资源描述
2.4.3导数与函数的零点及参数范围,解题策略一,解题策略二,判断、证明或讨论函数零点个数解题策略一应用单调性、零点存在性定理、数形结合判断例1设函数f(x)=e2x-alnx.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数;(2)证明当a0时,f(x)2a+aln.难点突破(1)讨论f(x)零点的个数要依据f(x)的单调性,应用零点存在性定理进行判断.,解题策略一,解题策略二,解题策略一,解题策略二,解题心得研究函数零点或方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,并借助函数的大致图象判断函数零点或方程根的情况.,解题策略一,解题策略二,对点训练1已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明当k0.当x0时,g(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)单调递增,g(-1)=k-10时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)xh(x).h(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+)单调递增,所以g(x)h(x)h(2)=0,所以g(x)=0在(0,+)没有实根.综上,g(x)=0在R有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.,解题策略一,解题策略二,解题策略二分类讨论法例2已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-lnx.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.难点突破(1)设切点(x0,0),依题意f(x0)=0,f(x0)=0,得关于a,x0的方程组解之.(2)为确定出h(x)对自变量x0分类讨论;确定出h(x)后对参数a分类讨论h(x)零点的个数,h(x)零点的个数的确定要依据h(x)的单调性和零点存在性定理.,解题策略一,解题策略二,解题策略一,解题策略二,解题策略一,解题策略二,解题策略一,解题策略二,解题心得1.如果函数中没有参数,一阶导数求出函数的极值点,判断极值点大于0小于0的情况,进而判断函数零点的个数.2.如果函数中含有参数,往往一阶导数的正负不好判断,这时先对参数进行分类,再判断导数的符号,如果分类也不好判断,那么需要对一阶导函数进行求导,在判断二阶导数的正负时,也可能需要分类.,解题策略一,解题策略二,对点训练2已知函数f(x)=alnx+-(a+1)x,aR.(1)当a=-1时,求函数f(x)的最小值;(2)当a1时,讨论函数f(x)的零点个数.,解题策略一,解题策略二,解题策略一,解题策略二,当00,f(x)为增函数;x(a,1)时,f(x)0,f(x)为增函数.所以f(x)在x=a处取极大值,f(x)在x=1处取极小值.,当0a1时,f(a)1时,求证:函数f(x)在(0,+)内单调递增;(2)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值.难点突破(1)先求f(x)的导函数f(x),再证明f(x)0.(2)由题意当a0,a1时,f(x)=0有唯一解x=0,y=|f(x)-t|-1有三个零点f(x)=t1有三个根,从而t-1=(f(x)min=f(0)=1,解得t即可.,解题策略一,解题策略二,(1)证明f(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna.由于a1,故当x(0,+)时,lna0,ax-10,所以f(x)0,故函数f(x)在(0,+)上单调递增.(2)解当a0,a1时,f(x)=2x+(ax-1)lna,f(x)=2+ax(lna)20,f(x)在R上单调递增,因为f(0)=0,故f(x)=0有唯一解x=0.所以x,f(x),f(x)的变化情况如表所示:,又函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,所以方程f(x)=t1有三个根,而t+1t-1,所以t-1=f(x)min=f(0)=1,解得t=2.,解题策略一,解题策略二,解题心得在已知函数y=f(x)有几个零点求f(x)中参数t的值或范围问题,经常从f(x)中分离出参数t=g(x),然后用求导的方法求出g(x)的最值,再根据题意求出参数t的值或范围.,解题策略一,解题策略二,对点训练3(2018广东珠海质检)函数f(x)=axex+lnx+x(aR).(1)若a0,试讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.,解题策略一,解题策略二,解题策略一,解题策略二,解题策略一,解题策略二,解题策略二分类讨论法,解题策略一,解题策略二,解题策略一,解题策略二,解题策略一,解题策略二,解题策略一,解题策略二,解题心得在已知函数零点个数的情况下,求参数的范围问题,通常采用分类讨论法,依据题目中的函数解析式的构成,将参数分类,在参数的小范围内研究函数零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各个小范围并在一起,即为所求参数范围.,解题策略一,解题策略二,对点训练4已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.,解(1)f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).()设a0,则当x(-,1)时,f(x)0.所以f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增.,解题策略一,解题策略二,()设a-,则ln(-2a)0;当x(ln(-2a),1)时,f(x)1,故当x(-,1)(ln(-2a),+)时,f(x)0;当x(1,ln(-2a)时,f(x)0,h(x)在(0,+)递增;a+10即a-1时,x(0,1+a)时,h(x)0,h(x)在(0,1+a)递减,在(1+a,+)递增,综上,a-1时,h(x)在(0,1+a)递减,在(1+a,+)递增,a-1时,h(x)在(0,+)递增.,
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