2019-2020年八年级数学上册 第一章 勾股定理教案 北师大版.doc

2019-2020年八年级数学上册 第一章 勾股定理教案 北师大版知识与技能目标： 1.体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验证勾股定理.2.会利用勾股定理解释生活中的简单现象过程与方法目标： 1.在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想2.在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力情感态度与价值观目标： 1.培养学生积极参与、合作交流的意识2.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气教学重点探索和验证勾股定理教学难点在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理教学方法交流探索猜想.在方格纸上，同学们通过计算以直角三角形的三边为边长的三个正方形的面积，在合作交流的过程中，比较这三个正方形的面积，由此猜想出直角三角形的三边关系教具准备1.学生每人课前准备若干张方格纸.2.投影片三张：第一张：填空(记作1.1.1 A)；第二张：问题串(记作1.1.1 B)；第三张：做一做(记作1.1.1 C).教学过程.创设问题情境，引入新课出示投影片(1.1.1 A)(1)三角形按角分类，可分为_、_、_.(2)对于一般的三角形来说，判断它们全等的条件有哪些？对于直角三角形呢？(3)有两个直角三角形，如果有两条边对应相等，那么这两个直角三角形一定全等吗？师上面三个小问题是我们以前讨论过的，我们简单的回忆一下.生(1)三角形按角的大小来分类可分为：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；(2)对于一般三角形来说，我们可以用SAS(边角边)、ASA(角边角)、AAS(角角边)、SSS(边边边)来判断两个三角形全等；而对于直角三角形来说，除以上四种方法外，还可以用HL(即有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等).(3)两个直角三角形，有两边对应相等，有两种情况：第一种情况：两条直角边对应相等，这时，我们可注意到它们的夹角也对应相等，利用SAS可判断它们全等.第二种情况：一条直角边和斜边对应相等，利用HL公理即可判断它们全等.综上所述，两个直角三角形，如果有两边对应相等，则这两个直角三角形全等.师我们可以注意到直角三角形有它独有的一些特征.在我们学习和生活中，你是否还发现直角三角形的其他特征呢？这节课，我们就来继续研究直角三角形.讲述新课1.问题串师(出示投影片1.1.1 B)观察下图，并回答问题：(1)观察图1.正方形A中含有_个小方格，即A的面积是_个单位面积；正方形B中含有_个小方格，即B的面积是_个单位面积；正方形C中含有_个小方格，即C的面积是_个单位面积.(2)在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流.(3)请将上述结果填入下表，你能发现正方形A，B，C的面积关系吗？A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图1图2图3生在图1中，正方形A含1个小方格，所以它的面积是1个单位面积；正方形B含1个小方格，所以B的面积也是1个单位面积；正方形C含2个小方格，所以C的面积是2个单位面积.师如何求得正方形C的面积呢？生正方形C可划分为四个直角边长都为1个单位的四个全等的等腰直角三角形，所以C的面积为4(11)=2个单位面积.生我们观察可发现，这四个等腰直角三角形重新拼摆，刚好可拼摆成2个小方格，所以C的面积为2个单位面积.生正方形C还可以看成边长为2个单位的正方形面积的一半，即C的面积为22=2个单位面积.师同学们能够不拘一格地积极思考问题，用多种方法去求得图1中C的面积，值得发扬广大，那么图2，图3中的A，B，C的面积是否可借鉴图1中的A，B，C的求法获得呢？请与你的同学们讨论、交流。生图2中，A含有9个小方格或者说正方形A的边长是3个单位长度，都可以求得A的面积是9个单位面积；同理可求得B含有9个小方格，所以B的面积为9个单位面积；对于正方形C来说，我们观察可发现它含有18个小方格，所以C的面积为18个单位面积.师看来，同学们已能从图2中很容易地就求得了A，B，C的面积.是不是在求C的面积时也和图1相类似，有多种求法呢？生是的.在正方形C中，我们可以把它的边缘的12个全等的等腰直角三角形拼摆成6个小方格，再加上中间的12个小方格，正方形C共含有18个小方格，所以它的面积为18个单位面积；我们也可以把C分割成四个直角边为3个单位长度的等腰直角三角形，也可算得C的面积为4(32)=18个单位面积.生如果把组成C的四个等腰直角三角形沿正方形的边向外翻，我们观察又可发现C在边长为6个单位长度的正方形中，并且C的面积恰好是这个正方形面积的一半即62=18个单位面积.生图3与图1，图2类似，所以我们可用同样的方法观察求得A，B，C各含4个，4个，8个小方格，面积分别为4个，4个，8个单位面积.师把三个图中A，B，C的面积分别填入上面的表格中，你能发现它们的关系吗？生C的面积=A的面积+B的面积.(表格略)师很好！但是A，B，C的面积为什么会有这种关系呢？我们接着观察这三个图，你能发现什么？生在前面您说过这节课我们主要研究直角三角形，而在这三个图中，都是三个正方形围着一个直角三角形.师的确如此，从图中我们可以发现：三个正方形好像是“长”在直角三角形的三边上.生这说明三个正方形的边长分别是以直角三角形的三边为边长得到的.师那么，(3)的结论即C的面积=A的面积+B的面积与三角形有什么关系？这个关系说明什么？大家可以讨论、交流.生C是斜边上的正方形，所以C的面积是斜边的平方；A，B是两直角边上的正方形，所以A，B的面积分别是这两条直角边的平方.