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二次函数与不等式（组）的综合应用一、单选题1.已知二次函数y1=ax2+bx+c （a0）与一次函数y2=kx+m（k0）的图象相交于点A（2，4），B（8，2），如图所示，能使y1y2成立的x取值范围是（ ） A.x2B.2x8C.x8D.x2 或x82.如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+10的解集是（ ）A.x1B.x-1C.0x1D.-1x03.若二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=1，则使函数值y0成立的x的取值范围是（ ） A.x4或x2B.4x2C.x4或x2D.4x24.已知函数y=-x2+x+2，则当y0时，自变量x的取值范围是（） A.x-1或x2B.-1x2C.x-2或x1D.-2x15.如图，抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（）A.x1B.x1C.0x1D.-1x0的解集是 ( )A.x2B.x2C.0x2D.2x1B.x1C.0x1D.-1x0的解集是 ( )A.x2B.x2C.0x2D.2x0，此抛物线开口向上，此函数可化为：y=(x1) -4，其顶点坐标为：(1，-4)，当x=1时此函数取得最小值y=-4；当x=-2时此函数取得最大值y=5，函数y的取值范围为：-4y5.故答案为：A.【分析】先根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，且对称轴是x=1，当x=1时此函数取得最小值y=-4，当x=-2时此函数取得最大值y=5，即可求出y的取值范围。9.二次函数 的图象如图所示当y0时，自变量x的取值范围是（ ）A.1x3B.x1C.x3D.x1或x3【答案】A 【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用 【解析】【解答】由图可知图象与x轴的交点是（-1,0）、（3,0）,当y0时，函数图像位于x轴的下方，此时自变量x的取值范围是:1x3.故答案为：A【分析】观察图像可以得出：当y0时，函数图像位于x轴的下方，就可写出此时自变量x的取值范围。10.抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴是直线x=1，与x轴交于点（1，0），若y0，则x的取值范围是（）A.x0B.x1C.x3或x1D.3x1【答案】C 【考点】二次函数与不等式（组） 【解析】【解答】解：设抛物线与x轴的另一交点坐标为（x，0），则=1，解得x=3，另一交点坐标为（3，0），y0时，x的取值范围是x3或x1故选C【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一交点坐标，然后写出x轴下方部分的x的取值范围即可11.方程x2 +1=4x的正数根的取值范围是（ ） A.0x1B.1x2C.2x3D.3x4【答案】B 【考点】二次函数与不等式（组） 【解析】【解答】解：方程x2 +1=4x即x2+4x+1= 函数y1=x2+4x+1和y2= 的大体图象是：当x=1时，y1=x2+4x+1=6，y2= =10，此时y1y2 ， 即1a，当x=2时，y1=4+8+1=13，y2=5，此时y1y2 ， 则a2，则a在1与2之间，即1a2即方程x2 +1=4x的正数根的取值范围是1x2故选B【分析】方程可以化成y1=x2+4x+1和y2= 图象在第一象限内的交点问题，然后结合图象即可求解12.二次函数y=x2x2的图象如图所示，则函数值y0时x的取值范围是（ ）A.x1B.x2C.1x2D.x1或x2【答案】C 【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用 【解析】【解答】解，观察函数图象可知，当1x2时，函数值y0故答案为：C【分析】根据图像可知，求函数值y0时x的取值范围，就是求函数图像位于x轴下方部分的自变量的取值范围，根据图像与x轴交点的坐标即可得出答案。二、填空题13.已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）与一次函数y=kx+m的图象相交于A（2，1）、B（3，6）两点，则能使关于x的不等式ax2+bx+ckx+m成立的x的取值范围是_ 【答案】2x3 【考点】二次函数与不等式（组） 【解析】【解答】解：如图所示， 由图可知，关于x的不等式ax2+bx+ckx+m成立的x的取值范是：2x3故答案为：2x3【分析】根据题意在同一坐标系内画出函数的图象，利用数形结合即可得出结论14.如图，抛物线y1=x2+4x和直线y2=2x在同一直角坐标系中当y1y2时，x的取值范围是_ 【答案】0x2 【考点】二次函数与不等式（组） 【解析】【解答】解：将两函数关系式联立可得： 2x=x2+4x，解得：x1=0，x2=2，由图象可得：y1y2时，x的取值范围是：0x2故答案为：0x2【分析】首先求出两函数交点的横坐标，再利用图象得出y1y2时，x的取值范围15.已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c0的解集是_ 【答案】1x3 【考点】二次函数与不等式（组） 【解析】【解答】解：由函数图象可知，当1x3时，函数图象在x轴的下方，不等式ax2+bx+c0的解集是1x3故答案为：1x3【分析】直接根据二次函数的图象即可得出结论16.如图，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx的图象交于点A和原点O，点A的横坐标为4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，则满足0y1y2的x的取值范围是_ 【答案】4x3 【考点】二次函数与不等式（组） 【解析】【解答】解：如图所示：点A的横坐标为4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，点B的横坐标为1， 抛物线的对称轴为：x= ，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx的图象交于点A和原点O，C点坐标为：（3，0），则满足0y1y2的x的取值范围是：4x3故答案为：4x3【分析】根据题意得出抛物线的对称轴，进而得出二次函数与x轴的交点坐标，再利用函数图象得出满足0y1y2的x的取值范围17.