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第二讲三角恒等变换与解三角形(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若cos =-45,是第三象限的角,则1+tan21-tan2=()A.3B. -12C.13D.12【解析】选B.因为cos =-45,是第三象限的角,所以sin =-35,则1+tan21-tan2=cos2+sin2cos2-sin2=1+sincos=-12.2.设a=2sin5cos5,b=cos25-sin25,c=tan301-tan230,则()A.abcB.bcaC.cabD.acb 【解析】选C.因为a=sin25=sin 72,b=cos 10=sin 80,c=12tan 60=32,函数y=sin x在区间0,2上是增函数,所以c=32atan A,则角A所对的边最小.由tan A=14可知sin A=1717,由正弦定理asinA=csinC,得a=sin AcsinC=17171722=2.5.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos B=2a+b,若ABC的面积S=312c,则ab的最小值为()A.12B.13C.16D.3【解析】选B.由题意得2sin Ccos B=2sin A+sin B2sin Ccos B=2(sin Bcos C+cos Bsin C)+sin Bcos C=-12,所以S=12absin C=34ab=312cc=3ab.因为cos C=a2+b2-c22ab,所以-12=a2+b2-9a2b22ab2ab-9a2b22ab,解得ab13,当且仅当a=b=33时,等号成立,即ab的最小值为13.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知tan =4,则sin-2cos3cos+2sin=_.【解析】sin-2cos3cos+2sin=tan-23+2tan=4-23+24=211.答案:2117.若tan ,tan 是方程x2+5x+6=0的两个根,且,-2,2,则+=_.【解析】因为tan ,tan 是方程x2+5x+6=0的两个根,所以tan +tan =-5,tan tan =6,所以tan 0,tan A,2sin Bsin C=cos A.(1)求A的值.(2)判断ABC的形状并求ABC的面积.【解析】(1)因为b2+c2-4=43S,所以b2+c2-a2=4312bcsin A,由余弦定理得,cos A=3sin A,所以tan A=33,因为A(0,),所以A=6.(2)因为2sin Bsin C=cos A,A+B+C=,所以2sin Bsin C=-cos(B+C)=sin Bsin C-cos Bcos C,即sin Bsin C+cos Bcos C=0,cos(B-C)=0,所以B-C=2或C-B=2.()当B-C=2时,由第(1)问知A=6,所以B=23,C=6,所以ABC是等腰三角形, S=12acsin B=3;()当C-B=2时,由第(1)问知A=6,所以C=23,B=6,又因为BA,矛盾,舍去.综上,ABC是等腰三角形,其面积为3.10.已知在ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC.(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.【解析】(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD,因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC,在ABC中,由正弦定理得:ACsinB=ABsinC,所以sinBsinC=ACAB=12.(2)设ADB=,则ADC=-.由(1)知ACAB=bc=12,所以c=2b,因为CD=22,所以BD=2,在ACD中,由余弦定理得,b2=1+222-2122cos(-),即b2=32+2cos ,在ABD中,由余弦定理,c2=1+2-212cos ,即c2=3-22cos ,由得b=1,故AC=1.11.在锐角ABC中,2sinB-C2cosB-C2+2cos Bsin C=32.(1)求角A.(2)若BC=7,AC=2,求ABC的面积.【解析】(1)因为2sinB-C2cosB-C2+2cos Bsin C=32,所以sin(B-C)+2cos Bsin C=32,则sinB cos C-cos Bsin C+2cos Bsin C=sin(B+C)=32,即sin A=32,由ABC为锐角三角形得A=3.(2)在ABC中,a=BC,b=AC,a2=b2+c2-2bccos A,即7=4+c2-22c12,化简得c2-2c-3=0,解得c=3(负根舍去),所以SABC=12bcsin A=332.【提分备选】1.如图所示,某镇有一块空地OAB,其中OA=3 km,OB=33 km,AOB=90.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖OMN,其中M,N都在边AB上,且MON=30,挖出的泥土堆放在OAM地带上形成假山,剩下的OBN地带开设儿童游乐场. 为安全起见,需在OAN的周围安装防护网.(1)当AM=32km时,求防护网的总长度.(2)若要求挖人工湖用地OMN的面积是堆假山用地OAM的面积的3倍,试确定AOM的大小.(3)为节省投入资金,人工湖OMN的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使OMN的面积最小?最小面积是多少?【解析】(1)因为在OAB中,OA=3,OB=33,AOB=90,所以OAB=60,在AOM中,OA=3,AM=32,OAM=60,由余弦定理,得OM=332,所以OM2+AM2=OA2,即OMAN,所以AOM=30,所以OAN为正三角形,所以OAN的周长为9,即防护网的总长度为9 km.(2)设AOM=(060),因为SOMN=3SOAM,所以12ONOMsin 30=312OAOMsin ,即ON=63sin ,在OAN中,由ONsin60=OAsin(+60+30)=3cos,得ON=332cos,从而63sin =332cos,所以sin 2=12,所以=15,即AOM=15.(3)设AOM=(00,则sin A=1-352=45,即cosAsinA=34,由(1)可知cosAsinA+cosBsinB=sinCsinC=1,所以cosBsinB=1tanB=14,所以tan B=4.
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