2019-2020年九年级数学竞赛辅导讲座 第十七讲 解直角三角形.doc

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2019-2020年九年级数学竞赛辅导讲座 第十七讲 解直角三角形 利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形,解直角三角形有以下两方面的应用: 1为线段、角的计算提供新的途径 解直角三角形的基础是三角函数的概念,三角函数使直角三角形的边与角得以转化,突破纯粹几何关系的局限 2解实际问题测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题,许多问题可转化为解直角三角形获解,解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上,准确把实际问题抽象为几何图形,进而转化为解直角三角形【例题求解】【例1】 如图,已知电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上,如果CD与地面成45,A60,CD4m,BC()m,则电线杆AB的长为 思路点拨 延长AD交BC于E,作DFBC于F,为解直角三角形创造条件【例2】 如图,在四边形ABCD中,AB=,BC-1,CD=,B=135,C90,则D等于( ) A60 B675 C75 D无法确定思路点拨 通过对内分割或向外补形,构造直角三角形注:因直角三角形元素之间有很多关系,故用已知元素与未知元素的途径常不惟一,选择怎样的途径最有效、最合理呢?请记住:有斜用弦,无斜用切,宁乘勿除 在没有直角的条件下,常通过作垂线构造直角三角形;在解由多个直角三角形组合而成的问题时,往往先解已具备条件的直角三角形,使得求解的直角三角形最终可解【例3】 如图,在ABC中,=90,BAC=30,BC=l,D为BC边上一点,tanADC是方程的一个较大的根?求CD的长思路点拨 解方程求出 tanADC的值,解RtABC求出AC值,为解RtADC创造条件【例4】 如图,自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD,AB=3米,BC=05米 ,车厢底部距离地面12米,卸货时,车厢倾斜的角度=60问此时车厢的最高点A距离地面多少米?(精确到1米) 思路点拨 作辅助线将问题转化为解直角三角形,怎样作辅助线构造基本图形,展开空间想象,就能得到不同的解题寻路【例5】 如图,甲楼楼高16米,乙楼坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30,此时,求:(1)如果两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是多少米? 思路点拨 (1)设甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处,则图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高;(2)设点A的影子落在地面上某一点C,求BC即可注:在解决一个数学问题后,不能只满足求出问题的答案,同时还应对解题过程进行多方面分析和考察,思考一下有没有多种解题途径,每种途径各有什么优点与缺陷,哪一条途径更合理、更简捷,从中又能给我们带来怎样的启迪等 若能养成这种良好的思考问题的习惯,则可逐步培养和提高我们分析探索能力学历训练1如图,在ABC中,A=30,tanB=,BC=,则AB的长为 2如图,在矩形ABCD中E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点,若tanAEH =,四边形EFGH的周长为40cm,则矩形ABCD的面积为 3如图,旗杆AB,在C处测得旗杆顶A的仰角为30,向旗杆前北进10m,达到D,在D处测得A的仰角为45,则旗杆的高为 4上午9时,一条船从A处出发,以每小时40海里的速度向正东方向航行,9时30分到达B处,从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45和北偏东15方向,那么B处船与小岛M的距离为( ) A20海里 B20海里 C海里 D5已知a、b、c分别为ABC中A、B、C的对边,若关于的方程有两个相等的实根,且sinBcosAcosBsinA0,则ABC的形状为( )A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 6如图,在四边形ABCD中,A135,B=D=90,BC=,AD=2,则四边形ABCD的面积是( )A B C 4 D6 7如图,在ABC中,ACB=90,CDAB于D,CD=1,已知AD、BD的长是关于的方程的两根,且tanAtanB=2,求、的值8如图,某电信部门计划修建一条连结B、C两地的电缆,测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30、45,在B地测得C地的仰角为60已知C地比A地高200米,则电缆BC至少长多少米?(精确到0.1米) 9如图,在等腰RtABC中,C=90,CBD30,则= 10如图,正方形ABCD中,N是DC的中点M是AD上异于D的点,且NMB=MBC,则tanABM 11在ABC中,AB=,BC=2,ABC的面积为l,若B是锐角,则C的度数是 12已知等腰三角形的三边长为 a、b、c,且,若关于的一元二次方程的两根之差为,则等腰三角形的一个底角是( ) A 15 B30 C45 D60 13如图,ABC为等腰直角三角形,若AD=AC,CE=BC,则1和2的大小关系是( ) A12 B12 C12 D无法确定 14如图,在正方形ABCD中,F是CD上一点,AEAF,点E在CB的延长线上,EF交AB于点G (1)求证:DFFCBGEC; (2)当tanDAF=时,AEF的面积为10,问当tanDAF=时,AEF的面积是多少?15在一个三角形中,有一边边长为16,这条边上的中线和高线长度分别为10和9,求三角形中此边所对的角的正切值 16台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正在以15千米时的速度沿北偏东30方向往C处移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或超过四级,则称为受台风影响 (1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由 (2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长? (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级? 17如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物ABCD,且建筑物周围没有开阔平整地带该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得,从A、D、C三点可看到塔顶端H可供使用的测量工具有皮尺、测角器(1)请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物,设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案具体要求如下:测量数据尽可能少;在所给图形上,画出你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离,用m表示;如果测D、C间距离,用n表示;如果测角,用、等表示测角器高度不计)(2)根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度HG(用字母表示) 参考答案
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