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课时训练(二十六)圆的基本性质|夯实基础|1.xx盐城 如图K26-1,AB为O的直径,CD为O的弦,ADC=35,则CAB的度数为()图K26-1A.35B.45C.55D.652.xx威海 如图K26-2,O的半径为5,AB为弦,点C为AB的中点,若ABC=30,则弦AB的长为()图K26-2A.12B.5C.532D.533.xx南京 过三点A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为()A.(4,176)B.(4,3)C.(5,176)D.(5,3)4.xx安顺 已知O的直径CD=10 cm,AB是O的弦,ABCD,垂足为M,且AB=8 cm,则AC的长为()A.25 cmB.45 cmC.25 cm或45 cmD.23 cm或43 cm5.xx杭州 如图K26-3,AB是O的直径,点C是半径OA的中点,过点C作DEAB,交O于D,E两点,过点D作直径DF,连结AF,则DFA=.图K26-36.xx临沂 如图K26-4,在ABC中,A=60,BC=5 cm.能够将ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是cm.图K26-47.xx绍兴 等腰三角形ABC中,顶角A为40,点P在以A为圆心,BC长为半径的圆上,且BP=BA,则PBC的度数为.8.如图K26-5,已知正方形ABCD内接于O,O的半径为32,点E是弧AD上的一点,连结BE,CE,CE交AD于点H,作OG垂直BE于点G,且OG=2,则EHCH=.图K26-59.如图K26-6,在ABC中,AB=AC,以AC为直径的O交AB于点D,交BC于点E.(1)求证:BE=CE;(2)若BD=2,BE=3,求AC的长.图K26-610.xx无锡 如图K26-7,四边形ABCD内接于O,AB=17,CD=10,A=90,cosB=35,求AD的长.图K26-711.xx武汉 如图K26-8,ABC内接于O,AB=AC,CO的延长线交AB于点D.(1)求证:AO平分BAC;(2)若BC=6,sinBAC=35,求AC和CD的长.图K26-8|拓展提升|12.xx武汉 如图K26-9,在O中,点C在优弧AB上,将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若O的半径为5,AB=4,则BC的长是()图K26-9A.23B.32C.532D.65213.如图K26-10,正方形ABCD和正三角形AEF都内接于O,EF与BC,CD分别相交于点G,H,则EFGH的值是()图K26-10A.62B.2C.3D.214.xx台州 如图K26-11,ABC是O的内接三角形,点D在BC上,点E在弦AB上(E不与A重合),且四边形BDCE为菱形.(1)求证:AC=CE.(2)求证:BC2-AC2=ABAC.(3)已知O的半径为3.若ABAC=53,求BC的长; 图K26-11当ABAC为何值时,ABAC的值最大?参考答案1.C2.D解析 如图,连结OA,OC,OC交AB于点M.根据垂径定理可知OC垂直平分AB,因为ABC=30,故AOC=60,在RtAOM中,sin60=AMOA=AM5=32,故AM=532,即AB=53.故选D.3.A解析 根据题意,可知线段AB的垂直平分线为直线x=4,再由C点的坐标可求得圆心的横坐标为4.设圆的半径为r,则根据勾股定理可知r2=22+(5-2-r)2,解得r=136,因此圆心的纵坐标为5-136=176,因此圆心的坐标为4,176.4.C解析 由题可知,直径CD=10 cm,ABCD,AB=8 cm,当点M在线段OC上时,OA=OC=5 cm,AM=4 cm.OA2=AM2+OM2,OM=3 cm,即CM=OC-OM=2 cm.由勾股定理,得AC2=AM2+CM2=25 cm.当点M在线段OD上时,CM=OC+CM=8 cm.由勾股定理,得AC2=AM2+CM2=45 cm.故AC的长为25 cm或45 cm.5.30解析 连结DB,ABDE,且C为OA中点,OC=AC=12DO,DOC=60.DBA=DFA=30.6.1033解析 能够将ABC完全覆盖的最小圆形片是如图所示的ABC的外接圆O,连结OB,OC,则BOC=2BAC=120,过点O作ODBC于点D,BOD=12BOC=60.由垂径定理得BD=12BC=52,OB=BDsin60=5232=533,能够将ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是1033 cm.7.30或110解析 分两种情况:(1)如图,BP=BA=AC,AP=BC,四边形APBC为平行四边形,BAC=ABP=40,ABC=ACB=70,PBC=ABP+ABC=40+70=110.