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第17讲二次函数的图象和性质,第三章函数及其图象,知识盘点,1二次函数及其相关概念2二次函数的图象3二次函数的性质4二次函数与一元二次方程5二次函数图象的平移6求二次函数的解析式的方法,1数形结合思想二次函数的图象与性质是数形结合最好的体现，二次函数yax2bxc(a0)的图象特征与a，b，c及判别式b24ac的符号之间的关系如下：,难点与易错点,特殊值：当x1，yabc；当x1时，yabc.若abc0，即x1时，y0.若abc0，即x1时，y0.,2、注意二次函数ya(xm)2k的图形平移，一般按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”即“左加右减，上加下减”，容易出现移动方向弄反3、求二次函数与x轴交点坐标的方法是令y0解关于x的方程；求函数与y轴交点的方法是令x0得y值，容易出现求与x轴交点坐标时，令x0，求与y轴交点坐标时，令y0的错误,4、根据a，b，c确定函数的大致图象易错点：(1)c的大小决定抛物线与y轴的交点位置，c0时，抛物线过原点，c0时，抛物线与y轴交于正半轴，c0时，对称轴在y轴左侧，当ab0时，对称轴在y轴的右侧,12015兰州下列函数解析式中，一定为二次函数的是()2在下列二次函数中，其图象对称轴为x2的是()Ay(x2)2By2x22Cy2x22Dy2(x2)2,C,A,夯实基础,3对于二次函数y2(x1)(x3)，下列说法正确的是()A图象的开口向下B当x1时，y随x的增大而减小C当x1时，y随x的增大而减小D图象的对称轴是直线x14在平面直角坐标系中，将抛物线yx24先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式为()Ay(x2)22By(x2)22Cy(x2)22Dy(x2)22,C,B,Ay1y2y3By1y3y2Cy2y1y3Dy3y1y2,B,(1)用配方法求抛物线的顶点坐标；(2)x取何值时，y随x的增大而减小；(3)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴的交点为C，求SABC.,考点一：二次函数的图象和性质,典例探究,12015乐山二次函数yx22x4的最大值为()A3B4C5D6【解析】y(x1)25，a10，当x1时，y有最大值，最大值为5.,C,【对应训练】,C,考点二：二次函数的平移2015成都将抛物线yx2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为()Ay(x2)23By(x2)23Cy(x2)23Dy(x2)23【解析】抛物线yx2平移后的抛物线解析式为y(x2)23.,A,12014丽水在同一平面直角坐标系内，将函数y2x24x3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是()A(3，6)B(1，4)C(1，6)D(3，4)【解析】函数y2x24x3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象y2(x2)24(x2)31，即y2(x1)26，顶点坐标是(1，6),C,对应练习,2抛物线yx2bxc图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为yx22x3，则b，c的值为()Ab2，c2Bb2，c0Cb2，c1Db3，c2【解析】先配方为y(x1)24，逆向思考把y(x1)24先左移2个单位，再向上移3个单位得到解析式为y(x12)243(x1)21，化为一般式是yx22x，故选择B.,B,【点悟】(1)二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后求出平移后的顶点坐标，从而求出平移后二次函数的解析式(2)图象的平移规律：上加下减，左加右减,考点三：二次函数的解析式的求法,【例1】(2015黑龙江)如图，抛物线yx2bxc交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴是x2.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由,【点评】根据不同条件，选择不同设法(1)若已知图象上的三个点，则设所求的二次函数为一般式yax2bxc(a0)，将已知条件代入，列方程组，求出a，b，c的值；(2)若已知图象的顶点坐标或对称轴，函数最值，则设所求二次函数为顶点式ya(xm)2k(a0)，将已知条件代入，求出待定系数；(3)若已知抛物线与x轴的交点，则设抛物线的解析式为交点式ya(xx1)(xx2)(a0)，再将另一条件代入，可求出a值,2、2015遵义如图172，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A(4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2)(1)求抛物线的解析式；(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A，C，D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积图172,答图,【点悟】(1)当已知抛物线上三点求二次函数的解析式时，一般采用一般式yax2bxc(a0)；(2)当已知抛物线顶点坐标(或对称轴或最大、最小值)求解析式时，一般采用顶点式ya(xm)2k；(3)当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的解析式时，一般采用两根式ya(xx1)(xx2),考点四：二次函数的综合运用,【例3】(2015深圳)如图，关于x的二次函数yx2bxc经过点A(3，0)，点C(0，3)，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上(1)求抛物线的解析式；(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由,【点评】本题主要涉及待定系数法、角平分线的性质、三角函数、三角形面积等知识点在(2)中注意分点P在DAB的角平分线上和在外角的平分线上两种情况,如图176，二次函数yx22xm的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C.(1)求m的值；(2)求点B的坐标；(3)该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x0，y0)，使SABDSABC，求点D的坐标,图176,对应练习,【解析】(1)将A(3，0)的坐标代入二次函数解析式yx22xm；(2)令y0，解一元二次方程；(3)由于SABDSABC，则C，D关于二次函数对称轴对称解：(1)将A(3，0)的坐标代入二次函数解析式，得3223m0，解得m3；(2)二次函数解析式为yx22x3，令y0，得x22x30，解得x3或x1，点B的坐标为(1，0)；,(3)SABDSABC，点D在第一象限，点C的纵坐标与点D的纵坐标相等，点C，D关于二次函数对称轴对称由二次函数解析式可得其对称轴为x1，点C的坐标为(0，3)，点D的坐标为(2，3),
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