2019-2020年九年级数学上册 23.1 锐角的三角函数名师教案 （新版）沪科版 (I).doc

2019-2020年九年级数学上册 23.1 锐角的三角函数名师教案 （新版）沪科版 (I)教学目标1理解锐角三角函数(sin A，cos A，tan A)的定义2会求直角三角形中各锐角的三角函数值3了解坡度、坡角的定义，掌握坡度、坡角与三角函数之间的关系教学重难点正切、正弦、余弦函数的概念及其应用；使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是固定值教学过程导入新课杂志上有过这样的一篇报道：始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜.1972年比萨发生地震，这座高54.5 m的斜塔大幅度摇摆22分之多，仍巍然屹立可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1 m增加至5.2 m，而且还以每年倾斜1 cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，xx年竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8 cm.根据上面的这段报道中，“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1 m增加至5.2 m”这句话你是怎样理解的，它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？这个问题涉及到锐角三角函数的知识学过本章之后，你就可以轻松地解答这个问题了！推进新课一、合作探究1问题引入梯子是我们日常生活中常见的物体，你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？学生交流：如可用角的大小，梯子斜靠墙的高度等给学生以发表意见的机会，教师予以引导【问题1】 探究梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？请说出你的判断方法？学生可由铅直高度相等，水平长度不同进行判断【问题2】 当水平长度和铅直高度都不相等时，又如何判断呢？设计意图：引发学生的争论，激发学生的求知欲从而教师可提出能否用铅直高度与水平长度的比值进行衡量呢？【问题3】 如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子AB1的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子AB1的倾斜程度你同意小亮的看法吗？【问题4】 如图，在锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足为C，得到RtABC；再任取一点B1，自点B1向另一边作垂线，垂足为C1，得到RtAB1C1，这样，我们可以得到无数个直角三角形在这些直角三角形中，锐角A的对边与邻边之比，有怎样的关系？引导学生独立证明：易知，BCB1C1B2C2B3C3，ABCAB1C1AB2C2AB3C3，.因此，在这些直角三角形中，A的对边与邻边的比值是一个固定值通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到教学目标，同时培养学生的能力，进行了德育渗透2正切函数概念的提出在日常生活和数学活动中，上面所得出的结论是非常有用的为了叙述方便，作出如下规定：如图，在RtABC中，C=90，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tan A，即tan A=.注意：正切的定义是在直角三角形中，相对其锐角而定义的，实质是两条线段长度的比，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关3坡度和坡角对于问题2中“当水平长度和铅直高度都不相等时，判断坡度的大小”，你现在能判断了吗？结合图形，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比)，一般用i表示，即i，把坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)引导学生结合图形思考，坡度i与坡角之间具有什么关系？答：itan .4正弦、余弦的概念我们知道，在RtABC中，C90，当锐角A确定时，A的对边与邻边的比就随之确定了问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？教师引导学生自己作出结论，其证明方法与上面证明对边比邻边为定值的方法相同，都是通过两个三角形相似来证明学生证明过后教师进行总结：类似于正切的情况，当锐角A的大小确定时，A的对边与斜边的比、A的邻边与斜边的比也分别是确定的正弦：我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sin A，即sin A.余弦：我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cos A，即cos A.锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是A的函数同样地，cos A，tan A也是A的函数二、巩固提高如图，在RtABC中，C90，BC6，sin A，求cos A，tan B的值分析：我们已经知道了直角三角形中一条直角边的值，要求余弦值、正切值，就要求斜边与另一条直角边的值我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求解：sin A，AB610.又AC8，cos A，tan B.三、达标训练1如图，菱形ABCD中，对角线AC6，BD8，ABD，则下列结论中正确的是()Asin Bcos Ctan Dtan 2在RtABC中，各边长度都同时缩小为原来的一半，则锐角A的余弦值和正切值()A都扩大2倍B都缩小一半C都不变D正切值扩大2倍，余弦值缩小一半3一段坡面的坡角为60，则坡度i_.4已知直角三角形中较长的直角边长为30，这边所对角的余弦值为，则此三角形的周长为_，面积为_本课小结1在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比都是一个固定值2能利用锐角三角函数的概念求锐角三角函数值，或利用锐角三角函数值求边的长度3对锐角三角函数概念的理解要准确，不要混淆正弦函数、余弦函数和正切函数，特别是正弦函数和余弦函数易混淆，正弦函数是对边比斜边，而不是邻边比斜边(余弦). 1对三角函数概念的理解(1)正切、正弦、余弦的定义是在直角三角形中，相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度的比，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关(2)在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以有如下结论：tan A0,0sin A1，0cos A1.(3)“tan A”“sin A”“cos A”都是整体符号，不能写成“tan A”“sin A”“cos A”，对于用三个大写字母，如AOB，应写成“tanAOB”“sinAOB”“cosAOB”(4)由tan A，sin A，cos A，变形可以得到abtan A，acsin A，bccos A，或者b，c，c.(5)(sin A)2常写成sin2A，不能写成sin A2.2三角函数的产生和发展三角学开创之初，希腊人思考的是定圆各中心角所对应的弦长如托勒密把圆心角分成360份，把直径分为120份，然后对圆心角求对应弦的长而印度人则不同，他们研究一个角的倍角所对弦的一半，即角对应的半弦长.1631年邓玉函、汤若望和徐光启编译的大测一书，将sinus译成正半弦或前半弦，简称正弦，此即为我国正弦一词的来源正弦、余弦的现代定义起源于欧拉正弦和余弦的符号也是经过长期的发展才成为我们现在所看到的这样数学家毛罗利科早在1558年就已采用三角函数符号，但当时并无函数的概念，于是只称作三角线.1753年，生于瑞士的欧拉开始使用sin 和cos 表示正弦和余弦，这两个符号才算基本定型公元727年，唐朝卓越的天文学家、高僧一行受唐玄宗之命撰写大衍历为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表，而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切函数希腊科学家海伦在计算正多边形面积时，就已经用到了余切三角函数值了3一般三角形中正弦函数的应用在锐角ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c.过A作ADBC于D，如图，则sin B=，sin C=，即AD=c sin B，AD=b sin C于是c sin B=b sin C，即.同理有，.所以.(*)即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等解决以下问题：在锐角三角形中，若已知三个元素a，b，A，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c，B，C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件a，b，A_B；第二步：由条件A，B_C；第三步：由条件_c.分析：灵活运用结论.解：第一步：，sin B.第二步：ABC180，C180(AB)第三步：a，A，C或b，B，C，或.奥赛链接如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处，已知AB8，BC10，则tanEFC的值为()ABCD解析：AFAD10，BF6.又AFED90，AFBEFC90.BAFEFCtanEFCtanBAF.答案：A