根据A，B，C的面积关系，我们不难发现：斜边的平方就等于两直角边的平方和.师但是，我们也不难发现上面3个图中的直角三角形是等腰直角三角形？如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，会不会也有这种三边关系呢？2.做一做出示投影片(1.1.1 C)(1)观察图4，图5，并填写下表：A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图4图5你是怎样得到上面结果的？与同伴交流.(2)三个正方形A，B，C的面积之间的关系？(让学生先独立思考，然后填写上面的表格.最后以小组为单位充分交流各自的想法，特别是在计算斜边上的正方形的面积即正方形C的求法)师生共析根据图4，图5可填表如下：A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图416925图54913我们先来观察图4，不难看出A，B分别含有16个小方格，9个小方格，所以A、B的面积分别为16个单位面积，9个单位面积，但斜边上的正方形C的面积的计算较为复杂，我们可用以下几种方法求得：第一种方法：将正方形C分割成4个直角边长分别为3、4全等的直角三角形和中间的一个小方格，利用计算三角形面积的公式可得正方形C的面积为4(34)+1=24+1=25个单位面积.第二种方法：直接数正方形C中含有多少个小方格，但需要适当的拼凑，在第一种方法中，我们将正方形分割成5部分，直角三角形、和一个小方格，其中直角三角形、可拼凑成一个长和宽分别为3和4的长方形，含有12个小方格，同理、也可拼凑成12个小方格，所以正方形C中共有12+12+1=25个小方格即C的面积为25个单位面积.第三种方法：可将直角三角形、沿正方形C的边外翻，就得到一个边长为7个单位长度的正方形，这时正方形C的面积就为(491)2+1=25个单位面积.图5与图4同理.我们从上表不难发现16+9=25，4+9=13即C的面积=A的面积+B的面积.师图4和图5中的三个正方形A，B，C也是由中间的直角三角形“长”出来的，你能从三个正方形的面积关系与直角三角形的三边联系吗？生图4中的正方形A，B，C的面积分别是直角三角形两条直角边的平方和斜边的平方，根据三个正方形的面积关系，我们不难发现，在这个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.由图5我们也可得出同样的结论.3.议一议师我们通过对前面几个直角三角形的讨论，分析，你能归纳出直角三角形三边长度存在的关系吗？用自己的语言表达你的重大发现与同伴交流.生在直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边的平方.师这是由前面几个特例猜想出来的，是否合理呢？我们不妨作几个直角三角形检验一下.例如，作一个分别以5厘米、12厘米为直角边的直角三角形，然后测量斜边的长度，通过计算看一下直角三角形三边的规律还成立吗？生1.作一个直角MCN；2.以C为圆心，分别以5厘米、12厘米为半径画弧交CM、CN于点A，B；3.连结AB.用刻度尺量出斜边AB的长度(强调注意测量的误差)为13厘米.经检验斜边AB2=132=169，两直角边平方和AC2+BC2=52+122=25+144=169.即两直角边的平方和等于斜边的平方.师很好.同学们不妨多作几个不同的直角三角形，用上面的方法检验直角三角形三边的关系.师生共析通过特例猜想、检验，我们不难发现，直角三角形的三边的规律是成立的，这就是我们将要介绍的重点内容勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.4.读一读(课本P5)古代人就对勾股定理有过深入的研究，几大文明古国都有相应的勾股定理的记载.我国是最早发现勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角.如果勾(即直角三角形中较短的直角边)等于3，股(即直角三角形中较长的直角边)等于4，那么弦(即直角三角形中的斜边)等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中，在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式.因此，我们也把勾股定理称为商高定理，而把商高称为“勾股先师”.在西方，把勾股定理又称为“毕达哥拉斯”定理.相传二千多年，希腊著名数学家毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此他们还举行了一次空前规模的庆祝活动，宰杀了一百头牲畜.但因此也引发了数学的第一次危机边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或分数来表示.关于勾股定理的记载还有很多，同学们如果有兴趣，可查阅有关这方面的资料。所以说勾股定理有着悠久的历史，它反映了古代人民的聪明才智.5.想一想师小明的妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机.小明量了电视机的荧屏后，发现荧屏只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？生我听爸爸说过，29英寸或74厘米的电视机，是指荧屏对角线的长度，而不是其长或宽.生可是，连结荧屏的对角线将长方形的荧屏分成全等的两个直角三角形.根据勾股定理，长2+宽2=742，可582+462742，这是为什么呢？生因为荧屏边框遮盖了一部分，所以实际测量存在一些误差.师的确如此，但这里我们要知道一个生活常识，29英寸(74厘米)指的是荧屏的对角线的长度，而非荧屏的长或宽.6.例题讲解例在ABC中，C=90(1)若a=8，b=6，则c=_；(2)若 c=20，b=12，则a=_；(3)若ab=34，c=10，则a=_，b=_.