资源描述
知识讲解几何问题探究相似与比例相关问题知识点相似三角形的性质与判定；相似三角形的综合；教学目标熟练掌握图形相似的证明方法；教学重点能够灵活的运用图形的性质去证明图形中线段的关系；教学难点灵活运用相似、旋转、全等证明方法探究图形的线段问题；知识讲解在数量关系的猜想中，证明两条线段相等的情况较多，有时也出现证明两条线段的倍数关系，如AB=2CD或AB=CD等。在证明两条线短相等的过程中，可以根据特殊四边形的性质证明两条线段相等，也可以证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质证明两条线段相等。证明两条线段的倍分关系时，利用构造基本图形模型证明，具体情况如下：1.利用三角形的中位线或直角三角形证明a=b；2.利用等腰三角形证明a=b；3.利用含30角的直角三角形证明a=b等；考点2 两条线段之间的位置关系在位置关系猜想中，两条线段是垂直关系还是平行关系一目了然，关键是如何证明，方法如下：1.在证明垂直关系时，由垂直定义，即两条线段相交，所夹的角是90，一般利用直角三角形的两个锐角互余的角度进行证明；2.在证明两条线段平行时，大多是根据平行线的判定方法进行证明即可；总之证明位置关系，需要根据图形的性质，利用三角形全等进行证明，有时利用相似。在解答时，根据具体的题目条件，分解出基本图形，灵活掌握并选择方法证明。考点3 相似三角形的判定定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似考点4 证明题常用方法归纳（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”（2）找相似： 通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.（3）找中间比： 若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。（4） 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。例题精析例1 已知：如图，若以ABC边AB、AC为边向外作矩形ABDE和矩形ACGF，AC=k AF,AB=k AE ,M、N分别为BC和DG的中点.试探究线段MN、BC之间的关系，并证明你的结论.例2如图11，在OAB和OCD中，A 1)，AOB =COD，OAB与OCD互补试探索线段AB与CD的数量关系，并证明你的结论说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取中的一个条件k = 1(如图12)；点C在OA上，点D与点B重合(如图13)例3已知点E在ABC内，ABCEBD，ACBEDB60，AEB150，BEC90（1）当60时（如图17），判断ABC的形状，并说明理由；求证：BDAE；（2）当90时（如图18），求的值例4已知ABC是等边三角形，CDAC，AECD，且EAED，BE与AD相交于点F（1）若CADDAE（如图14），试判断BF与FE的数量关系，并说明理由；（2）若CAD2DAE（如图15），求的值例5在ABC中，A90，点D在线段BC上，EDBC，BEDE，垂足为E，DE与AB相交于点F（1）当ABAC时，（如图13）， EBF_； 探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）当ABkAC时（如图14），求的值（用含k的式子表示）课程小结本节课主要研究了相似与比例相关问题，抓住题干所提供的信息，利用证明所缺条件构造出全等形或是相似形是本节课的重点，几何问题的探究，是一个长期积累的过程，注重几何知识的综合运用，积累基本型是重中之重。例1【规范解答】证明：延长BN使得BN=NH，连接HG、HC、NC,又 ND=NG , DNB=GNH DNBGNH BD=HG延长BA交HG于Q点 BDHG AQG=ACG=90在四边形ACGQ中，AQG+ACG=180，则 HGC+QAC=180又BAC+QAC=180, HGC=BAC又AC=kAF,AB=kAE , BACHGC, BC=kHCM、N分别为BC和DG的中点MNHC, MNBC, HC=2MNBC=2kMN【总结与反思】延长BN，构造八字形全等，得到与BD相等的边HG，构造BACHGC，从而可以得到HC与BC的关系，进而得到BC与MN的关系。