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概率论讲义,1.确定性现象.,在一定条件下可能发生这种结果也可能发生那种结果的，因而无法事先断言出现那种结果的现象称为随机现象。,第一章随机事件及其概率,3.概率规律和统计规律性。,2.随机现象:,1.1随机事件,随机试验:可在相同的条件下重复进行;(2)重复试验有多个可能结果,且能事先明确所有可能的结果;(3)一次试验只出现一个结果，且试验前不能确定出现哪个结果。,样本空间随机试验中，每一个可能结果称为该试验的一个样本点,记为.全体样本点组成的集合称为该试验的样本空间，记为。,E1:抛一枚硬币，观察正(H)反(T)面的情况.,1=H,T1=H,2=T,E4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.,4=0，1，2，1=0,2=1,3=2,E3:掷一颗骰子,观察点数.则,3=1,2,3,4,5,61=12=26=6,E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.,2=HHH,THH，HTH,HHT,HTT,THT,TTH,TTT,E5:从一批电子元件中任取一只测试其寿命.,5=t|t0,1.离散样本空间.,2.连续样本空间.,如E1中,“出现正面”;E3中，“出现偶数点”;E5中1000t0,则有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).,一般,设A1,A2,An是n个事件,(n2),P(A1A2.An-1)0,则有乘法公式:,P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An-1|A1A2An-2)P(An|A1A2An-1).,例透镜第一次落下打破的概率为0.5,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为获0.7,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为0.9,试求透镜落下三次而未打破的概率.,练习：设盒中有a(a2)个黑球，b个白球，连续从盒中取球3次，每次取一球，取后不放回，求1次取到黑球，第2,3次取到白球的概率。,解：以Ai表示事件“第i次取到黑球”(i=1,2,3),(三)全概率公式和贝叶斯公式:,例1.某电子设备厂所用的晶体管由三家元件制造厂提供,数据如下:元件制造厂次品率提供的份额10.020.1520.010.8030.030.05从中任取一只晶体管,它是次品的概率是多少？,全概率公式:,例1(续).:产品为次品,Bi:产品由工厂i生产,元件制造厂次品率提供的份额10.020.1520.010.8030.030.05,运用全概率公式可得,例2某产品整箱出售每箱20个，各箱有0，1，2个次品的概率分别为0.8,0.1,0.1。顾客购买时选取一箱从中任取4只检查，若无次品则买下该箱产品，若有次品则退回，求顾客买下该箱产品的概率。,解：以Bj表示“选取的一箱产品中有j个次品”(j=0,1,2),则Bj构成样本空间的一个划分.A表示“顾客买下该箱产品”,练习:甲箱中装有3只红球和2只白球,乙箱中2只红球和2白球,从甲箱中取两只球放入乙箱中,再从乙箱中取1球,求A:“从乙箱取得白球”的概率.,解设Bi=从甲箱中取出i只白球i=0,1,2.则B0,B1,B2构成样本空间的一个划分。有,由全概率公式,贝叶斯公式:,例3(续1)任取一只晶体管,若它是次品,则它由1号工厂生产的概率分别是多少?,10.020.1520.010.8030.030.05,注:1.P(Bi)称为先验概率。事件B1,B2,Bn被看作是引起事件A发生的n个原因。,2.P(Bi|A)通常称为后验概率。事件A表示结果，P(Bi|A)表示A的发生是由第i个原因引起的概率。,求结果：全概公式求原因：贝叶斯公式,例在数字通讯中，发送信号和的概率分别为0.7和0.3;发送0收到1的概率为0.2;发送1收到1的概率为0.9。求收到信号为1时发送信号为1的概率。,解：A接收信号为1,练习：机器良好时,生产的产品的合格率为90%,而当机器有故障时,其合格率为30%,每天开机时机器良好的概率为75%。已知某日第一件产品是合格品,问机器良好的概率是多少?,解:A表“产品合格”,B为“机器良好”,=(0.90.75)/(0.90.75+0.30.25)=0.9.,1.5独立性,若P(B|A)=P(B),由乘法公式有,P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).,一般地,P(B|A)P(B).,例1设袋中有a只红球和b只白球，今从袋中取球两次,每次各取一球,记:A,B分别表示“第一、二次取得红球”。