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7.3球的表面积和体积,第一章7简单几何体的面积和体积,学习目标1.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.2.会求解组合体的体积与表面积.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一球的截面,思考什么叫作球的大圆与小圆？答案平面过球心与球面形成的截线是大圆.平面不过球心与球面形成的截线是小圆.,梳理用一个平面去截半径为R的球O的球面得到的是，有以下性质：(1)若平面过球心O，则截线是以为圆心的球的大圆.(2)若平面不过球心O，如图，设OO，垂足为O，记OOd，对于平面与球面的任意一个公共点P，都满足OOOP，则有OP，即此时截线是以为圆心，以r为半径的球的小圆.,O,圆,O,知识点二球的切线,(1)定义：与球只有公共点的直线叫作球的切线.如图，l为球O的切线，M为切点.(2)性质：球的切线垂直于过切点的半径；过球外一点的所有切线的长度都.,相等,唯一,知识点三球的表面积与体积公式,R3,4R2,思考辨析判断正误1.球的表面积等于它的大圆面积的2倍.()2.两个球的半径之比为12，则其体积之比为14.()3.球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.(),题型探究,例1已知球的表面积为64，求它的体积.,类型一球的表面积与体积,解答,解设球的半径为R，则4R264，解得R4，,反思与感悟(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解.(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.,跟踪训练1(1)已知球的体积为，则其表面积为_.,解析,答案,100,解得R5，所以球的表面积S4R2452100.,类型二球的截面,例2在半径为R的球面上有A，B，C三点，且ABBCCA3，球心到ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积.,解答,解依题意知，ABC是正三角形，所以球的表面积S4R216.,反思与感悟(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题.(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2d2r2.,跟踪训练2如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为,解析,答案,解析利用球的截面性质结合直角三角形求解.如图，作出球的一个截面，则MC862(cm)，设球的半径为Rcm，则R2OM2MB2(R2)242，R5，,解析长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，所以球的表面积S4R214.,类型三与球有关的组合体,命题角度1球的内接或外切柱体问题例3(1)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为_.,14,解析,答案,解析由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，,(2)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为_.,解析,答案,反思与感悟(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r1.(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2.,答案,解析,解如图所示，将正四面体补形成一个正方体.设正四面体的棱长为a.又球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R，,命题角度2球的内接锥体问题例4若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积.,解答,解把正四面体放在正方体中，,跟踪训练4球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_.,解析,答案,解析设球的半径为R，当圆锥顶点与底面在球心两侧时，过球心及内接圆锥的轴作轴截面如图，,达标检测,解析设圆柱的高为h，得h4R.,1.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为A.RB.2RC.3RD.4R,1,2,3,4,5,答案,解析,答案,解析,解析如图，设截面圆的圆心为O，M为截面圆上任一点，,1,2,3,4,5,2,3,3.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为A.4(rR)2B.4r2R2C.4RrD.(Rr)2,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,解析方法一如图，设球的半径为r1，则在RtCDE中，DE2r1，CERr，DCRr.由勾股定理得,2,3,4,5,1,方法二如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在RtAOB中，OF是斜边AB上的高.由相似三角形的性质得OF2BFAFRr，故球的表面积为S球4Rr.,4.两个球的表面积之差为48，它们的大圆周长之和为12，则这两个球的半径之差为A.1B.2C.3D.4,解析设两球半径分别为R1，R2，且R1R2，所以R1R22.,解析,2,3,4,5,1,答案,表面积为S14R2，半径增加为2R后，表面积为S24(2R)216R2.即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.,5.若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的_倍，表面积变为原来的_倍.,2,3,4,5,1,4,答案,8,解析,1.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.2.解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.,规律与方法,
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