师生共析分析：在ABC中，C=90，所以有关系：a2+b2=c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”.解：根据题意可得a2+b2=c2.(1)若a=8，b=6，所以82+62=c2.即c2=100，c0，所以c=10；(2)若c=20，b=12，所以a2+122=202，即a2=202122=(20+12)(2012)=328=162，a0，所以a=16；(3)若ab=34，可设a=3x，b=4x，所以(3x)2+(4x)2=102.化简，得9x2+16x2=100，25x2=100，x2=4，x=2(x0)，所以a=3x=6；b=4x=8.评注：综合上述解法可以发现，形(即ABC为直角三角形)与数(a2+b2=c2)的统一，所以我们说勾股定理是形与数的结合.课时小结先由学生自己总结，然后师生共同完成.这节课我们主要研究：1.从特例猜想出勾股定理；2.用特例检验了勾股定理；3.简单了解了勾股定理的历史，应用.课后作业1.课本P6，习题6.1.2.到网上或图书室查阅关于勾股定理的资料.活动与探究有一根70 cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm、40 cm、30 cm的木箱中，能放进去吗？过程：在实际生活中，往往工程设计方案比较多，应用所学的知识进行计算方可解决，而此题正是需要我们大胆实践和创新，用我们学过的勾股定理和丰富的空间想像力来解决.我们可注意到木棒虽比木箱的各边都长，按各边的大小放不进去，但木箱是立体图形，可以利用空间的最长长度.如AC.结果：由下图可得，AA=30 cm，AB=50 cm，BC=40 cm.ABC， AAC都为直角三角形.由勾股定理，得AC2=AB2+BC2.在RtAAC中.AC最长，则AC2=AA2+AB2+BC2=302+402+502=5000702.故70 cm的棒能放入长、宽、高分别为50 cm，40 cm，30 cm的大箱中.板书设计1.1.1 探索勾股定理(一)特例(做一做)勾股定理特例(议一议)(直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，则a2+b2=c2)1.1.2 探索勾股定理(二)知识与技能目标： 1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.运用勾股解决一些实际问题.过程与方法目标： 1.学会用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力.2.在拼图过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识.情感态度与价值观目标： 利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献.借助对学生进行爱国主义教育.并在拼图的过程中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣.教学重点勾股定理的证明及其应用.教学难点勾股定理的证明.教学方法教师引导和学生自主探索相结合的方法.在用拼图的方法验证勾股定理的过程中.教师要引导学生善于联想，将形的问题与数的问题联系起来，让学生自主探索，大胆地联系前面知识，推导出勾股定理，并自己尝试用勾股定理解决实际问题.教具准备1.每个学生准备一张硬纸板；2.投影片三张：第一张：问题串(记作1.1.2 A)；第二张：议一议(记作1.1.2 B)；第三张：例题(记作1.1.2 C).教学过程.创设问题情景，引入新课师我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式(a+b)(ab)=a2b2；完全平方公式(ab)2=a22ab+b2是非常重要的内容.谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？生利用多项式乘以多项式的法则从公式的左边就可以推出右边.例如(a+b)(ab)=a2ab+abb2=a2b2，所以平方差公式是成立的.生还可以用拼图的方法来推出.例如：(a+b)2=a2+2ab+b2.我们可以用一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形，两个长和宽分别为a和b的长方形可拼成如下图所示的边长为(a+b)的正方形，那么这个大的正方形的面积可以表示为(a+b)2；又可以表示为a2+2ab+b2.所以(a+b)2=a2+2ab+b2.师由此我们可以看出用拼图的方法推证数学中的结论非常直观.上一节课我们已经通过数格子通过一些特例大胆地猜想出了勾股定理.同时又利用一些特例验证了勾股定理，但我们注意到我们不可能拿所有的直角三角形一一验证，靠一些特例归纳、猜想出来的结论不一定正确.因此我们需要用另一种方法说明直角三角形三边的关系.讲授新课1.拼一拼出示投影片(1.2.2 A) (1)在一张硬纸板上画4个如右图所示全等的直角三角形.并把它们剪下来.(2)用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？(对于上面2个问题，教师要引导学生大胆联想，将形与数的问题联系起来.鼓励学生大胆的拼摆，只要符合要求，教师都应予以鼓励，然后在小组内交流，同时提示学生根据自己拼出的图形，联系(a+b)2=a2+2ab+b2的拼图推证方法说明勾股定理).生我拼出了如下图所示的图形，中间是一个边长为c的正方形.观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是(a+b).要利用这个图说明勾股定理，我们只要用两种方法表示这个大正方形的面积即可.大正方形面积可以表示为：(a+b)2，又可以表示为：ab4+(ba).对比这两种表示方法，可得出c2=ab4+(ba).化简、整理得c2=a2+b2.因此我们得到了勾股定理.生我拼出了和这个同学不一样的图，如下图所示，大正方形的边长是c，小正方形的边长为ba，利用这个图形也可以说明勾股定理.