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实数章末小结与提升实数平方根定义:若x2=a,则x叫做a的平方根,|x|叫做a的算术平方根(规定:0的算术平方根是0)性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根开平方:求一个数的平方根的运算立方根定义:若x3=a,则x叫做a的立方根性质:正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数开立方:求一个数的立方根的运算实数分类有理数:整数和分数无理数:无限不循环小数性质:实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数的一样运算:有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然适用;开平(立)方与乘方是同级运算实数与数轴:实数与数轴上的点一一对应类型1算术平方根、平方根和立方根的概念典例1已知2a-1的立方根是3,42+b-1的算术平方根是6,则a+2b的平方根是.【解析】根据题意,得2a-1=27,42+b-1=36,解得a=14,b=-5,则a+2b=14-10=4,4的平方根是2.【答案】 2【针对训练】1.若102.01=10.1,则1.0201=1.01.2.一个正数x的两个平方根分别是2a-1和-a+2.(1)求a和x的值;(2)化简:2|a+2|+|x-22|-|3a+x|.解:(1)由题意得(2a-1)+(-a+2)=0,解得a=-1,x=(2a-1)2=(-3)2=9.(2)原式=2|-1+2|+|9-22|-|3(-1)+9|=22-2+9-22-6=1.类型2算术平方根的非负性典例2若a-2+|b+5|=0,则|a+b|=.【解析】a-20,|b+5|0,a=2,b=-5,a+b=2-50,|a+b|=-(2-5)=5-2.【答案】 5-2【针对训练】1.若|x-2y|+y-2=0,则(-xy)2的值为(A)A.64B.-64C.16D.-162.已知-12-y+2的算术平方根和x+32-12互为相反数,则-5yx的平方根为15.3.已知4m-n+|m2-9|6=0,且m,n均大于0,求实数m,n的值,并求出n的整数部分和小数部分.解:根据题意,得4m-n=0,m2-9=0,且m,n均大于0,解得m=3,n=12,9120),如:3*2=3+23-2=5,那么15*(6*3)=.【解析】根据题中的新定义得15*(6*3)=15*6+36-3=15*1=15+115-1=414=27.【答案】 27【针对训练】1.若a,b互为相反数,m,n互为倒数,k的算术平方根为2,则100a+99b+mnb+k2的值为(B)A.-4B.4C.-96D.1042.根据下列各式的规律,在横线处填空:11+12-1=12;13+14-12=112;15+16-13=130;17+18-14=156;12017+12018-11009=120172018.3.观察下列各个等式:第一个等式:113=12(1-13);第二个等式:135=12(13-15);第三个等式:157=12(15-17);请用上述等式反映出的规律解决下列问题:(1)直接写出第四个等式;(2)猜想第n个等式(用含n的代数式表示),并证明你的结论.解:(1)第四个等式为179=12(17-19).(2)第n个等式为1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,证明:右边=122n+1(2n-1)(2n+1)-2n-1(2n-1)(2n+1)=122(2n-1)(2n+1)=1(2n-1)(2n+1)=左边,猜想成立4.我们知道,任意一个正整数n都可以进行这样的分解:n=pq(p,q是正整数,且pq),在n的所有这种分解中,如果p,q两因数之差的绝对值最小,我们就称pq是n的最佳分解.并规定:F(n)=pq.例如12可以分解成112,26或34,因为12-16-24-3,所以34是12的最佳分解,所以F(12)=34.(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方,我们称正整数a是完全平方数.求证:对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1;(2)如果有一个两位正整数t,t=10x+y(1xy9,x,y为自然数),交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原来的两位正整数,所得的差为18,那么我们称这个数t为“吉祥数”,求所有“吉祥数”中F(t)的最大值.解:(1)对任意一个完全平方数m,设m=n2(n为正整数),|n-n|=0,nn是m的最佳分解,对任意一个完全平方数m,总有F(m)=nn=1.(2)设交换t的个位上的数字与十位上的数字,得到的新数为t,则t=10y+x,t为“吉祥数”,t-t=(10y+x)-(10x+y)=9(y-x)=18,y=x+2.1xy9,x,y为自然数,“吉祥数”有13,24,35,46,57,68,79,F(13)=113,F(24)=46=23,F(35)=57,F(46)=223,F(57)=319,F(68)=417,F(79)=179,5723417319223113179,所有“吉祥数”中,F(t)的最大值是57.
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