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18.2.1矩形(第1课时)学习目标1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系.2.探索并证明矩形的性质,会用矩形的性质解决简单的问题.3.探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理.学习过程一、合作探究【问题探究一】矩形的定义阅读教材本节中的第一个“思考”前面内容,解决下列问题:1.有一个角是的叫矩形.2.你能举出一些生活中矩形的实例吗?【问题探究二】矩形的性质区别阅读教材本节中的第1个“思考”,思考、讨论、合作交流后解决下列问题:1.结合平行四边形的性质的探求过程,你认为应该从哪几个方面探求矩形的性质?2.画一个矩形,连接对角线,度量它的四个角和对角线,你有什么发现?3.你能证明你的猜想吗?归纳总结:矩形的四个角都是,矩形的对交线且.几何语言表述【问题探究三】直角三角形斜边上中线的特性.阅读教材本节中的第2个“思考”,思考、讨论、合作交流后解决下列问题:1.观察图所示的矩形,寻找图形中的相等线段,在RtABC中,有哪些相等线段,你能得到什么结果?2.你能证明上述猜想吗?写出证明过程:归纳总结:直角三角形斜边上中线等于.二、自主练习【例1】已知:如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,AOB=60,AB=4,求矩形对角线的长.【例2】(补充)已知:如图,矩形ABCD,AB长8 cm,对角线比AD边长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.三、跟踪练习1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对角线相等B.对边相等C.对角相等D.对角线互相平分2.在RtABC中,ABC=90,AC=10,BO是斜边上的中线,则BO的长为.3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AB=5,BC=12,则ABO的周长为.4.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AOB=60,AB=4.求矩形对角线的长.5.如图,在矩形ABCD中,AE平分BAD,交BC于点E,ED=5,EC=3,求矩形的周长及对角线的长.四、变式演练1.如图,在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,将长方形ABCD沿CE折叠后,使点D恰好落在对角线AC上的点F处.(1)求EF的长.(2)求四边形ABCE的面积.2.如图所示,在矩形ABCD中,E为AD上一点,EFCE交AB于点F,若DE=2,矩形的周长为16,且CE=EF,则AE的长为多少?五、达标检测1.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点E处,且CE与AB交于F,那么SACF为()A.12B.15C.6D.102.如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE平分BAD交BC于E.若EAO=15,则BOE的度数为()A.85B.80C.75D.703.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.若AOB=60,BD=8,则AB的长为()A.4B.43C.3D.54.根据图中数据可求阴影部分的面积和为()A.12B.10C.8D.75.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果ADB=30,则E=度.6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6 cm,BC=8 cm,则AEF的周长cm.7.RtABC中,BAC=90,AB=3,AC=4,P为边BC上一动点,PEAB于E,PFAC于F,M为EF中点,则AM的最小值为.8.如图,将ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.(1)求证:四边形ABEC是平行四边形;(2)连接AC,BE,若四边形ABEC是矩形,则AFC与D应满足什么数量关系?并说明理由.9.如图,长方形OABC中,O为原点,A(4,0),C(0,6),点B在第一象限点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿O-A-B-C-O的路线移动.(1)直接写出点B的坐标;(2)当点P移动了4秒时,点P的坐标是;(3)移动过程中,当点P到x轴距离为5个单位长度时,求点P移动的时间及此时点P到O点的距离.参考答案一、合作探究【问题探究一】1.直角;平行四边形2.略【问题探究二】1.内角、对角线.2.(1)矩形的四个角都是直角.(2)矩形的对角线相等.3.猜想1:矩形的四个角都是直角.求证:矩形的四个角都是直角.已知:如图,四边形ABCD是矩形,求证:A=B=C=D=90,证明:四边形ABCD是矩形,A=90,又矩形ABCD是平行四边形,A=C,B=D,A+B=180.A=B=C=D=90.即矩形的四个角都是直角.猜想2:矩形的对角线相等.已知:如图,四边形ABCD是矩形求证:AC=BD,证明:在矩形ABCD中,ABC=DCB=90,AB=DC,BC=CB,ABCDCB,AC=BD,即矩形的对角线相等.结论:矩形的对角线相等.数学语言:四边形ABCD是矩形,AC=BD.归纳总结:矩形的四个角都是直角,矩形的对交线相等且互相平分.几何语言表述:四边形ABCD是矩形,A=B=C=D=90.AC=BD.【问题探究三】1.OA=OB=OC2.如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,由性质2有AO=BO=CO=DO=12AC=12BD.因此可以得到直角三角形的一个性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.归纳总结:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.二、自主学习1.解:四边形ABCD是矩形,AC与BD相等且互相平分.OA=OB.又AOB=60,OAB是等边三角形.矩形的对角线长AC=BD=2OA=24=8.2.解:设AD=x cm,则对角线长(x+4) cm,在RtABD中,由勾股定理:x2+82=(x+4)2,解得x=6.则AD=6 cm,AB=10 cm.(2)SABD=12AEDB=12ADAB,解得AE=4.8 cm.三、跟踪练习1.A2.53.184.解:四边形ABCD是矩形,OA=12AC,OB=12BD,AC=BD,OA=OB,AOB=60,AOB是等边三角形,OA=AB=4,AC=2OA=8.即矩形的对角线长为8.5.解:如图,连接BD.四边形ABCD是矩形,C=90,AB=CD,ADBC.ED=5,EC=3,DC2=DE2-CE2=25-9=16,DC=4,AB=4.ADBC,AEB=DAE.AE平分BAD,BAE=DAE,BAE=AEB,BE=AB=4,矩形的周长=2(4+3+4)=22.由勾股定理得:BD2=42+72,BD=65.答:矩形的周长为22,对角线的长为65.四、变式演练1.解:(1)四边形ABCD为矩形,CD=AB=6,AD=BC=8,BAD=D=90,在RtABC中,AC=62+82=10,长方形ABCD沿CE折叠后,使点D恰好落在对角线AC上的点F处,CF=CD=6,ED=EF,EFC=D=90,AF=10-6=4,设EF=x,则ED=x,AE=8-x,在RtAEF中,x2+42=(8-x)2,解得x=3,即EF的长为3.(2)四边形ABCE的面积=SABC+SEAC=1268+12310=39.2.解:在矩形ABCD中,A=D=90.CEEF,AEF+DEC=90.又AFE+AEF=90,AFE=DECEF=CE,AEFDCE(AAS).AE=DC.又矩形的周长为16,2(AE+DE+DC)=16,即2AE+2=8.AE=3.五、达标检测1.D2.C3.A4.C5.156.97.658.(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AB=CD,CE=DC,AB=EC,ABEC,四边形ABEC是平行四边形;(2)解:AFC=2D.理由如下:四边形ABEC是矩形,AE=BC,FC=FE,AD=BC.AD=AE,AED=D,FC=FE.AED=FCE=D,AFC=AED+FCE.AFC=2D.9.解:(1)根据长方形的性质,可得AB与y轴平行,BC与x轴平行;且A(4,0),C(0,6),即AB=OC=6,BC=OA=4,故B的坐标为(4,6);(2)根据题意,P的运动速度为每秒2个单位长度,当点P移动了4秒时,则其运动了24=8个长度单位,此时点P在AB上,且PA=4,故P的坐标为(4,4);(3)根据题意,点P到x轴距离为5个单位长度时,有两种情况:P在AB上时,P运动了4+5=9个长度单位,此时P运动了92=4.5(秒);此时点P到O的距离为OA2+AP2=42+52=41个单位长度;P在OC上时,P运动了4+6+4+1=15个长度单位,此时P运动了152=7.5(秒);此时点P到O的距离为5个单位长度.
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