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第3讲平面向量,第3讲平面向量,1.如图,在66的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量a,b,c满足c=xa+yb(x,yR),则x2+y2=.,答案5,解析a=(1,2),b=(2,-1),c=(3,4),由c=xa+yb得解得则x2+y2=5.,2.若a,b,c都是单位向量,且ab,则(a+b+2c)c的最大值为.,答案2+,解析由题意可设a=(1,0),b=(0,1),c=(cos,sin),则(a+b+2c)c=(1+2cos,1+2sin)(cos,sin)=(1+2cos)cos+(1+2sin)sin=cos+sin+2=sin+22+,当且仅当=+2k,kZ时取等号,故(a+b+2c)c的最大值为2+.,3.若向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且|a+b|2ab,则cos(-)=.,答案1,解析由|a+b|2ab两边平方得|a|2+2ab+|b|24(ab)2.又ab=cos(-)0,所以4cos2(-)-2cos(-)-20,2cos(-)+1cos(-)-10,则cos(-)1.又-1cos(-)1,则cos(-)=1.,4.已知向量e1,e2是夹角为的两个单位向量,向量a=e1-e2,b=ke1+e2,若ab=0,则k的值为.,答案1,解析|e1|=|e2|=1,e1e2=-,ab=(e1-e2)(ke1+e2)=k|e1|2+(1-k)e1e2-|e2|2=k-(1-k)-1=0,解得k=1.,题型一平面向量的线性运算,例1设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).(1)当m=8时,将用和表示;(2)若A、B、C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.,【方法归纳】(1)向量的线性运算有加法、减法、数乘,运算方法有几何法(三角形法则和平行四边形法则)和代数法(坐标法);(2)向量共线定理:非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),aba=bx1y2-x2y1=0.,1-1(2018江苏南通中学高三考前冲刺)如图,在梯形ABCD中,ABCD,AB=3CD,点E是B,C的中点.若=x+y,其中x,yR,则x+y的值为.,答案,解析2=+=3+=3-+=4-3,则=+,则x+y=+=.,题型二平面向量的数量积,例2(1)(2018江苏盐城模拟)如图,在AB1B8中,已知B1AB8=,AB1=6,AB8=4,点B2,B3,B4,B5,B6,B7分别为边B1B8的7等分点,则当i+j=9(1i8)时,的最大值为.,(2)(2018江苏扬州调研)如图,已知AC=2,B为AC的中点,分别以AB,AC为直径在AC同侧作半圆,M,N分别为两半圆上的动点(不含端点A,B,C)且BMBN,则的最大值为.,答案(1)(2),解析(1)在AB1B8中,B1AB8=,AB1=6,AB8=4,由余弦定理可得B1B8=2.取B1B8的中点D,则|=,=+-=|2-|2=19-|2,当最大时,|2最小,则i=4或5,此时|2=2=,则的最大值为19-=.(2)由题意可得BMBN,AMB=90,则AMBN.因为AC=2,B为AC的中点,所,以BN=BC=BA=1.设NBC=MAB=,则=(-)=-=|-|cos=|-|2=-+,当|=时取等号,故的最大值是.,【方法归纳】数量积运算一般有两种解法,即基底法和坐标法,一般选择长度、夹角已知的向量为基底,将其余向量都用基底表示;特殊图形中的数量积也可建立适当的平面直角坐标系,利用向量的坐标运算求解,要根据条件灵活选择方法.,2-1(1)(2018江苏南京模拟)在ABC中,AB=3,AC=2,D为边BC上一点.若=5,=-,则的值为.(2)(2018苏锡常镇四市调研)如图,扇形AOB的圆心角为90,半径为1,点P是圆弧AB上的动点,作点P关于弦AB的对称点Q,则的取值范围为.,答案(1)-3(2)-1,1,解析(1)因为D为边BC上一点,所以=x+y,x+y=1,x,y0,则=(x+y)=9x+y=5,=(x+y)=x+4y=-.联立解得=-3或,当=时不满足x,y0,舍去,故=-3.(2)以点O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(1,0),B(0,1).设P(cos,sin),直线AB的方程为x+y-1=0,则点P关于直线AB的对称点Q(1-sin,1-cos),则=cos(1-sin)+sin(1-cos,)=sin+cos-2sincos,令t=sin+cos=sin1,则=-t2+t+1-1,1.,题型三平面向量与三角函数的综合问题,例3(2018江苏南通调研)在平面直角坐标系xOy中,设向量a=(cos,sin),b=(-sin,cos),c=.(1)若|a+b|=|c|,求sin(-)的值;(2)设=,0,且a(b+c),求的值.,解析(1)因为a=(cos,sin),b=(-sin,cos),c=,所以|a|=|b|=|c|=1,且ab=-cossin+sincos=sin(-).因为|a+b|=|c|,所以|a+b|2=c2,即a2+2ab+b2=1,所以1+2sin(-)+1=1,即sin(-)=-.(2)因为=,所以a=.依题意,b+c=.,因为a(b+c),所以-=0.化简得sin-cos=,所以sin=.因为0,所以-.所以-=,即=.,【方法归纳】解决三角函数与平面向量综合问题的关键:一是巧“化简”,即灵活运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数式进行化简;二是会“转化”,把以向量共线、向量垂直形式出现的条件还原,转化为“对应坐标乘积之间的关系”.这类问题的落脚点是三角函数的化简与求值.,3-1已知a=(cos,sin),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sin,cosx+2cos),其中0x.(1)若=,求函数f(x)=bc的最小值及相应的x值;(2)若a与b的夹角为,且ac,求tan2的值.,解析(1)由已知得,f(x)=bc=cosxsinx+2cosxsin+sinxcosx+2sinxcos=2sinxcosx+(sinx+cosx).,
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