,2.有放回时:,1.不放回时:,定义1:设A,B是两事件,如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B是相互独立的事件.,注：必然事件和不可能事件与任何事件A都独立,定理：如果事件A,B相互独立，且P(B)0,则P(A|B)=P(A),例2甲、乙两射手向同一目标独立射击,甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，求在一次射击中目标被击中的概率。,解：A甲击中目标，B乙击中目标，,定义2:设A,B,C是三个事件,若满足:P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称A,B,C为相互独立的事件.,定义3：对n个事件A1,A2,An,如果对所有可能的组合1ijkn成立着P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An),则称这n个事件A1,A2,An相互独立.,定义4：设A1,A2,An是n个事件，如果对任意的1is)=P(Xt),(三)正态分布:,性质:,如何计算?,转化为标准正态分布进行计算。,(2)标准正态分布:,(3)转换为标准正态分布,引理对于标准正态分布有,练习设XN(0.5,9),求P(|X|2),例2公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头机会在0.01以下设计的，设男子身高XN(170,62)(厘米），问车门高度应为多少？,解：设车门高度为h,按题意有,P(Xh)0)的概率密度。,二、X为连续型-分布函数法,于是求导可得,2.已知一年中某种人群死亡率为0.0005,该人群有10000人参加人寿保险,每人保费5元.若未来一年中死亡,则得到赔偿5000.求:(1)未来一年中保险公司至少获利10000元的概率。(2)亏本的概率。,练习：1.一个盒子中放有N个编号1N的标签N个,从中又放回地抽取n个，求取出的最大号码X的分布率。,作业：9，10，12，16,27，29，34，37,41，43，48,第三章多维随机变量及其分布,n维随机变量定义:若X1()X2(),Xn()是定义在样本空间上的n个随机变量,则称,构成一个n维随机变量,简记为X=(X1,X2,Xn),1.二维随机变量(联合)分布函数:,联合分布函数.,3.1二维随机变量,(1)F(x,y)是变量x或y的单调不减函数，即,联合分布函数的性质：,(3)F(x,y)关于x,y都是右连续的，即,2.二维随机变量的分布,二维离散型随机变量的分布律,例1一袋子中有5个球，其中2个球上标有数字“1”，3个球上标有数字“0”。在有放回和无放回情况下各取两个球，X,Y分别表示第一、二次取得的数字，求(X,Y)的联合分布律。,解:(X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1)有放回取球，对应概律为,P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0)=3/53/5=9/25,(X,Y)的分布律为,例2.设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,随机变量Y则在1X中等可能地取一整数,试求(X,Y)的分布律.,二维连续型随机变量的联合概率密度,二维均匀分布及二维正态分布,1.二维均匀分布,区域G的面积为A,若(X,Y)具有概率密度,则称(X,Y)在G上服从均匀分布.,2.二维正态分布,(X,Y)具有概率密度,2.边缘分布,一、边缘分布函数：,二、边缘分布律：,二维离散型随机变量(X,Y)的分量X,Y的分布律P(X=xi),P(Y=yj)(i=1,2,)分别称为(X,Y)关于X,Y的边缘分布律。,设(X,Y)的联合分布律P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,)则关于X的边缘分布律为,例1(续)求关于X和Y的边缘分布律。,无放回取球,有放回取球,两种取球方式下边缘分布均为,pk,pk,三、边缘概率密度:,所以，关于X的边缘密度为,例1设(X,Y)在G上服从均匀分布，求其边缘密度,解：因G的面积为1/2，所以,练习,3.条件分布,一、二维离散型变量的情况:,例1以X,Y分别表示某医院一天中出生的婴儿总数和男婴数。(X,Y)的联合分布律为,求:(1)边缘分布律(2)条件分布律,例2一射击手进行射击,击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止,设以X表示首次击中目标进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数,试求X和Y的联合分布律和条件分布律.,二、二维连续型随机变量,称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数,练习,4.