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高中数学选修4-2矩阵与变换,2.3变换的复合与矩阵的乘法,学习目标:1.熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法；2.理解两个二阶矩阵相乘的结果仍是一个二阶矩阵,从几何变换角度看表示两个矩阵对应的连续两次变换；3.通过几何变换,理解一般情况下,矩阵乘法不满足交换律；4.会验证矩阵乘法满足结合律；5.从几何变换的角度了解矩阵乘法不满足消去律。,复习回顾：二阶矩阵与平面向量的乘法,二阶矩阵与列向量的乘法法则为:,几种常见的平面变换:,集中记忆,1、恒等变换：,2、伸压变换：,沿y轴方向伸压，x轴上的点不动。,沿x轴方向伸压，y轴上的点不动。,练一练,如图示：在变换T作用下，正方形ABCD变成了矩形ABCD，其中A,B,C,D的象点分别为A，B，C，D，则变换T对应的矩阵M为_;,3、反射变换：,几种常见的平面变换:,集中记忆,注意：研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图形时,只需考察顶(端)点的变化结果即可.,关于x轴的反射变换.,关于y轴的反射变换.,关于原点的反射变换.,关于直线y=x的反射变换.,关于直线y=-x的反射变换.,4、旋转变换：,M=,旋转变换矩阵主对角线上的两个数相等，副对角线上的两个数互为相反数,且每行、每列的两个数的平方和为1.另外中心对称与旋转1800是同一变换,要注意旋转变换中旋转方向为逆时针.,为逆时针旋转900；,为逆时针旋转2700；,为逆时针旋转300；,5、投影变换：,几点说明：(1)投影变换的几何要素:投影方向；投影的目标直线;(2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素;(3)投影变换是映射,但不是一一映射.,目标直线：x轴投影方向：x轴,目标直线：y轴投影方向：y轴,目标直线：y=x投影方向：x轴,目标直线：y=-x投影方向：x轴,6、切变变换：,（1）沿x轴方向的切变变换。对于原图形中的任意一点，纵坐标保持不变，而横坐标依纵坐标的比例增加，它把平面上的点沿x轴方向平移|ky|个单位,当ky0时，沿x轴正方向移动；当ky0沿y轴正方向移动；当kx0时，沿y轴负方向移动；当kx=0时,原地不动,在此变换作用下，y轴上的点为不动点。,几何意义,创造情境,1.规定：矩阵乘法的法则,验证,建构数学,2、矩阵的乘法的几何意义,矩阵乘法MN的几何意义为：对向量连续实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.,建构数学,例题与练习：,例题与练习：,例题与练习：,（1）求MN,NM,(2)求,(3)求,例题与练习：,3、三种运算律对比,建构数学,例2、已知梯形ABCD,A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90度，求连续两次变换所对应的变换矩阵M;,例题与练习：,矩阵交换,例2、已知梯形ABCD,A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90度，求连续两次变换所对应的变换矩阵M;,先将梯形绕原点逆时针旋转90度，再将所得图形作关于x轴的反射变换,求连续两次变换所对应的变换矩阵M.,矩阵交换,例题与练习：,课堂小结,1.熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法.2.理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵,从几何变换角度看,它表示的原来两个矩阵对应的连续两次变换.3、矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.,课外作业,1.回顾课本；2.完成课本习题及课课练习题；3.预习下一节内容；,例题与练习：,题1.,题2.,有用结论,题3.,有关转移矩阵.,假设某市的天气分为晴和阴两种状态,若今天晴,则明天晴的概率为,阴的概率为,若今天阴则明天晴的概率为,阴的概率为,这些概率可以通过观察某市以往几年每天天气的变化趋势来确定,通常将用矩阵来表示的这种概率叫做转移矩阵概率,对应的矩阵为转移矩阵,而将这种以当前状态来预测下一时段不同状态的概率模型叫做马尔可夫链,如果清晨天气预报报告今天阴的概率为,那么明天的天气预报会是什么?后天呢?,分析：,分析：,注意：转移矩阵每列的元素的和应该为1,否则做乘法时,容易出问题.,分析：,
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