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第十八章平行四边形,数学8年级下册R,18.2特殊的平行四边形,18.2.1矩形,第1课时,一个活动的平行四边形教具,轻轻拉动一个点,不管怎么拉,它还是一个平行四边形吗?为什么?,观察思考,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形.,下面我们先来看一些图片,考虑什么样的图形是矩形.请同学们观察上面的图片,思考下面的问题:(1)这些图形有哪些共同特点?(2)什么样的图形是矩形?你能给矩形下个定义吗?,学习新知,提问:如图,矩形ABCD的边、角、对角线是否有不同于一般平行四边形的特殊性质?你能得出有关性质的猜想吗?,猜想：猜想1:矩形的四个角都是直角;猜想2:矩形的对角线相等.追问:你能证明这些猜想吗?,思考,你能证明猜想1吗？,在矩形ABCD中,ABCD,BCD=180-ABC=90,ADC=ABC=90,BAD=BCD=90(平行四边形的对角相等).,观察思考,你能证明猜想2吗？,已知:如图所示,AC和BD是矩形ABCD的对角线.求证:AC=BD.,证明:在ABC和DCB中,AB=DC,ABC=DCB,BC=CB.ABCDCB(SAS).AC=BD(全等三角形对应边相等).,思考,矩形性质1矩形的四个角都是直角.,用符号语言表述为:四边形ABCD是矩形,A=B=C=D=90.,矩形性质2矩形的对角线相等.,用符号语言表述为:AC和BD是矩形ABCD的对角线,AC=BD.,课堂小结,提问:矩形中有哪些三角形?它们分别是什么三角形?它们之间有什么关系?,如图找出其中的直角三角形与等腰三角形,并说出全等的三角形,面积相等的三角形.,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,用符号语言表述为:在RtABC中,BO是斜边AC上的中线,BO=AC.,追问:如图,在直角三角形草地上修两条互相交叉的小路BO,EF,路口端点处E,F,O分别为三角形草地的三边中点,小路BO,EF的长度相等吗?请说明理由.,(1)直角三角形中,斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形,这两个等腰三角形的面积相等.,知识拓展,(2)在直角三角形中,如果遇到斜边的中点,可以考虑利用这一性质.,(3)直角三角形斜边上的中线的性质一般可以用来证明线段相等或线段的倍分问题.,例：(教材例1)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AOB=60,AB=4.求矩形对角线的长.,解:四边形ABCD是矩形,AC与BD相等且互相平分,OA=OB.又AOB=60,AOB是等边三角形.OA=AB=4.AC=BD=2OA=8.,例：(补充)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AD,BC上,且DE=CF,连接OE,OF.求证:OE=OF.,证明:四边形ABCD为矩形,ADC=BCD=90,AC=BD,OD=BD,OC=AC.OD=OC.ODC=OCD.ADC-ODC=BCD-OCD,即EDO=FCO.又DE=CF,ODEOCF.OE=OF.,课堂小结,1.用矩形纸片折出直角的平分线,下图中的折法正确的是(),解析:根据矩形的性质和图形折叠的性质,知选项A,B,C中折痕没有平分直角,只有选项D符合.故选D.,D,检测反馈,2.如图,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中1+2的度数是()A.30B.60C.90D.120,解析:题意得剩下的三角形是直角三角形,所以1+2=90.故选C.,C,3.如图,把矩形纸片沿对角线BD折叠,重叠部分为EBD,则下列说法错误的是（）A.AB=CDB.BAE=DCEC.EB=EDD.ABE一定等于30,解析:设点C在折叠前的位置为点C,如图所示.由题意易知AB与CD是矩形的对边,所以AB=CD,又CD=CD,所以AB=CD,故选项A正确.BAE与DCE都等于90,所以BAE=DCE,选项B正确.由折叠知CBD=CBD,又ADBC,所以ADB=CBD,所以CBD=ADB,所以EB=ED,选项C正确.若ABE=30,则一定有ABE=DBC=CBD=30,显然这是不一定成立的.,D,4.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为.,20,解析:由勾股定理,得AC=13,因为BO为直角三角形斜边上的中线,所以BO=6.5,由题意易知MO是ADC的中位线,由中位线的性质定理得MO=2.5,所以四边形ABOM的周长为6.5+2.5+6+5=20.,5.矩形ABCD的周长为40cm,O是它的对角线交点,若AOB的周长比AOD的周长多4cm,则矩形ABCD的最长边的长为.,12cm,解析:由矩形ABCD的周长为40cm可得AB+AD=20cm,由AOB的周长比AOD的周长多4cm,可得AB-AD=4cm,由此可得AB=12cm.故填12cm.,6.如图,已知矩形ABCD,点E为矩形外一点,且AE=DE.求证BE=CE.,证明:AE=DE,EAD=EDA,由四边形ABCD是矩形得AB=CD,BAD=CDA=90,EAD+BAD=EDA+CDA,即BAE=CDE,在ABE和DCE中,ABEDCE,BE=CE.,
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