相互独立的随机变量,例1(X,Y)由联合分布,证明X与Y独立。,定理:如果(X,Y)是二维离散型随机变量,则X,Y相互独立的充要条件是:,定理(X,Y)是二维连续型随机变量,则X,Y相互独立的充要条件是:,例判定独立性,例判定独立性,命题：设(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y相互独立的充要条件是=0.,定理：设(X1,X2,Xm)和(Y1,Y2,Yn)相互独立,则Xi(i=1,2,m)和Yj(j=1,2,n)相互独立,若h,g是连续函数,则h(X)和g(Y)相互独立.,5.二维随机变量的函数的分布,问题：已知Z=g(X,Y),以及(X,Y)的联合分布，如何求出Z的分布？,1(X,Y)为二维离散型随机变量,例1设二维随机变量(X,Y)的分布律为下表,试求:(1)Z1=X+Y;(2)Z2=XY;(3)Z3=max(X,Y)的分布律。,解：列下表,(1)Z1=X+Y的分布律为,(2)Z2=XY的分布律为,(3)Z3=max(X,Y)的分布律为,证Z=X+Y可能的取值为0,1,2,且,2二维连续型随机变量的函数的分布,Z=g(X,Y）的分布函数为,(一)和(Z=X+Y)的分布:,求Z=X+Y的概率密度.,例1.设X和Y相互独立,且都服从N(0,1),求:Z=X+Y的分布密度.,例2设(X,Y)由联合概率密度,求Z=X+Y的密度函数fZ(z).,(二)商(Z=X/Y)的分布:,(三)M=max(X,Y)及m=min(X,Y)的分布:,例4两个部件L1,L2组成的串、并联系统,分析：对系统1T=minX,Y对系统2T=maxX,Y,练习,1设(X,Y)的联合密度为,(1)求边缘密度fX(x),fY(y)(2)求条件密度fX|Y(x|y),3.将两封信随机投入编号为1，2，3，4的4个邮箱，用X,Y分别表示1，2号邮箱中的邮件数，求（1）(X,Y)的联合分布律。（2）求X关于Y=0的条件分布律。(3)判定X,Y的独立性(4)求X+Y的分布律。,4.设X,Y同服从参数为p的几何分布，且X,Y相互独立，求Z=X+Y分布律。,作业：1,3,6,9,12,18,19,23,24,28,第四章随机变量的数字特征,1.随机变量的数学期望,下面计算一些离散型分布的期望值。,1)(0-1)分布设X服从(0-1)分布，分布律为,P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,0p1,X的数学期望为EX=1p+0(1-p)=p,连续型随机变量的数学期望：,设f(x)为连续型随机变量X的概率密度，对X的取值区间作一分割，有,下面计算常用连续型变量的数学期望：,则,它恰是区间a,b的中点。,因此柯西分布的数学期望不存在.,练习求伽玛分布的数学期望。,随机变量函数的数学期望公式:,练习Xe(),求E(e-sX),练习：求EY,例6设X,Y相互独立同服从N(0,1),求EmaxX,Y,均值的性质:,(1)E(c)=c;,(2)E(cX)=cE(X);,(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);,(4)设X,Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y);,(5)|E(XY)|2E(X2)E(Y2)(许瓦尔兹不等式),例1.二项分布的均值的计算:,设Xb(n,p),X表示n次独立重复试验中A发生的次数，引入Xi(i=1,2,n),例2将n个编号为1-n的球随机放入编号为1-n的n个盒子，若球号与盒号相同，称为一个匹配。X表示匹配数，求EX.,2.方差,若X为离散型随机变量,方差的计算公式:,1.X服从(0-1)分布,则,EX=0(1-p)+1p=p,故D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p).,E(X2)=02(1-p)+12p=p,下面计算一些常见分布的方差,2.求伽玛分布的方差,练习：,1.求几何分布g(p)的方差,方差的性质:,1C是常数,D(C)=0;,2D(CX)=C2D(X);,3X,Y相互独立,则有D(XY)=D(X)+D(Y);,4D(X)=0PX=C=1.,例1设XB(n,p),分解X求其方差DX.,切比雪夫不等式:,练习XB(100,1/2),估计P(40X60),3.协方差和相关系数,展开可得:Cov(X,Y)=EX-EXY-EY=E(XY)-E(X)E(Y).,于是D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).,例1.