(2)如图,AP=BC,BP=AC,AB=AB,BAPABC,PBA=BAC=40,PBC=ABC-ABP=70-40=30.8.22-19解析 连结AC,BD,DE,OGBE,BG=GE,又BO=OD,OG=12DE,则DE=2OG=22,由勾股定理得,BE=BD2-DE2=8,BC=6.EBD=ECD,BED=CDH=90,CDHBED,CDBE=DHED,DH=CDEDBE=322,AH=6-322=12-322,CH=CD2+DH2=922.CAD=DEC,ACE=ADE,ACHEDH,AHEH=CHDH,则EH=AHDHCH=4-22,EHCH=22-19.9.解:(1)证明:如图,连结AE.AC为O的直径,AEC=90,AEBC.又AB=AC,BE=CE.(2)如图,连结DE.四边形ACED为O的内接四边形,BED=BAC.又B=B,BEDBAC,BEBA=BDBC.BE=CE=3,BC=6.又BD=2,3BA=26,BA=9,AC=9.10.解:如图所示,延长AD,BC交于点E,四边形ABCD内接于O,A=90,EDC=B,ECD=A=90,ECDEAB,CDAB=ECEA.cosEDC=cosB=35,CDED=35,CD=10,10ED=35,ED=503,EC=ED2-CD2=(503)2-102=403.1017=403503+AD,AD=6.11.解:(1)证明:连结OB,AO=AO,BO=CO,AB=AC,AOBAOC,BAO=CAO,即AO平分BAC.(2)如图,过点D作DKAO于K,延长AO交BC于H.由(1)知AHBC,OB=OC,BC=6,BH=CH=12BC=3,COH=12BOC.BAC=12BOC,COH=BAC.在RtCOH中,OHC=90,sinCOH=HCOC=35,CH=3,CO=AO=5,OH=4,AH=AO+OH=5+4=9,tanCOH=tanDOK=34.在RtACH中,AHC=90,AH=9,CH=3,tanCAH=CHAH=13,AC=310.由(1)知CAH=BAH,tanBAH=tanCAH=13.设DK=3a,在RtADK中,tanBAH=13,在RtDOK中,tanDOK=34,OK=4a,DO=5a,AK=9a,AO=OK+AK=13a=5,a=513,DO=5a=2513,CD=OC+OD=5+2513=9013.AC=310,CD=9013.12.B解析 连结AC,DC,OD,过C作CEAB于E,过O作OFCE于F.设D关于直线BC的对称点为H.连结CH,BH,CO,OA.BC沿BC折叠,CDB=H.H+CAB=180,CDA+CDB=180,CAB=CDA,CA=CD.CEAD,AE=ED=1,OA=5,AD=2,OD=1.ODAB,OFED为正方形,OF=1,OC=5,CF=2,CE=3,CB=32.13.C解析 如图,连结AC,BD,OF,AC与EF相交于点I.设O的半径是r,则OF=r.依题意有AO是EAF的平分线,OAF=602=30.OA=OF,OFA=OAF=30,FOI=60,FI=rsin 60=32r,EF=32r2=3r.AO=2OI,OI=12r,CI=r-12r=12r,GHBD=CICO=12,GH=12BD=122r=r,EFGH=3rr=3,即EFGH的值是3.故选C.14.解:(1)四边形BDCE是菱形,EBC=DBC,CD=CE,AC=CD,AC=CD,AC=CE.(2)如图所示,延长BA到点F,使AF=AC,连结FC,AC=CE,CEA=CAE,BEC=CAF.BE=CE,AC=AF,EBC=ECB=ACF=F,BCEFBC,BCBF=CEBC,即BC2=CEBF.AC=CE,AC=AF,BC2=CEBF=AC(AB+AF)=AC(AB+AC)=ABAC+AC2,BC2-AC2=ABAC.(3)如图所示:连结ED,交BC于点H,连结OB.由ABAC=53得AB=53AC,BC2-AC2=ABAC=53AC2,即BC2=83AC2,BC=263AC.四边形BDCE是菱形,EDBC,BH=CH,即ED是BC的垂直平分线.点O是外心,点O在ED上.BH=12BC,BH=63AC,设AC=3k,BH=6k,则BD=CE=AC=3k.在RtBDH中,DH=BD2-BH2=(3k)2-(6k)2=3k,OH=OD-DH=3-3k.在RtOBH中,BH2+OH2=OB2,即(6k)2+(3-3k)2=32,解得k=233,AC=23,BC=263AC=26323=42.如图所示:设ABAC=x,则AB=ACx.BC2-AC2=ABAC=AC2x,BC2=AC2(x+1),BC=x+1AC,BH=x+12AC.四边形BDCE是菱形,BD=CE=AC.在RtBDH中,DH2=BD2-BH2=AC2-(x+12AC)2=3-x4AC2,DH=3-x2AC,OH=OD-DH=3-3-x2AC,在RtBOH中,BH2+OH2=BO2,即(x+12AC)2+(3-3-x2AC)2=32,整理得AC=33-x,ABAC=ACxAC=33-xx33-x=9x(3-x)=-9x2+27x.a=-90,ABAC有最大值.ABAC=-9x2+27x=-9x-322+814,当x=32时,ABAC取到最大值814,即ABAC=32时,ABAC取到最大值814.
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