资源描述
第一部分教材梳理,第3节锐角三角函数及其应用,第六章图形与变换、坐标,知识梳理,概念定理,1.锐角三角函数的定义假设在RtABC中，C=90，则有：（1）正弦：锐角A的对边a与斜边c的比叫做A的正弦，记作sinA.（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做A的余弦，记作cosA.,（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做A的正切，记作tanA.（4）锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数.,2.解直角三角形的应用的有关概念（1）坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1m的形式.（2）坡角：把坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡度i与坡角之间的关系为（3）仰角和俯角：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角.,主要公式,1.同角三角函数关系公式（1）平方关系：sin2A+cos2A=1.（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即或sinA=tanAcosA.,2.两角互余的三角函数关系公式在RtABC中，A+B=90时，正余弦之间的关系为：（1）一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90-A）.（2）一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90-A）.也可以理解成若A+B=90，那么sinA=cosB或sinB=cosA.,3.特殊角的三角函数值,方法规律,1.解直角三角形要用到的关系（1）锐角之间的关系：A+B=90.（2）三边之间的关系：a2+b2=c2.（3）边角之间的关系：2.解直角三角形的应用问题的有关要点（1）应用范围：,通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题，如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，解此类问题关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.（2）一般步骤将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形的问题）.根据题目的已知条件选用适当的锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.,中考考点精讲精练,考点1锐角三角函数、解直角三角形,考点精讲【例1】（2016广东）如图1-6-3-1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cos的值是（）,考题再现1.（2016沈阳）如图1-6-3-2，在RtABC中，C=90，B=30，AB=8，则BC的长是（）,D,2.（2014汕尾）在RtABC中，C=90，若sinA=，则cosB的值是（）3.（2014广州）如图1-6-3-3，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，则tanA等于（）,B,D,4.（2015广州）如图1-6-3-4，ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE.若BE=9，BC=12，则cosC=_.,考点演练5.在RtABC中，C=90，AB=13，AC=12，则cosA=（）6.如图1-6-3-5，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则ABC的正切值是（）,C,D,7.ABC中，C=90，BC=3，AB=5，求sinA，cosA，tanA的值.,考点点拨：本考点的题型一般为选择题或填空题，难度较低.解答本考点的有关题目，关键在于画出直角三角形的图形，利用锐角三角函数的定义进行计算，要熟练掌握锐角三角函数包括正弦、余弦、正切等概念的定义和计算公式（相关要点详见“知识梳理”部分）.,考点2解直角三角形的应用,考点精讲【例2】（2014广东）如图1-6-3-6，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60（A，B，D三点在同一直线上）.请你根据他们的测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）.（参考数据：1.414，1.732）,思路点拨：首先利用三角形的外角的性质求得ACB的度数，得到BC的长度，然后在RtBDC中，利用三角函数即可求解.解：CBD=A+ACB，ACB=CBD-A=60-30=30.A=ACB.BC=AB=10（m）.在RtBCD中，答：这棵树CD的高度为8.7米.,考题再现1.（2016六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图1-6-3-7，AD=24m，D=90，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得ABD=31，2秒后到达C点，测得ACD=50.（tan310.6，tan501.2，结果精确到1m）（1）求B，C间的距离.（2）通过计算，判断此轿车是否超速.,解：（1）在RtABD中，AD=24m，B=31，tan31=，即BD=40（m）.在RtACD中，AD=24m，ACD=50，tan50=，即CD=20（m）.BC=BD-CD=40-20=20（m）.则B，C间的距离为20m.（2）根据题意，得202=10m/s15m/s，则此轿车没有超速.答：此轿车没有超速.,2.（2014珠海）如图1-6-3-8，一艘渔船位于小岛M的北偏东45方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60方向的B处.（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）.（参考数据：）,解：（1）如答图1-6-3-1，过点M作MDAB于点D.AME=45，AMD=MAD=45.AM=180海里，MD=AMcos45=（海里）.答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M间的最小距离是海里.（2）在RtDMB中，BMF=60，DMB=30.MD=海里，答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时.,考点演练3.如图1-6-3-9，小山岗的斜坡AC的坡度是tan=，在与山脚C距离200m的D处，测得山顶A的仰角为26.6，求小山岗的高AB.（结果取整数，参考数据：sin26.6=0.45，cos26.6=0.89，tan26.6=0.50）,解：在直角三角形ABC中，在直角三角形ADB中，BD-BC=CD=200,解得AB=300（m）.答：小山岗的高AB为300米.,4.如图1-6-3-10，甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会和，于是甲船改变了行进的方向，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇.假设乙船的速度和航向保持不变，求港口A与小岛C之间的距离.,解：如答图1-6-3-2.由题意，得1=60，2=30，4=45，AB=30海里.过点B作BDAC于点D，则1=3=60.在RtBCD中，4=45，CD=BD.在RtABD中，2=30，AB=30海里，,考点点拨：本考点的题型一般为解答题，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于借助实际问题中的俯角、仰角或方向角等构造直角三角形并解直角三角形.熟记以下解直角三角形的应用问题的一般过程：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据题目的已知条件选用适当的锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.,课堂巩固训练,1.如图1-6-3-11，ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cosABC等于（）,B,2.如图1-6-3-12，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则sin的值是（）,B,3.如图1-6-3-13，在ABC中，C=90，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若cosBDC=，则BC的长是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm4.如图1-6-3-14，在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为点D，tanACD=，AB=5，那么CD的长是_.,A,5.在RtABC中，C=90，如果AC=4，sinB=，那么AB=_.6.如图1-6-3-15，ABC中，ACB=90，sinA=，BC=8，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.（1）求线段CD的长；（2）求cosDBE的值.,6,7.某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图1-6-3-16，某探测对在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25和60，且AB=4m，求该生命迹象所在位置C的深度.（结果精确到1m，参考数据：sin250.4，cos250.9，tan250.5，1.7）,解：如答图1-6-3-3，作CDAB交AB的延长线于点D.设CD为xm.在RtADC中，DAC=25，在RtBDC中，DBC=60，而AB=4m,解得x3（m）.答：生命迹象所在位置C的深度约为3m.,8.如图1-6-3-17，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中ADBC，坝顶BC=10m，坝高20m，斜坡AB的坡度i=12.5，斜坡CD的坡角为30.（1）求坝底AD的长度（结果精确到1m）；（2）若坝长100m，求建造这个大坝需要的土石料.（参考数据：）,解：（1）如答图1-6-3-4，作BEAD于点E，CFAD于点F.ADBC,四边形BEFC是矩形.EF=BC=10（m）.BE=20m，斜坡AB的坡度i=12.5，AE=50（m）.CF=20m，斜坡CD的坡角为30，AD=AE+EF+FD95（m）.（2）建造这个大坝需要的土石料为：（95+10）20100=105000（m3）.答：建造这个大坝需要的土石料为105000m3.,
展开阅读全文