求X,Y的协方差,协方差的性质:,1Cov(X,Y)=Cov(Y,X);,2Cov(aX,bY)=abCov(X,Y);,3Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);,6|Cov(X,Y)|2D(X)D(Y);,5若X,Y相互独立,则Cov(X,Y)=0.,4Cov(X,a)=0,Cov(X,X)=DX;,由性质(6)|Cov(X,Y)|2D(X)D(Y)可得.,例1(续)：求相关系数,公式：Cov(aX+bY,cX+dY)=acDX+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdDY,例3.XN(2008,1),YN(2009,1),且X与Y独立，求3X-Y与X+Y的相关系数。,4.矩、协方差矩阵,(1)若E(Xk),k=1,2,存在,则称为X的k阶原点矩.,(2)若EX-E(X)k,k=1,2,存在,则称它为X的k阶中心矩.,(3)若EX-E(X)kY-E(Y)l,k,l=1,2,存在,则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩.,一、矩,二维随机变量(X1,X2)的二阶中心矩分别记为,将它们排成矩阵形式,称这个矩阵为(X1,X2)的协方差矩阵。,二、协方差矩阵,协方差阵的性质：对称性、正定性等。,三.n维正态分布:,2.性质:,(1)n维r.v.(X1,X2,Xn)服从n维正态分布的充要条件是X1,X2,Xn的任一线性组合l1X1+l2X2+lnXn服从一维正态分布.,“分布自由”定义法,(X1,X2,Xn)服从n维正态分布,设Y1,Y2,Yn是Xj(j=1,2,n)的线性函数,则(Y1,Y2,Yn)也服从多维正态分布.,正态分布线性变换的不变性,(3)若(X1,X2,Xn)服从n维正态分布,则“X1,X2,Xn相互独立”与“X1,X2,Xn两两不相关”是等价的.,练习：轮盘赌中轮盘上有37个数字0-36.0是绿色，其他数字红黑相间。在单个数字上的赔率为1:35.若出现数字0，则赌场吃掉一半赌金。求下注人一次平均收益EX.,练习,某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别有80件，10件，10件，从中任取一件，记,求（1）X1与X2的联合分布律（2）X1与X2的相关系数。,2将n个编号为1-n的n个球随机放入m个盒子中去(盒子容量不限)，X表示有球的盒子数，求EX,作业：9111320222534353843,第五章大数定律及中心极限定理,1.大数定律,一.问题的提出:,1.当n足够大时,频率是否收敛到相应的概率p，即,由契比雪夫不等式可得,一切比雪夫大数定律:,设X1,X2,Xn,是相互独立随机变量序列,特殊情况,设X1,X2,Xn,相互独立,且同分布,二.贝努利大数定律:,设nA是n次独立重复试验中A发生的次数,p=P(A),则,贝努利大数定律:频率nA/n收敛到概率p.,三.辛钦大数定律:,设X1,X2,Xn,独立同分布,且具期望,注：对方差不做要求。,2.中心极限定理,一.问题提出:,对于独立随机变量序列X1,X2,Xn,假定EXi,DXi存在,令,一.独立同分布的中心极限定理:,设Xk(k=1,2,)相互独立,服从同一分布且,练习：某种电子元件40个，其寿命服从参数为0.1(小时-1)的指数分布，让他们依次工作,求总工作时间不足380小时的概率。,二.德莫佛-拉普拉斯定理:,例2有800台电话分机，独立使用，每台话机约有5%的时间使用外线。问总机至少需要多少外线才能90%以上的保证各分机用外线不必等候。,解：设X为需用外线的台数，XB(800,0.05).即求最小的N,使得,*投掷硬币问题,练习：在一家保险公司里有10000人参加保险,每人每年付12元保费,在一年内一个人死亡的概率为0.0004,死亡者其家属可向保险公司领得20000元赔偿费.求：保险公司亏损的概率为多大？,作业：1468,练习:1.抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受，问应检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不能被接受的概率达到0.9?(147个)2.一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠度为0.9，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠度为0.95?(25个),3.设某电话总机要为2000个用户服务，在最忙时，平均每户有3%的时间占线，假设各户是否打电话是相互独立的，问若想以99%的可能性满足用户的要求，最少需要多少条线路？(79条),
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