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17学习目标1.会运用勾股定理解决简单问题.2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3.会运用勾股定理及逆定理解决综合问题及实际问题.一、知识网络二、知识梳理1.如图,ACB=90a2+b2=c2(1)勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边长为c,那么.几何语言描述:()(2)勾股定理逆定理:如果三角形三边长a,b,c满足,那么几何语言描述:()2.原命题与逆命题.3.勾股定理的几种常见证明方法.(P24,P30)4.勾股数三、基础练习1.三角形的三边为a,b,c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是()A.abc=81617B.a2-b2=c2C.a2=(b+c)(b-c)D.abc=135122.已知直角三角形的两条边长分别是5和12,则第三边为.3.已知ABC中,C=90,A=30,BC=4,则AC=,BCACAB=.4.已知ABC中,C=90,A=45,BC=5,则AB=,BCACAB=.5.在平面直角坐标系中,已知点P的坐标是(1,2),则OP的长为.6.如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是.7.求下图中字母所代表的正方形的面积.A面积是()B面积是()四、典例分析【例1】(xx绍兴中考)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米C解析:在RtACB中,ACB=90,BC=0.7米,AC=2.4米,AB2=0.72+2.42=6.25.在RtABD中,ADB=90,AD=2米,BD2+AD2=AB2=AB2,BD2+22=6.25,BD2=2.25,BD0,BD=1.5米,CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.故选C.【例2】(xx年湖南省长沙市麓山国际学校中考)如图,在RtABC中,ACB=90,B=30,AC=2,将ABC绕点C逆时针旋转至ABC,使得点A恰好落在AB上,AB与BC交于点D,则ACD的面积为()A.1B.32C.3D.23B解析:在RtABC中,ACB=90,AC=2,ABC=30,AB=2AC=4,BC=AB2-AC2=42-22=23,A=90-B=60,CA=CA,ACA是等边三角形,AA=AC=AC=2,AC=AB=2,ACB=B=30,CAB=60,CDA=180-ACD-CAD=90,AD=12AC=1,CD=CA2-AD2=3,SACD=1213=32.故选B.【例3】(xx年贵州省安顺市中考)三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的高线长等于.2.4解析:32+42=25=52,该三角形是直角三角形,根据直角三角形面积等于斜边与斜边上的高乘积一半,也等于两直角边乘积的一半.斜边上的高线长=345=2.4.故答案为:2.4.【例4】如图,ABCB于B,AD=24,AB=20,BC=15,CD=7,求四边形ABCD的面积.解:ABCB,AC=AB2+BC2=202+152=25,故有AD2+CD2=242+72=252=AC2,D=90,S四边形ABCD=SABC+SACD=122015+12724=150+84=234.五、达标检测1.已知直角三角形两边的长为3和4,则此三角形的周长为()A.12B.7+7C.12或7+7D.以上都不对2.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,A,B都是格点,则线段AB的长度为()A.5B.6C.7D.253.下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是()A.3,4,4B.3,4,5C.3,4,6D.3,4,34.如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为()A.5米B.3米C.(5+1)米D.3米5.如果梯子的底端离建筑物5 m,那么长为13 m梯子可以达到该建筑物的高度是()A.12 mB.14 mC.15 mD.13 m6.已知ABC的三边长a,b,c满足a-2+|b-2|+(c-22)2=0,则ABC一定是三角形.7.如图,有一长方形的仓库,一边长为5 m,现要将它改建为简易住房,改建后的住房分为客厅、卧室和卫生间三部分,其中客厅和卧室都为正方形,且卧室的面积大于卫生间的面积,若改建后卫生间的面积为6 m2,则长方形仓库另一边的长是.8.如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=3,P是以CD为直径半圆上的一个动点,连接BP,则BP最大值是.9.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且QPN=30,点A处有一所中学,AP=160 m.假设拖拉机行驶时,周围100 m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18 km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?10.如图,等边ABC,其边长为1,D是BC中点,点E,F分别位于AB,AC边上,且EDF=120.(1)直接写出DE与DF的数量关系;(2)若BE,DE,CF能围成一个三角形,求出这个三角形最大内角的度数;(要求:写出思路,画出图形,直接给出结果即可)(3)思考:AE+AF的长是否为定值?如果是,请求出该值,如果不是,请说明理由.备用图参考答案二、知识梳理略三、基础练习1.A2.13或1193.43;1324.52;1125.56.57.625;144四、典例分析略五、达标检测1.C2.A3.C4.C5.A6.等腰直角7.8 m8.13+29.解:作ABMN,垂足为B.在RtABP中,ABP=90,APB=30,AP=160 m,AB=AP2=80 m.(在直角三角形中,30所对的直角边等于斜边的一半)点A到直线MN的距离小于100 m,这所中学会受到噪声的影响.假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC=100(m),由勾股定理得BC2=1002-802=3 600,BC=60 m.同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD=100(m),BD=60(m),CD=120(m).拖拉机行驶的速度为18 km/h=5 m/s,t=1205=24 s.答:拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24 s.10.(1)结论:DE=DF.证明:如图1中,连接AD,作DNAB,DMAC,垂足分别为N,M.ABC是等边三角形,BAC=60,AB=AC,BD=DC,BAD=CAD,DN=DM,EDF=120,EDF+BAC=180,AED+AFD=180,AED+DEN=180,DFM=DEN,在DNE和DMF中,DEN=DFM,DNE=DMF,DN=DM,DNEDMF,DE=DF.(2)能围成三角形,最大内角为120.证明:如图2中,延长FD到M使得DF=DM,连接BM,EM.在DFC和DMB中,DC=DB,FDC=BDM,DF=DM,DFCDMB,MBD=C=60,BM=CF,DE=DF=DM,EDM=180-EDF=60,EDM是等边三角形,EM=DE,EB,ED,CF能围成EBM,最大内角EBM=EBC+DBM=60+60=120.(3)如图1中,在ADN和ADM中,AD=AD,DN=DM,ADNADM,AN=AM,AE+AF=AN-EN+AM+MF,由(1)可知EN=MF.AE+AF=2AN,BD=DC=12,在RtBDN中,B=60,BDN=30,BN=12BD=14,AN=AB-BN=34,AE+AF=32.图1图2
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