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知识点21 二次函数在实际生活中应用一、选择题1. （xx北京，7，2）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系yax2bxc（a0）下图记录了某运动员起跳后的x和y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为 （ ） A10m B15m C20m D22.5m 【答案】B【解析】解法一：设抛物线的解析式为yax2bxc，由题意得，解得，从而对称轴为直线x15，故选B解法二：将图上三个点(0，54)，(20，57.9)，(40，46.2)用光滑的曲线顺次连接起来，会发现对称轴位于直线x20的左侧，非常靠近直线x20，因此从选项中可知对称轴为直线x15，故选B【知识点】二次函数图像的性质；二次函数的简单应用；二次函数解析式的求法；数形结合思想二、填空题1. （xx四川绵阳，16，3分） 右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m.【答案】4-4【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=-2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-2代入抛物线解析式得出：-2=-0.5x2+2，解得：x=2，故水面此时的宽度为4，比原先增加了4-4.故答案为4-4.【知识点】二次函数的应用三、解答题1. （xx山东滨州，23，12分） 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y5x20x，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行的时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？第23题图【思路分析】本题主要考查了二次函数的函数值及最值在实际问题中的应用，解答关键是将实际问题中的相关条件转化为二次函数中的相应数值再根据二次函数的性质求解（1）小球飞行高度为15m，即y5x20x中y的值为15，解方程求出x的值，即为飞行时间；（2）小球飞出时和落地时的高度为0，据此可以得出05x20x，求出x的值，再求差即可；（3）求小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？即求x为何值时，二次函数有最大值，最大值是多少？【解题过程】（1）当y15时有5x20x 15，化简得x4x30因式分解得（x1）（x3）0，故x1或3，即飞行时间是1秒或者3秒（2）飞出和落地的瞬间，高度都为0，故y0所以有05x20x，解得x0或4，所以从飞出到落地所用时间是404秒（3）当x2时，小球的飞行高度最大，最大高度为20米.【知识点】二次函数图像与x轴交点及最值2. （xx浙江衢州，第23题，10分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系。（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进；在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后水热水柱的最大高度。【思路分析】本题考查了二次函数的实际应用，包括建立直角坐标系待定系数法求解析式，正确把握抛物线图像和性质是解题的关键。（1）利用待定系数法，已知顶点、与x轴交点为（8,0）。根据抛物线的对称性也得另一交点（-2，0），从而列方程组解得即可。（2）根据上题中解得的解析式，令y的值为1.8，求得x的值，再根据对称性确定范围。（3）因形状不变，故抛物线的a值不变，又因装饰物高度不变，故与y轴的交点也不变，且与x轴的交点为（16,0），利用待定系数法可求得。【解题过程】（1）抛物线的顶点为（3，5），设y=a (x-3)2+5， 将（8，0）代入的a=，y=(x-3)2+5，或者y=（0x8）， 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x=1；（2）当y=1.8时，即1.8=可得=7，=-1（舍去）答：王师傅必须站在离水池中心7米以内。（3）y=(x-3)2+5可得原抛物线与y轴的交点为（0，）， 装饰物的高度不变，新抛物线也经过（0，），喷水柱的形状不变，所以a=直径扩大到32米，新抛物线也过点（0，16）设新抛物线为y新=（0x0,BC189x36(2)由上问可知y=-2x2+36x（9x36）当y=160时-2x2+36x=160解得x1=10,x2=89x36x=10即AB=10m.（3）解：设甲为a,乙为b,则丙为400-a-b(a、b为整数)由题意可得：14a+16b+28(400-a-b)=8600.即7a+6b=1300由（1）得，a的最大值为184此时丙最多214株用地面积（184+2.4）0.4+21=161.2y=x(36-2x), 当x=9时,y最大值为162 这批植物可以全部栽种到这块空地上【知识点】方程、不等式、8. （xx湖北荆门，22，10分）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了小龙虾，计划养殖一段时间后再出售.