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等腰三角形一、选择题1（xx山东烟台）如图，RtABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，ABC=40，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（）A40B70C70或80D80或140【考点】角的计算【分析】如图，点O是AB中点，连接DO，易知点D在量角器上对应的度数=DOB=2BCD，只要求出BCD的度数即可解决问题【解答】解：如图，点O是AB中点，连接DO点D在量角器上对应的度数=DOB=2BCD，当射线CD将ABC分割出以BC为边的等腰三角形时，BCD=40或70，点D在量角器上对应的度数=DOB=2BCD=80或140，故选D2（xx山东枣庄）如图，在ABC中，AB = AC，A = 30，E为BC延长线上一点，ABC与ACE的平分线相交于点D，则D等于A15 B17. 5 C20 D22.5第4题图【答案】A.【解析】试题分析：在ABC中，AB=AC，A=30，根据等腰三角形的性质可得ABC=ACB=75，所以ACE=180-ACB=180-75=105，根据角平分线的性质可得DBC=37.5，ACD=52.5，即可得BCD=127.5，根据三角形的内角和定理可得D=180-DBC-BCD=180-37.5-127.5=15，故答案选A.考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理.3（xx.山东省泰安市，3分）如图，在PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若MKN=44，则P的度数为（）A44B66C88D92【分析】根据等腰三角形的性质得到A=B，证明AMKBKN，得到AMK=BKN，根据三角形的外角的性质求出A=MKN=44，根据三角形内角和定理计算即可【解答】解：PA=PB，A=B，在AMK和BKN中，AMKBKN，AMK=BKN，MKB=MKN+NKB=A+AMK，A=MKN=44，P=180AB=92，故选：D【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键4（xx江苏省扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（）A6B3C2.5D2【考点】几何问题的最值【分析】以BC为边作等腰直角三角形EBC，延长BE交AD于F，得ABF是等腰直角三角形，作EGCD于G，得EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去ABF，BCE，ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形EBC，延长BE交AD于F，得ABF是等腰直角三角形，作EGCD于G，得EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去ABF，BCE，ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小=46443633=2.5故选C二、填空题1.（xx湖北黄冈）如图，已知ABC, DCE, FEG, HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB=2，BC=1. 连接AI，交FG于点Q，则QI=_.A D F HQ B C E G I（第14题）【考点】相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质.【分析】过点A作AMBC. 根据等腰三角形的性质，得到MC=BC=，从而MI=MC+CE+EG+GI=.再根据勾股定理，计算出AM和AI的值；根据等腰三角形的性质得出角相等，从而证明ACGQ，则IACIQG，故=，可计算出QI=.A D F HQ B M C E G I【解答】解：过点A作AMBC.根据等腰三角形的性质，得 MC=BC=.MI=MC+CE+EG+GI=.在RtAMC中，AM2=AC2-MC2= 22-（）2=.AI=4.易证ACGQ，则IACIQG=即=QI=.故答案为：.2. (xx四川资阳)如图，在33的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是【考点】概率公式；等腰三角形的判定【分析】根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案【解答】解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，故P（所作三角形是等腰三角形）=；故答案为：3. （xx四川成都4分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为3【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，OB=OD，OA=OC，AC=BD，OA=OB，AE垂直平分OB，AB=AO，OA=AB=OB=3，BD=2OB=6，AD=3；故答案为：34. （xx四川达州3分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ，连接BQ若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为24+9【考点】旋转的性质；等边三角形的性质【分析】连结PQ，如图，根据等边三角形的性质得BAC=60，AB=AC，再根据旋转的性质得AP=PQ=6，PAQ=60，则可判断APQ为等边三角形，所以PQ=AP=6，接着证明APCABQ得到PC=QB=10，然后利用勾股定理的逆定理证明PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S四边形APBQ=SBPQ+SAPQ进行计算【解答】解：连结PQ，如图，ABC为等边三角形，BAC=60，AB=AC，线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ，AP=PQ=6，PAQ=60，APQ为等边三角形，PQ=AP=6，CAP+BAP=60，BAP+BAQ=60，CAP=BAQ，在APC和ABQ中，APCABQ，PC=QB=10，在BPQ中，PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=102，而64+36=100，PB2+PQ2=BQ2，PBQ为直角三角形，BPQ=90，S四边形APBQ=SBPQ+SAPQ=68+62=24+9故答案为24+95. （xx江苏淮安，16，3分）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是10【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长【解答】解：因为2+24，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=10，答：它的周长是10，故答案为：10【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角形的周长的计算方法，列式解答即可6.