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2.2.2 对数函数及其性质【双向目标】课程目标学科素养A掌握对数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为对数函数B)能根据对数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出对数函数的性质C. 能根据对数函数的性质解决和对数函数有关的问题a数学抽象：对数函数概念的理解，会根据定义判断一个函数是否为对数函数b逻辑推理：通过观察图象，总结出对数函数当底分别是，的性质c数学运算：根据单调性等性质计算参数的值d 直观想象：做出对数函数图像并能识别图像e 数学建模：能用对数函数的思想解决生活中的实际问题【课标知识】知识提炼基础过关知识点1：.对数函数定义一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.知识点2：对数函数图像及其性质函数图象定义域值域RR定点（1,0）（1,0）单调性在上是减函数在上是增函数取值情况当x1时，y0；当0x1时,y0当x1时，y0；当0x1时，y01.函数ylog2x在1，2上的值域是( )AR B0，)C (，1 D0，12.已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为( )Aylog2x Bylog3xCD3.下列函数中，定义域相同的一组是( )Ayax与ylogax(a0，且a1)Byx与yCylg x与ylg Dyx2与ylg x24.函数y的定义域是()AR B(2，)C(，2) D(2，1)(1，)5.函数f(x)(a2a1)log(a1)x是对数函数，则实数a_6.已知函数yloga(x3)(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)3xb的图象上，则b_ 基础过关参考答案：1.【解析】由题可知，因为1x2，所以log21log2xlog22，即0y1，故选D.【答案】D2.【解析】由题可知，设函数的解析式为ylogax(a0，且a1)，将M(9，2)代入，得2loga9，所以a29，所以a3，即函数的解析式为ylog3x，故选B.【答案】B 【答案】C4.【解析】由题可知,要使函数有意义，x的取值需满足解得x2，且x1.故选D.【答案】D5.【解析】由题可知,a2a11，解得a0或1.又a10，且a11所以a1. 【答案】16.【解析】由题可知,当x31，即x2时，对任意的a0，且a1都有yloga10，所以函数yloga(x3)的图象恒过定点A(2，)，若点A也在函数f(x)3xb的图象上，则32b，所以b1【答案】-1【能力素养】探究一 对数函数的图象例1函数与函数的图像关于直线对称，则函数与二次函数在同一坐标系内的图像可能是（ ）A B C D 【分析】利用对数函数的性质求解. 综上，图象可能是A.【答案】A【点评】本题考查了函数图象的识别，解答中涉及到对数函数与二次函数的图象与性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.【变式训练】1.已知函数，且函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是A1，) B(1，)C(，1) D(，1 【答案】B2.【山东省日照实验高级中学2017-2018学年高一上学期第二次阶段考试数学试题】当时，在同一坐标系中，函数与的图象为（ ）A B C D 【解析】当时，根据函数在R上是减函数，故排除A、B；而在上是增函数，故排除D.【答案】C探究二 利用对数函数单调性比较大小 或解对数不等式例2：【山东省临沂市沂水县第一中学2018届高三第三轮考试数学（文）试题】已知实数，则的大小关系为（ ）A B C D 【分析】先比较a,b的大小，最后比较它们和c的大小.【解析】因为,所以ab.因为,所以cb，【答案】D【点评】对数函数值大小的比较一般有三种方法：单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法，根据图象观察得出大小关系本题主要考查对数函数的单调性和对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.【变式训练】1. 求不等式的解集. 【答案】2.设，则 （ ）A B C D 【解析】，的大小关系是：.【答案】A3.【内蒙古自治区北京八中乌兰察布分校2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题】已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若， ， ，则， ，的大小关系为（ ）A B C D 【解析】因为函数为偶函数且在(,0)上单调递减，所以函数在(0,+)上单调递增，由于，所以.【答案】B探究三 与对数函数有关的定义域、值域问题、单调性问题例3：【四川省眉山第一中学2017-2018学年高一12月月考数学试题】函数的单调增区间是_.【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性的判断方法可求得答案 【答案】【点评】1.对复合函数的值域问题，先求出函数的定义域，根据定义域求出内函数的值域，将内函数的值域作为外函数的定义域，利用外函数的图像与性质求出外函数的值域，即为复合函数的值域. 2.与对数函数有关的单调性问题，求出内函数的单调区间结合外函数的单调性，结合复合函数的单调性确定其单调性.【变式训练】1.函数定义域为（ ）A B C D 【解析】根据对数函数的真数一定要大于0，可以得；又有偶次开方的被开方数非负且分式分母不为0，得到：，进而求出的取值范围【答案】C2.【东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2018届高三第二次模拟考试数学（文）试题】函数的值域为_.【解析】由指数函数的性质可知：，据此可知：，函数的值域为.【答案】.3【宁夏石嘴山市第三中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题】已知在区间2，)上为减函数，则实数的取值范围是_. 【答案】4a4探究四 对数函数的综合运用例4：【黑龙江省林口林业局中学2017-2018学年高二下学期期末考试理数试卷】函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0abc BacbCcab Dcba 【答案】B7.如图所示是对数函数C1：ylogax，C2：ylogbx，C3：ylogcx，C4：ylogdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( ) Aab1cd Bba1dcC1abcd Dab1dc【解析】由题可知，作直线y1，依次与C3，C4，C1，C2的交点，横坐标为c，d，a，b，故cd1a0，且a1)，则它的反函数为yax，由条件有a2932，从而a3.于是f(x)log3x，则f(b)log3b，解得b3.【答案】10.函数与的图像有两个公共点，则的取值范围是 【解析】由题可知，若想要两个函数有两个交点，则指数函数一定是单调递增的，因此；【答案】11.函数ylogax当x2时恒有|y|1，则a的取值范围是_【解析】由题可知，a1时，ylogax在(2，)上是增函数，由loga21，得1a2；当0a1时，ylogax在(2，)上是减函数，且loga21，得a1.【答案】，1)(1,212.若，则满足的的值为 【答案】313.已知函数f(x)，那么f(ln 2)的值是_【解析】由题可知，ln 2f(2)，利用图象求a的取值范围 【解析】(1)作出函数f(x)log3x的图象如下图， (2)观察函数f(x)log3x的图象可知：若f(a)f(2)，则a2，所以a的取值范围是(2，)【答案】(1)如图；（2）a的取值范围是(2，)；15.求函数ylg2x6lg x的定义域和值域 【答案】定义域是(0，)，值域是(，9
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