因为大正方形的面积也有两种表示方法，既可以表示为c2，又可以表示为ab4+(ba)2.对比两种表示方法可得c2=ab4+(ba)2.化简得c2=a2+b2.同样得到了勾股定理.师真棒！同学们用拼图的方法，大胆地验证了勾股定理.利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的伟大贡献.在后面的课题学习中，我们还要继续研究它.在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的了.有人做过统计，说有五百余种.1940年，国外有人收集了勾股定理的365种证法，编了一本书.其实，勾股定理的证法不止这些，作者之所以选用了365种，也许他是幽默地想让人注意，勾股定理的证明简直到了每天一种的地步.生老师，我在查资料时，还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统有关系，是这样吗？师是的.1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在新英格兰教育日志上发表了他提出的一个勾股定理的证明.据他说，这是一种思想体操，并且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”.由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话.生能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗？师可以.如下图所示.这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有联系.生总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半.师同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理.生上面的图形整体上拼成一个直角梯形.所以它的面积有两种表示方法.既可以表示为(a+b)(a+b)，又可以表示为ab2+c2.对比两种表示方法可得 (a+b)(a+b)= ab2+c2.化简，可得a2+b2=c2.师很好.同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法.2.议一议师前面我们讨论了直角三角形三边满足的关系.那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢？出示投影片(1.1.2 B )观察上图，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否满足a2+b2=c2.师上图中的ABC和ABC是什么三角形？生ABC，ABC在小方格纸上，不难看出ABC中，BCA90； ABC中，ABC，BCA，BAC都是锐角，所以ABC是钝角三角形，ABC是锐角三角形.师ABC的三边上“长”出三个正方形.谁来帮我数一下每个正方形含有几个小格子.生以b为边长的正方形含有9个小格子，所以这个正方形的面积b2=9个单位面积；以a为边长的正方形中含有8个小格子，所以这个正方形的面积a2=8个单位面积；以c为边长的正方形中含有29个小格子，所以这个正方形的面积c2=29个单位面积.a2+b2=9+7=16个单位面积，c2=29个单位面积，所以在钝角三角形ABC中a2+b2c2.师锐角三角形ABC中，如何呢？生以a为边长的正方形含5个小格子，所以a2=5个单位面积；以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b2=8个单位面积；以c为边长的正方形含9个小格子，所以c2=9个单位面积.由此我们可以算出a2+b2=5+8=13个单位面积.在锐角三角形ABC中，a2+b2c2.师通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角三角形中，a，b，c三边才有a2+b2=c2(其中a、b是直角边，c为斜边)这样的关系.生老师，我发现在钝角三角形ABC中，虽然a2+b2c2，但它们之间也有一种关系a2+b2c2；在锐角三角形ABC中，a2+b2c2.它们恒成立吗？师这位同学很善于思考，的确如此.同学们课后不妨验证一下，你一定会收获不小.3.例题讲解出示投影片(1.1.2 C)例1飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？例2如下图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，已知物体A到平面镜的距离为6米，问B点到物体A的像A的距离是多少？例3在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来；水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？师生共析例1分析：根据题意，可以画出右图，A点表示男孩头顶的位置，C、B点是两个时刻飞机的位置，C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题.解：根据题意，得RtABC中，C=90，AB=5000米，AC=4800米.由勾股定理，得AB2=AC2+BC2.即50002=BC2+48002，所以BC=1400米.飞机飞行1400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1400660=504000米=504千米，即飞机飞行的速度为504千米/时.评注：这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角三角形第三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决.