资源描述
第48讲空间几何体的表面积与体积,考试要求1.空间几何体的表面积(A级要求)，体积(A级要求)；2.高考对本讲内容的考查以填空题为主.应关注空间几何体表面积、体积的计算问题.,1.思考辨析(在括号内打“”或“”),(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)圆柱的侧面展开图是矩形.()(4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(),诊断自测,解析如图中的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”，所以它不是棱柱，故(1)错；(2)有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故(2)错.,答案(1)(2)(3)(4)(5),3.(2017天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_.,5.(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为_.,6.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BDa，则三棱锥DABC的体积为_.,1.多面体的结构特征,知识梳理,互相平行,全等,公共顶点,平行于底面,相似,2.旋转体的形成,任一边,任一直角边,垂直于底边的腰,直径,3.柱、锥、台和球的表面积和体积,Sh,4R2,4.常用结论,考点一空间几何体的结构特征【例1】给出下列命题：,棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是_.,解析不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念可知.,答案,规律方法(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.,【训练1】(1)以下命题：,以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为_.,(2)给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的几何体是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.其中不正确的命题为_(填序号).,解析(1)命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题对；命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故正确的命题个数为1.,(2)对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错；对于，若底面不是矩形，则错；由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故正确.综上，命题不正确.答案(1)1(2),考点二求空间几何体的表面积,(2)(2018苏州模拟)如图，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45角，求此斜三棱柱的表面积.,(1)解析由题意知该六棱锥为正六棱锥，设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h.,(2)解如图，过A作AD平面ABC于D，过D作DEAB于E，DFAC于F，,连接AE，AF，AD.则由AAEAAF，AAAA，又由题意知AEAB，AFAC，得RtAAERtAAF，AEAF，DEDF，AD平分BAC，又ABAC，BCAD，BCAA，而AABB，BCBB，四边形BCCB是矩形，,规律方法(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况.(2)在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.,(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积.解(1)设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，,在RtD1DE中，,(2)设c、c分别为上、下底的周长，h为斜高，,考点三空间几何体的体积【例3】(1)(2015江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_,(2)(2018盐城模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2cm，E为C1D1的中点，则三棱锥EA1BC的体积为_cm3.,规律方法空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用换底法、分割法、补形法等方法进行求解,【训练3】如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_.,解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，,考点四与球有关的问题【例4】(2018扬州模拟)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为_.,解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.,规律方法空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解.,【训练4】(1)已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？,解(1)由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.,
展开阅读全文