例2【规范解答】结论：AB =kCD证明：（方法一）在OA上取一点E，使OE=k OC，连接EB， OB= k OD，AOB=COD， OEBOCD，即EB=kCD，OEB=OCDOAB+OCD=180 ，OAB+OEB=180 ，AEB+OEB=180 ，OAB=AEBEB =AB， AB =kCD （方法二）延长OC到点E，使OE=OA，连接DE证明DOEBOA，再证明DCE是等腰三角形，进而证出结论（方法三）作DEOC交OC的延长线于E，作BFOA于F，证明DOEBOF，再证明DCEBAF，进而证出结论（评分标准参照证法一）选择（1）结论：AB =CD证明：（方法一）在OA上取一点E，使OE= OC，连接EBOB=OD，AOB=COD，OEBOCDEB=CD，OEB=OCD，OAB+OCD=1800，OAB+OEB=1800AEB+OEB=1800，OAB=AEB，EB =ABAB =CD（方法二）延长OC到点E，使OE=OA，连接DE证明DOEBOA，再证明DCE是等腰三角形，进而证出结论。（方法三）作DEOC交OC的延长线于E，作BFOA于F，证明DOEBOF，再证明DCEBAF，进而证出结论。（评分标准参照证法一）选择（2）结论：AB =CD证明：OAB+OCB=1800，ACB+OCB=1800，OAB=ACB，CB =AB即AB =CD【总结与反思】ABDCE图17方法一是截取图形构造相似形，方法二是补出图形构造相似形，方法三是作垂创造条件构造相似形。我们介绍的这三种证明方法，同时也适用于后面附加条件的证明。本题如若选择条件证明会相应的减掉一些分值。例3【规范解答】（1）判断：ABC是等边三角形 证明：ABC是等边三角形同理EBD也是等边三角形连接DC，则AB=BC，BE=BD，图18CEABDABE CBD，AE=CD，在RtEDC中 ，（2）连接DC，ABC EBD ， ，又，ABE CBD ，设BD=x 在RtEBD中，DE=2x，BE=在RtEDC中，CD=，即【总结与反思】（1）题中给出了特殊角60，我们通过导角便可以得出ABC是等边三角形，同理EBD也是等边三角形.由图形全等可以得到一个特殊三角形RtEDC，从而得到BD=AE.（2）补全图形，仿照（1），证明相似，通过边之间的关系便可以确定BD与AE的比值了。例4【规范解答】解(1) 判断：BF=FE证明：作BQAC，交AC于点P ，交AD于点Q CDAC，ACD =90，AECD ，EAC= 90，CAD=DAE，CAD =30，DAE=60EA=ED，EAD是等边三角形，EA=AD=2 CD，又ABC是等边三角形AP=PC，APB=90=EAC=ACD，AEBQCD， 即Q是AD中点EAF=BQF，AEF=QBF，PQ=CD，AC=CD在RtABP中，BP=AP=AC=CD，BQ= BP+ PQ=2CD=EAAFE QFB，BF=FE（2）作BQAC，交AC于点P ，交AD于点Q ,连接EQ同理P、Q为AC、AD的中点，EAF=BQF，AEF=QBFAFEQFB，EAC= 90,CAD=2DAE，CAD =60，DAE=30PQ=CD, AC=CD, AD=CD，BQ= BP+ PQ= AC+CD=CD+CD=CDAQ=AD=CD ，又EA=ED，EQADEA= AQ=CD= CD【总结与反思】（1）作垂线，通过题干所提供的信息得到BQ与AE的关系，从而构造全等AFE QFB，去证明BF=FE。（2）作垂线，过题干所提供的信息，从而构造全等AFEQFB，去证明BF与EF的比值是3：2.例5【规范解答】解：（1）22.5 结论：BEFD证明：如图1，过点D作DGCA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H则GDBC BHDA90GHB，EDBCGDBEDG又DEDE，DEBDEG90，DEBDEG，BEGEGB，ABAC A90，ABCCGDB，HBHDDEBBHD90 BFEDFH，EBFHDF，GBHFDH，GBFD，BEFD（2）如图1，过点D作DGCA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H同理可证：DEBDEG，BEGB，BHDGHB90，EBFHDF，GBHFDH 即，又DGCA，BHDBAC， 即k第二种解法：解：（1）ABACA90，ABCC45，EDB C，EDB22.5BEDE，EBD67.5，EBF67.54522.5在BEF和DEB中，EE90，EBFEDB22.5，BEFDEB如图：BG平分ABC，BGGDBEG是等腰直角三角形，设EFx，BEy，则：BGGD y，FD yyxBEFDEB， ，即： ，得：x（ 1）y，FD yy（ 1）y2yFD2BE（2）如图：作ACB的平分线CG，交AB于点G，ABkAC，设ACb，ABkb，BC b利用角平分线的性质有： ，即： ，得：AG EDB ACB，tanEDBtanACG ，EDB ACB ABC90ACB，EBF90ABCEDB ACB，BEFDEB，EF BEED BEEFFD，FD BE BE BE 【总结与反思】我们介绍了两种方法一种是作平行线，目的是将半角变成倍角，另一种方法是作角平分线，目的是将倍角变成半角，无论哪种方式，最终的目的都是为了构造全等形或是相似形。
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