同时注意，在此题中小孩是静止不动的.例2分析：此题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识.解：如例2图，由题意知ABA是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知：AA=26=12米，AB=5米；在RtAAB中，AB2=AA2+AB2=122+52=169=132米所以AB=13米，即B点到物体A的像A的距离为13米.评注：本题是以光的反射为背景，涉及到勾股定理、轴对称等知识.由此可见，数学是物理的基础.例3分析：在此问题中，要注意水草的长度与水深的关系，还要注意水草站立时和吹到一边，它的长度是不变的.解：根据题意，得到下图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BCAD.所以在RtACB中，AB2=AC2+BC2，即(AC+3)2=AC2+62，AC2+6AC+9=AC2+36.6AC=27，AC=4.5.所以这里的水深为4.5分米.评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要.课时小结这节课，我们用拼图的方法验证了勾股定理，并运用勾股定理解决了生活中的实际问题.课后作业1.课本P9，习题6.2.2.收集关于勾股定理的证明方法.活动与探究如右图，木长二丈，它的一周是3尺，生长在木下的葛藤缠木七周，上端恰好与木齐，问葛藤长多少？过程：从表面上看，这道题与勾股定理无关系.但是如果你用一张直角三角形的纸片约一支圆柱形铅笔上缠绕，就会发现；这里的葛藤之长相当于直角三角形的斜边.结果：根据题意，可得一条直角边(即高)长2丈即20尺，另一条直角边(即底边)长73=21(尺)，因此葛藤长设为x尺，则有x2=202+212=841=292，所以x=29尺，即葛藤长为29尺.板书设计1.1.2 探索勾股定理(二)一、用拼图法验证勾股定理1.由上图得(a+b)2=ab4+c2即a2+b2=c2；2.由上图可得c2=ab4+(ba)2即a2+b2=c2二、议一议三、例题讲解四、课时小结1.2 能得到直角三角形吗 知识与技能目标：1.掌握直角三角形的判别条件.2.熟记一些勾股数.3.能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用.过程与方法目标： 1.用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.2.通过对直角三角形判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神.情感态度与价值观目标： 1.通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望.2.通过对勾股定理逆定理的综合应用，培养学生学习数学的兴趣，克服困难的勇气；体验勾股定理及其逆定理在生活实际中的实用性.教学重点直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形。教学难点用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否为直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题.教学方法引导启发法.教师通过介绍古埃及人作直角的方法启发引导学生通过已知数据作出三角形，并用测量的方法、探索、归纳用三角形三边关系判定直角三角形的条件.教具准备一根有13个等距的结的绳子.投影片两张：第一张：例题(记作1.2 A)；第二张：随堂练习(记作1.2 B).教学过程.创设问题情境，引入新课师下面我们来总结一下直角三角形有哪些性质.生直角三角形有如下性质：有一个内角为直角；两个锐角互余；两条直角边的平方和等于斜边的平方.生在含30角的直角三角形中，30的角所对的直角边是斜边的一半.师很好，反过来，一个三角形，满足什么条件就是直角三角形呢？生如果有一个内角是直角，它就是直角三角形.生如果有两个角的和是90，那么这个三角形也是直角三角形.师我们可以注意到这些同学都是通过角的关系判定直角三角形的.前面，我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b，斜边c具有一定的数量关系即a2+b2=c2.我们是否也可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？.讲述新课1.古代埃及人作直角师其实，古代埃及人就曾用三角形三边的关系作出了直角.下面我们一同演示一下.我这儿有一根绳子，上面有13个等距的结，把这根绳子分成等长的12段.下面我让一个同学同时握住绳子的第(1)个和第(13)个结，再让两个同学分别握住绳子的第(4)个结和第(8)个结，(如下图所示)拉紧绳子，大家观察可以发现什么？生得到一个直角三角形，在第(4)个结处的角是直角.师我们再来看在第(1)个结到第(4)个结是3个单位长度即AC=b=3；同理BC=a=4；AB=c=5.因为32+42=52，所以a2+b2=c2.那么是不是三角形的三边满足a2+b2=c2，就可以得到一个直角三角形呢？我们不妨再找几组数试一试.2.做一做下面四组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：5，12，13；7，24，25；8，15，17；5，6，7.(1)这四组数都满足a2+b2=c2吗？(2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？师生共析(1)52+122=169=132；72+242=625=252；82+152=289=172；52+62=6172.所以这四组数，前三组满足a2+b2=c2，而最后一组不满足.师以5，12，13这一组数为例，谁能告诉我如何作出以它们为边长的三角形呢？