2019年高考数学真题分类汇编 6.4 数列求和、数列的综合应用 理 .doc

2019年高考数学真题分类汇编 6.4 数列求和、数列的综合应用 理考点一数列求和1.(xx山东,19,12分a)已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=(-1)n-1,求数列bn的前n项和Tn.解析(1)因为S1=a1,S2=2a1+2=2a1+2,S4=4a1+2=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.(2)bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.当n为偶数时,Tn=-+-=1-=.当n为奇数时,Tn=-+-+=1+=.所以Tn=考点二数列的综合应用2.(xx江西,17,12分)已知首项都是1的两个数列an,bn(bn0,nN*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令cn=,求数列cn的通项公式;(2)若bn=3n-1,求数列an的前n项和Sn.解析(1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn0(nN*),所以-=2,即cn+1-cn=2.所以数列cn是以1为首项,2为公差的等差数列,故cn=2n-1.(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,于是数列an的前n项和Sn=130+331+532+(2n-1)3n-1,3Sn=131+332+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n,相减得-2Sn=1+2(31+32+3n-1)-(2n-1)3n=-2-(2n-2)3n,所以Sn=(n-1)3n+1.3.(xx四川,19,12分)设等差数列an的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(nN*).(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列an的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列的前n项和Tn.解析(1)由已知,b7=,b8=4b7,有=4=.解得d=a8-a7=2.所以,Sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.(2)函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-=(ln 2)(x-a2),它在x轴上的截距为a2-.由题意,a2-=2-,解得a2=2.所以d=a2-a1=1.从而an=n,bn=2n.所以Tn=+,2Tn=+.因此,2Tn-Tn=1+-=2-=.所以,Tn=.4.(xx浙江,19,14分)已知数列an和bn满足a1a2a3an=(nN*).若an为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(1)求an与bn;(2)设cn=-(nN*).记数列cn的前n项和为Sn.(i)求Sn;(ii)求正整数k,使得对任意nN*均有SkSn.解析(1)由题意a1a2a3an=(,b3-b2=6,知a3=(=8.又由a1=2,得公比q=2(q=-2舍去),所以数列an的通项为an=2n(nN*),所以,a1a2a3an=()n(n+1).故数列bn的通项为bn=n(n+1)(nN*).(2)(i)由(1)知cn=-=-(nN*),所以Sn=-(nN*).(ii)因为c1=0,c20,c30,c40;当n5时,cn=,而-=0,得1,所以,当n5时,cn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解析(1)设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2,从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立.当an=4n-2时,Sn=2n2.令2n260n+800,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.6.(xx湖南,20,13分)已知数列an满足a1=1,|an+1-an|=pn,nN*.(1)若an是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值;(2)若p=,且a2n-1是递增数列,a2n是递减数列,求数列an的通项公式.解析(1)因为an是递增数列,所以|an+1-an|=an+1-an=pn.而a1=1,因此a2=p+1,a3=p2+p+1.又a1,2a2,3a3成等差数列,所以4a2=a1+3a3,因而3p2-p=0,解得p=或p=0.当p=0时,an+1=an,这与an是递增数列矛盾.故p=.(2)由于a2n-1是递增数列,因而a2n+1-a2n-10,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)0.但,所以|a2n+1-a2n|0,因此a2n-a2n-1=.因为a2n是递减数列,同理可得,a2n+1-a2n0,故a2n+1-a2n=-=.由,知,an+1-an=.于是an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+-+=1+=+,故数列an的通项公式为an=+.