如图已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A（2，4），B（8，2），根据图象能使y1y2成立的x取值范围是_ 【答案】x2或x8 【考点】二次函数与不等式（组） 【解析】【解答】解：A（2，4）、B（8，2）， 不等式ax2+bx+ckx+m成立的x的取值范围是x2或x8故答案为x2或x8【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可18.根据下列要求，解答相关问题 请补全以下求不等式2x24x0的解集的过程构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=2x24x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=2x24x的图象（只画出图象即可）求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程2x24x=0的解为_；并用锯齿线标示出函数y=2x24x图象中y0的部分借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式2x24x0的解集为2x0请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x22x+14的解集【答案】x1=0，x2=2 【考点】二次函数与不等式（组） 【解析】【解答】解：图所示： ；方程2x24x=0即2x（x+2）=0，解得：x1=0，x2=2；则方程的解是x1=0，x2=2，图象如图1；函数y=x22x+1的图象是：当y=4时，x22x+1=4，解得：x1=3，x2=1则不等式的解集是：x3或x1【分析】利用描点法即可作出函数的图象；当y=0时，解方程求得x的值，当y0时，就是函数图象在x轴上方的部分，据此即可解得；仿照上边的例子，首先作出函数y=x22x+1的图象，然后求得当y=4时对应的x的值，根据图象即可求解19.二次函数y1=ax2+bx+c的图象与一次函数y2=kx+b的图象如图所示，当y2y1时，根据图象写出x的取值范围_ 【答案】2x1 【考点】二次函数与不等式（组） 【解析】【解答】解：当y2y1时，即一次函数y2=kx+b的图象在二次函数y1=ax2+bx+c的图象的上面， 可得x的取值范围是：2x1故答案为：2x1【分析】利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标得出y2y1时，x的取值范围三、解答题20.春节期间，物价局规定花生油的最低价格为4.1元/kg，最高价格为4.5元/kg，小王按4.1元/kg购入，若原价出售，则每天平均可卖出200kg，若价格每上涨0.1元，则每天少卖出20kg，若油价定为X元，每天获利W元，求W与X满足怎样的关系式？ 【答案】解：定价为x元/kg，每千克获利（x4.1）元，则每天的销售量为：20020（x4.1）10=200+1020，每天获利W=（200x+1020）（x4.1）=200x2+1840x4182 【考点】二次函数与不等式（组） 【解析】【分析】根据题意得出定价为x元/kg，每千克获利（x4.1）元，进而得出每天的销售量，即可利用销量每千克获利=总获利得出答案21.如图，抛物线y1=x2+mx+n与直线y2=x1交于点A（a，2）和B（b，2）（1）求a，b的值；（2）观察图象，直接写出当y1y2时x的取值范围【答案】解：（1）由2=a1得，a=1，由2=b1得，b=3；（2）由图可知，y1y2时x的取值范围1x3 【考点】二次函数与不等式（组） 【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入直线解析式求解即可；（2）根据函数图象写出抛物线在直线的下方部分的x的取值范围即可四、综合题22.阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=ax+b与双曲线y2= 交于A（1，3）和B（3，1）两点观察图像可知：当x=3或1时，y1=y2；当3x0或x1时，y1y2 ， 即通过观察函数的图像，可以得到不等式ax+b 的解集有这样一个问题：求不等式x3+4x2x40的解集某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2x40的解集进行了探究下面是他的探究过程，请将（1）、（2）、（3）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化：当x=0时，原不等式不成立；当x0时，原不等式可以转化为x2+4x1；当x0时，原不等式可以转化为x2+4x1；构造函数，画出图像设y3=x2+4x1，y4=， 在同一坐标系中分别画出这两个函数的图像双曲线y4=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x1；（不用列表） （2）确定两个函数图像公共点的横坐标观察所画两个函数的图像，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为_ （3）借助图像，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图像可知：不等式x3+4x2x40的解集为_ 【答案】（1）解：（2）1和4（3）x1或4x1 【考点】二次函数与不等式（组） 【解析】【解答】解：（2）两个函数图像公共点的横坐标是1和4则满足y3=y4的所有x的值为1和4故答案是：1和4；（3）不等式x3+4x2x40即当x0时，x2+4x1 ，此时x的范围是：x1；当x0时，x2+4x1 ，则4x1故答案是：x1或4x1【分析】（1）首先确定二次函数的对称轴，然后确定两个点即可作出二次函数的图象；（2）根据图象即可直接求解；（3）根据已知不等式x3+4x2x40即当x0时，x2+4x1 ，；当x0时，x2+4x1 ，根据图象即可直接写出答案23.如图，已知抛物线y1=2x2+2与直线y2=2x+2交于A、B两点 （1）求线段AB的长度； （2）结合图象，请直接写出2x2+22x+2的解集 【答案】（1）解：抛物线y1=2x2+2与直线y2=2x+2交于A、B两点， 2x2+2=2x+2，解得：x1=1，x2=0，当x=1时，y=0，当x=0时，y=2，故A（1，0），B（0，2），则AB= = （2）解：由（1）得：2x2+22x+2的解集为：1x0 【考点】二次函数与不等式（组） 【解析】【分析】（1）直接求出两函数图象的交点进而得出AB的长；（2）直接利用两函数的交点坐标得出不等式的解集即可
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