生作法：作线段AB=5个单位长度；分别以A、B为圆心，12个单位长度，13个单位长度为半径画弧，交于线段AB的同旁于一点C；连结AC、BC.ABC就是以5、12、13为边长的三角形.师很好.下面同学们就以小组为单位来完成第(2)小题.(让学生亲自动手作三角形，并用量角器量出各个内角，然后小组内交流，从而获得一个三角形是直角三角形三边的条件)生我们通过作三角形，测量三角形三个内角发现：前三组数满足a2+b2=c2，作出的三角形都是直角三角形；而后一组数不满足a2+b2=c2，作出的三角形不是直角三角形.师你能告诉我在你作出的直角三角形中，哪一边是斜边吗？哪一个角是直角吗？生前三组数中，较长的边是斜边，斜边所对的角是直角.师从“做一做”中你能猜想到什么结论呢？生如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.师刚才，我们只是从特例中猜想出来上面的结论.可能有的同学会产生疑虑，果真如此吗？下面我用前面的知识解释一下这个结论，大家就会知道，我们的猜想是正确的.已知：在ABC中AB=c， BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2.求证：c=90证明：作ABC，使C=90，BC=a，AC=b，那么AB2=a2+b2(为什么？).由已知条件a2+b2=c2，可得AB2=c2，即AB=c.(AB0，c0)在ABC和ABC中有BC=a=BC，CA=b=CA，AB=c=AB，则ABCABC.所以C=C=90.现在大家没有疑虑了吧.同时也明白了古埃及人那样做的道理.实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角.直至科技发达的今天人类已跨入21世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”.“三四五放线法”是一种古老的规范操作.所谓“归方”，就是“做成直角”，譬如建造房屋，房角一般总是成90，怎样确定房角的纵横两线呢？如下图，欲过基线MN上的一点C作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测绳的0和12尺处，固定在C点；另一人拿4尺处，把尺拉直，在MN上定出A点；再由一人拿9尺处，把尺拉直，定出B点.于是连结BC，就是MN的垂线.建筑工人用了3，4，5作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢？生可以.例如7，24，25；8，15，17等.师是的.如果三角形三条边满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.那么满足条件的勾股数有多少组呢？它们是如何形成的？我们的先人数学家刘徽和希腊数学家曾相继提出了表示所有勾股整数组的方法.下面我们来了解一下这方面的情况.3.读一读师同学们可以打开课本P11，阅读“读一读”勾股数组与费马大定理.(读一读介绍了寻找勾股数组的一种方法以及由此引发的一个重要数学问题费马大定理)现在我们就来尝试验证其中提供的求勾股数组方法的合理性.即求证：m2n2，m2+n2，2mn(mn，m，n是正整数)是直角三角形的三条边长.师生共析要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，然后再用勾股定理的逆定理即直角三角形的判定条件来判断它们是否是一个直角三角形的三边长.证明：mn，m、n是正整数.(m2n2)+(m2+n2)=2m22mn.即(m2n2)+(m2+n2)2mn.又因为(m2n2)+2mn=m2+n(2mn)而2mn=m+(mn)0，所以(m2n2)+2mnm2+n2，由此可知， 这三条线段可组成三角形.又因为(m2n2)2+(2mn)2=m4+4m2n22m2n2+n4=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2.则(m2n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2.由直角三角形的判定条件，可知：这三条线段组成的三角形是直角三 角形.师你能用这个方法找到5组勾股数吗？生可以，如下表mnm、n是正整数勾股数组m2n22mnm2+n2m=2，n=1345m=3，n=251213m=4，n=372425m=5，n=494041m=3，n=18610下面我们利用直角三角形判定的条件来看几个例题.4.例题讲解出示投影片(1.2A)例1一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中A和DBC都应为直角.工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子.解：在ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以ABD是直角三角形，A是直角.在BCD中，BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，所以BCD是直角三角形，DBC是直角.因此这个零件符合要求.随堂练习1.(课本P11)下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.(1)9，12，15； (2)15，36，39；(3)12，35，36； (4)12，18，22.解：根据直角三角形的判定条件.(1)92+122=152；(2)152+362=392，所以(1)、(2)两组数可以作为直角三角形的三边；但(3)122+352362，(4)122+182322，所以(3)(4)两组数不能作为直角三角形的三边.2.(补充练习)出示投影片(1.2 B)(1)判断以a=10，b=8，c=6为边组成的三角形是不是直角三角形.