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第2课时矩形的判定1.如图,在矩形ABCD中,ABBC,点E,F,G,H分别是边DA,AB,BC,CD的中点,连接EG,HF,则图中矩形的个数共有(C)(A)5个(B)8个(C)9个(D)11个2.下列条件中,不能判定四边形ABCD为矩形的是(C)(A)ABCD,AB=CD,AC=BD(B)A=B=D=90(C)AB=BC,AD=CD,且C=90(D)AB=CD,AD=BC,A=903.如图,四边形ABCD中,AB=CD,且ABBC,CDBC,延长边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果ADB=30,则E的度数为(A)(A)15(B)20(C)25(D)304.已知:线段AB,BC,ABC=90.求作:矩形ABCD.以下是甲,乙两同学的作业:甲:(1)以点C为圆心,AB长为半径画弧;(2)以点A为圆心,BC长为半径画弧;(3)两弧在BC上方交于点D,连接AD,CD,四边形ABCD即为所求,如图.乙:(1)连接AC,作线段AC的垂直平分线,交AC于点M;(2)连接BM并延长,在延长线上取一点D,使MD=MB,连接AD,CD,四边形ABCD即为所求,如图.对于两人的作业,下列说法正确的是(A)(A)两人都对 (B)两人都不对(C)甲对,乙不对 (D)甲不对,乙对5.如图,过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC,BD的平行线,若所围成的四边形EFGH是矩形时,原四边形ABCD必须满足的条件是(C)(A)ADCD(B)AD=CD(C)ACBD(D)AC=BD6.(xx龙东)如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件AC=BD或ABC=90或BCD=90或CDA=90或 DAB=90或ABBC等(答案不唯一),使平行四边形ABCD是矩形.7.如图,在矩形ABCD中,BC=20 cm,点P和点Q分别从点B和点D同时出发,按逆时针方向在矩形ABCD的边上运动,若点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s,则4s时,四边形ABPQ成为矩形.8.如图,ABCD,A=B=90,AB=3 cm,BC=2 cm,则AB与CD之间的距离为2 cm.9.如图,已知在ABC中,D是BC的中点,AN是ABC外角CAM的平分线,CEAN,垂足为点E.如果AB=AC,试判断四边形ADCE是什么四边形?解:四边形ADCE为矩形.理由如下:在ABC中,因为AB=AC,D为BC的中点,所以ADBC,BAD=CAD,因为NA为ABC外角CAM的平分线,所以MAE=CAE,所以DAE=DAC+CAE=12180=90.因为CEAN,所以CEA=DAE=ADC=90,所以四边形ADCE是矩形.10.(xx云南模拟)如图,平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,EFBD于点O,EF分别交AD,BC于点E,F.且AE=EO=12DE,那么平行四边形ABCD是否是矩形,为什么?解:平行四边形ABCD是矩形.理由如下:如图,取DE的中点G,连接OG,因为EFBD,所以EOD=90,在RtDOE中,OG=12DE=EG=DG,因为AE=EO=12DE,所以EO=OG=EG,所以OEG是等边三角形,所以AEO=DGO=120.因为AE=DG,OE=OG,所以AOEDOG,所以AO=DO.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AC=2AO=2DO=BD,所以平行四边形ABCD是矩形.11.(xx黄陂期中)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且ABC+ADC=180.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若ADFFDC=32,DFAC,求BDF的度数.(1)证明:因为AO=CO,BO=DO,所以四边形ABCD是平行四边形,所以ABC=ADC.因为ABC+ADC=180,所以ABC=ADC=90,所以四边形ABCD是矩形.(2)解:因为ADC=90,ADFFDC=32,所以FDC=25ADC=2590=36.因为DFAC,所以DCO=90-FDC=90-36=54.因为四边形ABCD是矩形,所以OC=OD,所以ODC=DCO=54,所以BDF=ODC-FDC=54-36=18.12.(探究题)已知:RtABC中,C=90,AC=3,BC=4,P为AB上任意一点,PFAC于F,PEBC于E,则EF的最小值是2.4.13.(拓展探究题)如图,在等边ABC中,D是BC边的中点,以AD为边作等边ADE.取AB边的中点F,连接CF,CE,试判断四边形AFCE的形状.并说明理由.解:四边形AFCE是矩形.理由:因为ABC是等边三角形,且D是BC的中点,所以DA平分BAC,即BAD=DAC=30;因为DAE是等边三角形,所以DAE=60,所以FAE=BAD+DAE=90;因为BAC是等边三角形,F是AB的中点,所以CFAB,所以AFC=90,所以AECF,因为BAC是等边三角形,且AD,CF分别是BC,AB边的中线,所以AD=CF,又因为AD=AE,所以CF=AE,所以四边形AFCE是平行四边形,因为AFC=90,所以四边形AFCE是矩形.
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