已知每天养殖龙虾的成本相同，放养天的总成本为，放养天的总成本为元.设这批小龙虾放养天后的质量为，销售单价为元/，根据往年的行情预测，与的函数关系为，与的函数关系如图所示.（1）设每天的养殖成本为元，收购成本为元，求与的值；（2）求与的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养天后一次性出售所得利润为元.问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额-总成本）【思路分析】（1）根据放养天的总成本为，放养天的总成本为元可得，解出m和n的值即可；（2）当0t20时，设，将（0，16）和（20，28）代入即可得出解析式，当20t50时，设 ，将（20，28）和（50，22）代入即可得出解析式；（3）根据题意可得当0t20时，W=5400t，当20t50时，W=-20(t-25)2+108500，进而得出W的最大值.【解题过程】解：（1）依题意，得，解得.（2） 当0t20时，设，由图象得：，解得，.当20t50时，设 ，由图象得：，解得，综上，.（3） W=ya-mt-n当0t20时，W=10000()-600t-160000=5400t54000，当t=20时，W最大=540020=10800当20t50时，W=（）（100t+8000）-600t-160000=-20t2+1000t+96000=-20(t-25)2+108500-200，抛物线开口向下，当t=25时，W最大=108500，108500108000，当t=25时，W取最大值，该最大值为108500元.【知识点】待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值9.（xx河南，21，10分）某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量（个）与销售单价（元）之间满足一次函数关系关于销售单价, 日销售量, 日销售利润的几组对应值如下表：销售单价x（元）8595105115日销售量（个）17512575m日销售利润（元）87518751875875 （注：日销售利润 = 日销售量 （销售单价 - 成本单价）（1）求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值；（2）根据以上信息,填空：该产品的成本单价是 元当日销售单价= 元时,日销售利润最大,最大值是 元；（3）公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本. 预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元? 【思路分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，建立二次函数模型解决最值问题，列不等式组解决实际问题等知识。（1）根据表格中的信息利用待定系数法，直接计算可得；（2）根据给出的公式“日销售利润 = 日销售量 （销售单价 - 成本单价）”带入一组数据求出成本单价，进而列出二次函数的解析式；（3）根据日销售利润不低于3750元，列出不等式，经过计算，可求出当日销售利润不低于3750元的销售目标时,该产品的成本单价的范围。【解题过程】（1）设y关于x的函数解析式为,由题意得解得 y关于x的函数解析式为 3分 当时, 4分（2） 7分（3）设该产品的成本单价为a元，由题意得 解得答：该产品的成本单价应不超过65元10分【知识点】待定系数法求一次函数解析式、二次函数的最值、不等式的应用10. （xx湖北省襄阳市，23，10分） 襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段.贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售.在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克.第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克.已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W元(利润=销售收入一成本)(1)m= ；n= ；(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大?最大利润是多少?(3)在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天?【思路分析】一次函数、二次函数的实际应用题，重点考查学生建模能力，把实际问题转化为函数问题。同时考查了利用函数求最值，利用函数图象解不等式等知识点，对于学生建模能力有较高要求，同时需要学生的计算非常准确.（1） 将x=12，y=32和x=26，y=25分别代入y=mx-76m即可求出m，n的值；（2） 由（1）可知，再根据“利润=销售收入一成本”列出利润W与x的函数关系式，分别利用二次函数和一次函数的性质计算最大值，比较两种情况下的最大值即为得出答案；（3） 根据二次函数、一次函数图象的增减性确定利润不低于870元时x的取值范围，找出取值范围内的正整数解的个数即为答案.