解：因为a2+b2=100+64=164c2即a2+b2c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形.请问：上述解法对吗？为什么？(2)已知：在ABC中，AB=13 cm，BC=10 cm，BC边上的中线AD=12 cm.求证：AB=AC.(1)解：上述解法是不对的.因为a=10，b=8，c=6，b2+c2=64+36=100=102=a2.即b2+c2=a2.所以由a，b，c组成的三角形两边的平方和等于等三边的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可构成直角三角形，其中a是斜边，b、c是两直角边.评注：在解题时，我们不能简单地看两边的平方和是否等于第三边的平方，而应先判断哪一条边有可能作为斜边.往往只需看最大边的平方是否等于另外两边的平方和.(2)证明：根据题意，画出图形.AB=13 cm，BC=10 cm.AD是BC边上的中线BD=CD=5 cm.在ABD中，AD=12 cm，BD=5 cm，AB=13 cm，AB2=169，AD2+BD2=122+52=169.所以AB2=AD2+BD2.则ADB=90.ADC=180ADB=18090=90.在RtADC中，AC2=AD2+CD2=122+52=132.所以AC=AB=13 cm.课时小结这节课我们归纳推理出直角三角形判定条件，并用它去解决生活实际中的问题，最后我们还介绍了求勾股数组的方法.课后作业1.课本P12，习题6.3；2.熟记几组常用的勾股数.活动与探究给出一组式子：32+42=52，82+62=102，152+82=172，242+102=262(1)你能发现上面式子的规律吗？请你用发现的规律，给出第5个式子；(2)请你证明你所发现的规律.过程：观察式子，要注意这些式子中不变的形式，如等式两边每一项的指数为2，等式左边是平方和的形式，右边是一个数的平方.很显然，我们发现的规律一定是“( )2+( )2=( )2”的形式.然后再观察每一项与序号的关系.如32，82，152，242与序号有何关系，可知32=(221)2，82=(321)2，152=(421)2，242=(521)2；所以我们可推想，第一项一定是(n21)2.(其n1，n为整数).同理可得第二项一定是(2n)2，等式右边一定是(n2+1)2(其中n1，n为整数).(1)解：上面的式子是有规律的，即(n21)2+(2n)2=(n2+1)2(n为大于1的整数).第5个式子是n=6时，即(621)2+(26)2=(62+1)2化简，得352+122=372.(2)证明：左边=(n21)2+(2n)2=(n42n2+1)+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=右边.证毕.板书设计1.2 能得到直角三角形吗一、古埃及人作直角的方法二、做一做下面三组数能作出直角三角形吗？1.7，24，25；2.8，15，17；3.5，6，7；三、由特例猜想：直角三角形用边的关系来判定的条件：如果三角形三边长为a，b，c且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.四、1.勾股数.2.求勾股数的方法：m2+n2，m2n2，2mn(其中mn，m、n是正整数).3.读一读.五、例题(略)六、随堂练习1.3 蚂蚁怎样走最近 知识与技能目标：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.过程与方法目标： 1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感态度与价值观目标： 1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学.教学重点探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.教学难点利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.教学方法启发动手操作相结合.教具准备投影片三张：第一张：蚂蚁怎样走最近(记作1.3 A)；第二张：做一做(记作1.3 B)；第三张：随堂练习(记作1.3 C).硬纸板做的圆柱.教学过程.创设问题情境，引入新课师我们学习了勾股定理和直角三角形的判别条件(即勾股定理逆定理).一起回忆一下.生勾股定理：如果直角三角形两直角边是a，b，斜边为c，则a2+b2=c2.直角三角形判别条件(即勾股定理逆定理)：a，b，c是一个三角形的三条边，如果a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形.师我们知道这两个定理非常重要.而之所以重要是因为它们是联系数学中最基本也是最原始的两个对象数和形.由直角三角形的“形”，可得到三边关系的“数”；反过来，由三角形三边关系这个“数”，也可得到直角三角形这个“形”.更为重要的是，用它们能解决生活中的实际问题.例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？生根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.所以在RtABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米.所以至少需13米长的梯子.师显而易见，勾股定理及其逆定理，应用十分广泛.下面我们再来看一个例子.讲授新课1.蚂蚁怎么走最近出示投影片(1.3A)如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？(的值取3.14).师同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？生圆柱的侧面是曲面.蚂蚁要从A点爬行到B点，它没有翅膀，只能从圆柱的侧面爬到A点，而且爬行的路程最短，我认为蚂蚁可以从A点沿着圆柱的母线到A点，再沿着上底面的边缘爬到B点；也可以从A点沿着下底面的边缘到达B，再沿着母线向上爬，到达B点.