（xx广东广州）如图，中，,点在上，,将线段沿方向平移得到线段，点分别落在边上，则的周长是 cm.难易 容易考点 平移 ，等腰三角形等角对等边解析 CD沿CB平移7cm至EF参考答案 137.（xx广西贺州）如图，在ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则AOB的度数为120【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】先证明DCBACE，再利用“8字型”证明AOH=DCH=60即可解决问题【解答】解：如图：AC与BD交于点HACD，BCE都是等边三角形，CD=CA，CB=CE，ACD=BCE=60，DCB=ACE，在DCB和ACE中，DCBACE，CAE=CDB，DCH+CHD+BDC=180，AOH+AHO+CAE=180，DHC=OHA，AOH=DCH=60，AOB=180AOH=120故答案为120【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用“8字型”证明角相等，属于中考常考题型8（xx山东烟台）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应3，3，作腰长为4的等腰ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为【考点】勾股定理；实数与数轴；等腰三角形的性质【分析】先利用等腰三角形的性质得到OCAB，则利用勾股定理可计算出OC=，然后利用画法可得到OM=OC=，于是可确定点M对应的数【解答】解：ABC为等腰三角形，OA=OB=3，OCAB，在RtOBC中，OC=，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，OM=OC=，点M对应的数为故答案为9（xx.山东省青岛市,3分）如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形把它们沿图中 虛线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为448480cm3【考点】剪纸问题【分析】由题意得出ABC为等边三角形，OPQ为等边三角形，得出A=B=C=60，AB=BC=ACPOQ=60，连结AO，作QMOP于M，在RtAOD中，OAD=OAK=30，得出OD=AD=2cm，AD=OD=2cm，同理：BE=AD=2cm，求出PQ、QM，无盖柱形盒子的容积=底面积高，即可得出结果【解答】解：如图，由题意得：ABC为等边三角形，OPQ为等边三角形，A=B=C=60，AB=BC=AC，POQ=60，ADO=AKO=90连结AO，作QMOP于M，在RtAOD中，OAD=OAK=30，OD=AD=2cm，AD=OD=2cm，同理：BE=AD=2cm，PQ=DE=2022=204（cm），QM=OPsin60=（204）=106，（cm），无盖柱形盒子的容积=（204）（106）4=448480（cm3）；故答案为：44848010（xx江苏泰州）如图，已知直线l1l2，将等边三角形如图放置，若=40，则等于20【考点】等边三角形的性质；平行线的性质【分析】过点A作ADl1，如图，根据平行线的性质可得BAD=根据平行线的传递性可得ADl2，从而得到DAC=40再根据等边ABC可得到BAC=60，就可求出DAC，从而解决问题【解答】解：过点A作ADl1，如图，则BAD=l1l2，ADl2，DAC=40ABC是等边三角形，BAC=60，=BAD=BACDAC=6040=20故答案为20三.解答题1. （xx年浙江省宁波市）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线（1）如图1，在ABC中，CD为角平分线，A=40，B=60，求证：CD为ABC的完美分割线（2）在ABC中，A=48，CD是ABC的完美分割线，且ACD为等腰三角形，求ACB的度数（3）如图2，ABC中，AC=2，BC=，CD是ABC的完美分割线，且ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长【考点】相似三角形的判定与性质【专题】新定义【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明ABC不是等腰三角形，ACD是等腰三角形，BDCBCA即可（2）分三种情形讨论即可如图2，当AD=CD时，如图3中，当AD=AC时，如图4中，当AC=CD时，分别求出ACB即可（3）设BD=x，利用BCDBAC，得=，列出方程即可解决问题【解答】解：（1）如图1中，A=40，B=60，ACB=80，ABC不是等腰三角形，CD平分ACB，ACD=BCD=ACB=40，ACD=A=40，ACD为等腰三角形，DCB=A=40，CBD=ABC，BCDBAC，CD是ABC的完美分割线（2）当AD=CD时，如图2，ACD=A=45，BDCBCA，BCD=A=48，ACB=ACD+BCD=96当AD=AC时，如图3中，ACD=ADC=66，BDCBCA，BCD=A=48，ACB=ACD+BCD=114当AC=CD时，如图4中，ADC=A=48，BDCBCA，BCD=A=48，ADCBCD，矛盾，舍弃ACB=96或114（3）由已知AC=AD=2，BCDBAC，=，设BD=x，（）2=x（x+2），x0，x=1，BCDBAC，=，CD=2=【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型2（xx上海）如图所示，梯形ABCD中，ABDC，B=90，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且AGE=DAB（1）求线段CD的长；（2）如果AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围【考点】四边形综合题【专题】综合题【分析】（1）作DHAB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，则DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；（2）分类讨论：当EA=EG时，则AGE=GAE，则判断G点与D点重合，即ED=EA，作EMAD于M，如图1，则AM=AD=，通过证明RtAMERtAHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，则AGE=AEG，可证明AE=AD=15，（3）作DHAB于H，如图2，则AH=9，HE=AEAH=x9，先利用勾股定理表示出DE=，再证明EAGEDA，则利用相似比可表示出EG=，则可表示出DG，然后证明DGFEGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系【解答】解：（1）作DHAB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