【解题过程】解：（1）m=，n=25.理由如下：把x=12，y=32代入y=mx-76m得，12m-76m=32解得，m=.把x=26，y=25代入y=n得，n=25.故答案为 25；（2）第x天的销售量为20+4(x-1)=4x+16.当1x20时，W=(4x+16)(x+38-18)=-2x2+72x+320=-2(x-18)2+968.当x=18时，W最大值=968.当20x30时，W=(4x+16)(25-18)=28x+112.k=280，W随x的增大而增大，当x=30时，W最大值=952.968952，当x=18时，W最大值=968元.即第18天当天的利润最大，最大利润为968元.（3）当1x20时，令-2x2+72x+320=870，解得，x1=25，x2=11.抛物线W=-2x2+72x+320的开口向下，11x25时，W870.11x20.x为正整数，有9天利润不低于870元.当20x30时，令28x+112870，解得，x.x30.x为整数，有3天利润不低于870元.综上所述，当天利润不低于870元的共有12天.【知识点】一次函数的应用、二次函数的应用11. （xx四川凉山州，27，14分）结合西昌市创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长80m，宽60m的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m，不大于44m，预计活动区造价60元m2，绿化区造价50元m2，设绿化区域较长直角边为xm.（1）用含x的代数式表示出口的宽度；（2）求工程总造价y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由.（4）业主委员会决定在（3）设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在实际施工中，每天比原计划多绿化11m2，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少m2.(第27题图)【思路分析】（1）出口的宽度用含x的代数式表示为（）m；（2）由出口的宽度得，又由题可得，小直角三角形的另一条直角边为(x-10)m；（2） 能否完成全部工程，关键看是否有满足条件的整数x.由题得，28.4万元，解出x.（4）该函数图像为抛物线 当x取最大时，（3）设计的方案中最省钱.此时算出，设原计划每天绿化a m2.由题得【解题过程】解：（1）出口的宽度用含x的代数式表示为（）m；（2）由题得，又由题可得，小直角三角形的另一条直角边为(x-10)m；（3）能完成全部工程.理由：由题得，28.4万元，解得（4）该函数图像为抛物线（3）设计的方案中,当x取22时，该方案最省钱.此时，设原计划每天绿化a m2.由题得原计划每天绿化33 m2.【知识点】代数式的表示法，函数关系式，不等式组的正整数解，函数的最值，用分式方程解决问题.12. （xx浙江省台州市，23，12分） 某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第个月该原料药的月销售量为（单位：吨），与之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数的图象与线段的组合；设第个月销售该原料药每吨的毛利润为（单位：万元），与之间满足如下关系：（1）当时，求关于的函数解析式；（2）设第个月销售该原料药的月毛利润为（单位：万元）.求关于的函数解析式；该药厂销售部门分析认为，是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量的最小值和最大值.【思路分析】（1）由函数图象可知A、B两点的坐标，通过待定系数法构造关于k和b的二元一次方程组，求出k和b的值即可.（2）将t分为三种情况：当0t8时，当8t12，当12t12时，针对这三种情况，利用销售该原料药的月毛利润=该原料药每吨的毛利润第t个月该原料药的月销售量即可，需要进行分类讨论.（3）将w=336代入可以得到t的值，然后代入P=t+2即可得到月销售量的最小值；将w=336代入得到相应的t的值，然后代入P=t+2可以得到月销售量的最大值.【解题过程】（1）当8t24时，设P关于t的函数解析式为P=kt+b，经过点A（8，10）、B（24，26），代入得，解得，P关于t的函数解析式为。（2）当0t8时，w=PQ=;当8t12时，w=PQ=（t+2）（2t+8）=；当12t12时，w=PQ=（t+2）（-t+44）=，w关于t的函数解析式为（3）当336w513时，将w=336代入得，整理得，解得，（不合题意，舍去）此时P=t+2=12；当时，时，当将w=336代入，整理得，解得，（不合题意，舍去），此时P=t+2=17+2=19，对应的月销售量P的最小值是12月，最大值是17月.【知识点】待定系数法求一次函数的解析式；加减法解二元一次方程组；分段函数，分类讨论的数学思想；二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程的解法；二次函数的最值；
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