师你可以将刚才的路线画到你做的圆柱上.是不是最短的呢？生我认为不是.我还可以在上底面边缘A、B之间取中点D，蚂蚁可沿曲面由A直接到D，再沿上底面的边缘到达B.生老师，我还有更短的.可以让蚂蚁从A点直接到达B点.师同学们可以将刚才几位同学设计的路线和你自己设计的路线都画在圆柱的侧面上.到底谁画的路线最短呢？我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA将圆柱的侧面展开(如下图).我们不难发现，刚才几位同学的走法：(1)AAB； (2)ABB；(3)ADB； (4)AB.哪条路线是最短呢？你画对了吗？生第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.师是不是有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的感受.看上去这是一个曲面上的路线问题，可当我们把圆柱的侧面展成一个平面图形长方形时，使我们恍然大悟其中的道理.真是“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”.那么蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它需要的最短路程是多少呢？(取3)生当我们把圆柱的侧面展成长方形时，求最短路线问题就变成了：在RtAAB中，已知AA=12厘米，AB=r=33=9厘米.根据勾股定理可得AB2=AA2+ AB2=122+92=225，所以AB=15厘米.即蚂蚁爬行的最短距离为15厘米.2.做一做出示投影片(1.3 B)如图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.(1)你能替他想办法完成任务吗？(2)李叔叔量得AD的长是30厘米，AB的长是40厘米，BD长是50厘米.AD边垂直于AB边吗？(3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？师生共析李叔叔随身只带卷尺检测AD，BC是否与底边AB垂直，也就是要检测 DAB=90，CBA=90.连结BD或AC，也就是要检测DAB和CBA是否为直角三角形.很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题.(可以先鼓励学生自己寻找办法)生根据我们刚才的分析，用勾股定理的逆定理来解决，要检测DAB是否为直角三角形，即DAB=90，李叔叔只需用卷尺分别量出AB、BD、DA的长度，然后计算AB2+DA2和BD2，看它们是否相等.若相等，则说明ADAB.同理也可检测BC是否垂直于AB.师很好！我们来看第(2)个问题，李叔叔已量得AD，AB，BD的长度 ，根据他量出的长度能说明DA和AB垂直吗？生可以.因为AD2+AB2=302+402=2500，而BD2=2500，所以AD2+AB2=BD2.可得AD和AB垂直.师小明带的刻度尺长度只有20厘米，他有办法检验AD与AB边的垂直吗？生可以利用分段相加的方法量出AB、AD和BD的长度.生这样做误差较大.可在AB、AD上各量一段较小长度.例如在AB边上量一小段AE= 8 cm，在AD边上量一小段AF=6 cm，而AE2+AF2=82+62=64+36=100=102.这时只要量一下EF是否等于10厘米即可.如果EF=10 cm，EF2=100，则有AE2+AF2=EF2，根据勾股定理的逆定理就可知AEF是直角三角形，EAF=90即DAB=90，所以ADAB；如果EF10厘米，则EF2100，所以AE2+AF2EF2，所以AEF不是直角三角形，即AD不垂直于AB.生也可以在AB边上取AM=3厘米，在AD边上取AN=4厘米，再量MN是否等于5厘米，也可以检测AD与AB是否垂直.师看来，同学们的方法还真不少.勾股定理和它的逆定理在实际生活中应用确实十分广泛.我们不妨再用它们解决几个问题.随堂练习出示投影片(1.3 C)1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨800甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进.上午1000，甲、乙两人相距多远？2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？师生共析1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.解：(如图)根据题意，可知A是甲、乙的出发点，1000时甲到达B点，则AB=26=12(千米)；乙到达C点，则AC=15=5(千米).在RtABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米.2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.(1)x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5所以最长是2.5+0.5=3(米).(2)x=1.5，最短是1.5+0.5=2(米).答：这根铁棒的长应在23米之间(包含2米、3米).3.试一试(课本P15)在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？(这是一道我国古代数学著作中记载的一个有趣的问题，让学生在全班对这个问题进行讨论，从中进一步认识勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智)师生共析我们可以将这个实际问题转化成数学模型.解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求得(x+1)2=x2+52，x2+2x+1=x2+25解得x=12则水池的深度为12尺，芦苇