在AC 上。考点三 证明中点问题例5如图，ABCBDE，M、M分别为AB、DB中点，直线MM交CE于K试探索CK与EK的数量关系考点四 与直角三角形斜边中点相关问题例6如图1，在ACB和AED中，AC=BC，AE=DE，ACB=AED=90，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由。课程小结本节课主要研究了与中点相关的问题，如若遇到一个中点，可先考虑倍长中线，注意二次全等问题；如若遇到多个中点，可先考虑尝试中位线，当然倍长中线也可以尝试考虑；如若遇到直角三角形和中点同时出现，那么一定要记得“直角三角形斜边的中线是等于斜边一半“的这条性质。几何问题的探究，是一个长期积累的过程，注重几何知识的综合运用，积累基本型是重中之重。例1【规范解答】延长到，使，连结，又， 【总结与反思】作倍长AD，得到，可以把AC转移到BDG中，利用等腰的性质得到两边相等。例2【规范解答】1、证明：AOB和COD是等腰直角三角形，OAOB，ODOC，AOB90AOD BOC，OADOBC，M是AD中点，OMAM，OADMOA，OBCMOA MOA+MOBAOB90，OBC+MOB90BMO180-9090，OMBC。2、结论：BC2OM,OMBC。延长OM至E，使OMEM，连接AE，又AMDM，AMEDMOAME DMO，AEDO，EAMODMAOB和COD是等腰直角三角形，OAOB， ODOC，AOBDOC90AEOC。OAEOAD+EAMOAD+ODM180-AODBOCAOB+COD-AOD90+90-AOD180-AODOAEBOC，由可得，OAEBOC，OEBC，AOEOBC，OE2OM，BC2OM。延长BC交OE于F，AOE+BOEAOB90，OBC+BOE90 BFO180-9090，OEBF即OMBC。【总结与反思】（1）根据等腰直角三角形的性质，可证AODBOC，根据全等三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质即可证明OMBC;（2）延长OM至E，使OMEM，连接AE，先证明AME DMO ，再证明OAEBOC 即可证明BC2OM，延长BC交OE于F，推导出BFO=90，即可证明OMBC.例3【规范解答】证明： 取BC中点M，连接DE，DM D、E分别是AB、AC的中点DM=AC 且 DMAC, DE=BC 且 DEBC，C=MDE又PDQ=C，PDQ=C ，又 PDQ+QDM =MDE+QDM，PDM=QDE又AC = kBC，DM = kDE，又DP= kDQ，PDMDQE，DEQ=DMP，又DEBC，DMAC，DEQ=EHC, DMP=C，EHC=C，EH=EC=AC【总结与反思】本题中出现了两个中点，由所给信息，运用中位线的知识我们可以构造出PDMDQE ，从而得到角的关系，便可以证明EH与AC的数量关系了。例4【规范解答】证明：连接BD、CEBAC=DAE=，BAC-BAE=DAE-BAE即 BAD=CAE又AB=kAC , AD=kAE， ACEABD，BD= kCE又H为BC的中点，G为ED的中点，F为CD的中点，HF=BD, FG=CEHF= kFG【总结与反思】本题要我们探究FH与FG的关系，观察图形及所给的已知信息，我们可以首先考虑尝试运用中位线，连接BD，CE，要探究FH与FG的关系便可以转化为探究BD及CE的关系，我们可以通过证明ACEABD便可以得到BD及CE的关系，同样就可以得知FH与FG的关系了。例5【规范解答】CK与EK的数量关系为相等，理由如下：延长MK到N，使得NK=MM，连接EM、CM、EN，如图，可得NK+KM=MM+MK，即NM=MK，ABCBDE，M、M分别为AB、DB中点，EM=CM，BM=BM，EMD=CMB，由BM=BM得：BMM=BMM=KMD，NME=CMK，在EMN和CMK中，NM=MK，NME=CMK，EM=CM，EMNCMK，（SAS）CK=EN，N=CKM=NKE，EK=EN，CK=EK【总结与反思】由已知条件不能得到相关条件，可作辅助线，延长MK到N，使得NK=MM，连接EM、CM、EN，再根据辅助条件证明EMNCMK即可例6【规范解答】（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE=FE；（2）（1）中的结论仍然成立如图2，连接CF，延长EF交CB于点G， ACB=AED=90，DEBC，EDF=GBF，又EFD=GFB，DF=BF， EDFGBF，EF=GF，BG=DE=AE，AC=BC，CE=CG，EFC=90，CF=EF，CEF为等腰直角三角形，CEF=45度，CE=FE；（3）（1）中的结论仍然成立 如图3，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，DF=BF，FMAB，且FM=AB，AE=DE，AED=90，AM=EM，AME=90，CA=CB，ACB=90CN=AN=AB，ANC=90，MFAN，FM=AN=CN，四边形MFNA为平行四边形，FN=AM=EM，AMF=FNA，EMF=FNC，EMFFNC，FE=CF，EFM=FCN，由MFAN，ANC=90，可得CPF=90，FCN+PFC=90，EFM+PFC=90，EFC=90，CEF为等腰直角三角形，CEF=45，CE=FE【总结与反思】（1）连接CF，直角DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，FEB=FBE，同理可得出CF=DF=BF，FCB=FBC，因此CF=EF，由于DFE=FEB+FBE=2FBE，同理DFC=2FBC，因此EFC=EFD+DFC=2（EBF+CBF）=90，因此EFC是等腰直角三角形，CF=EF；（2）思路同（1）也要通过证明EFC是等腰直角三角形来求解连接CF，延长EF交CB于点G，先证EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明DEF和FGB全等这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DEBC，因此EDB=CBD，由此构成了两三角形全等的条件EF=FG，那么也就能得出CFE是个等腰三角形了，下面证明CFE是个直角三角形就能得出（1）中的结论了；（3）思路同（2）通过证明CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF那么关键就是证明MEF和CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=AD，EC=MF=AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论我们知道PN是ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90+CNF=90+MEF，因此CNF=MEF，那么两三角形就全等了证明CFE是直角的过程与（1）完全相同那么就能得出CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同
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