，DH=BC=12，CD=BH，在RtADH中，AH=9，BH=ABAH=169=7，CD=7；（2）当EA=EG时，则AGE=GAE，AGE=DAB，GAE=DAB，G点与D点重合，即ED=EA，作EMAD于M，如图1，则AM=AD=，MAE=HAD，RtAMERtAHD，AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；当GA=GE时，则AGE=AEG，AGE=DAB，而AGE=ADG+DAG，DAB=GAE+DAG，GAE=ADG，AEG=ADG，AE=AD=15，综上所述，AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；（3）作DHAB于H，如图2，则AH=9，HE=AEAH=x9，在RtADE中，DE=，AGE=DAB，AEG=DEA，EAGEDA，EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，EG=，DG=DEEG=，DFAE，DGFEGA，DF：AE=DG：EG，即y：x=（）：，y=（9x）【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题3（xx江苏省宿迁）如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为4【分析】如图，当AB=AD时，满足PBC是等腰三角形的点P有且只有3个【解答】解：如图，当AB=AD时，满足PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，P1BC，P2BC是等腰直角三角形，P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），则AB=AD=4，故答案为4【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型4（xx江苏省宿迁）如图，已知BD是ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，EDBC，EFAC求证：BE=CF【分析】先利用平行四边形性质证明DE=CF，再证明EB=ED，即可解决问题【解答】证明：EDBC，EFAC，四边形EFCD是平行四边形，DE=CF，BD平分ABC，EBD=DBC，DEBC，EDB=DBC，EBD=EDB，EB=ED，EB=CF【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用直线知识解决问题，属于基础题，中考常考题型5（xx江苏省宿迁）已知ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将CAD绕点C按逆时针方向旋转角得到CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点（1）如图1，当=90时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF求证：GFAC；（2）如图2，当90180时，AE与DF相交于点M当点M与点C、D不重合时，连接CM，求CMD的度数；设D为边AB的中点，当从90变化到180时，求点M运动的路径长【分析】（1）欲证明GFAC，只要证明A=FGB即可解决问题（2）先证明A、D、M、C四点共圆，得到CMF=CAD=45，即可解决问题利用的结论可知，点M在以AC为直径的O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即可解决问题【解答】解：（1）如图1中，CA=CB，ACB=90，A=ABC=45，CEF是由CAD旋转逆时针得到，=90，CB与CE重合，CBE=A=45，ABF=ABC+CBF=90，BG=AD=BF，BGF=BFG=45，A=BGF=45，GFAC（2）如图2中，CA=CE，CD=CF，CAE=CEA，CDF=CFD，ACD=ECF，ACE=CDF，2CAE+ACE=180，2CDF+DCF=180，CAE=CDF，A、D、M、C四点共圆，CMF=CAD=45，CMD=180CMF=135如图3中，O是AC中点，连接OD、CMAD=DB，CA=CB，CDAB，ADC=90，由可知A、D、M、C四点共圆，当从90变化到180时，点M在以AC为直径的O上，运动路径是弧CD，OA=OC，CD=DA，DOAC，DOC=90，的长=当从90变化到180时，点M运动的路径长为【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题6（xx辽宁沈阳）在ABC中，AB=6，AC=BC=5，将ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到ADE，旋转角为（0180），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE（1）如图，当=60时，延长BE交AD于点F求证：ABD是等边三角形；求证：BFAD，AF=DF；请直接写出BE的长；（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当DAG=ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE的值温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答【考点】三角形综合题【分析】（1）由旋转性质知AB=AD，BAD=60即可得证；由BA=BD、EA=ED根据中垂线性质即可得证；分别求出BF、EF的长即可得；（2）由ACB+BAC+ABC=180、DAG+DAE+BAE=180、DAG=ACB、DAE=BAC得BAE=BAC且AE=AC，根据三线合一可得CEAB、AC=5、AH=3，继而知CE=2CH=8、BE=5，即可得答案【解答】解：（1）ABC绕点A顺时针方向旋转60得到ADE，AB=AD，BAD=60，ABD是等边三角形；由得ABD是等边三角形，AB=BD，ABC绕点A顺时针方向旋转60得到ADE，AC=AE，BC=DE，又AC=BC，EA=ED，点B、E在AD的中垂线上，BE是AD的中垂线，点F在BE的延长线上，BFAD，AF=DF；由知BFAD，AF=DF，AF=DF=3，AE=AC=5，EF=4，在等边三角形ABD中，BF=ABsinBAF=6=3，BE=BFEF=34；（2）如图所示，DAG=ACB，DAE=BAC，ACB+BAC+ABC=DAG+DAE+ABC=180，又DAG+DAE+BAE=180，BAE=ABC，AC=BC=AE，BAC=ABC，BAE=BAC，ABCE，且CH=HE=CE，AC=BC，AH=BH=AB=3，则CE=2CH=8，BE=5，BE+CE=13【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、中垂线的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键
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