2019-2020年高考最后一卷（押题卷）（第四模拟）含解析.doc

2019-2020年高考最后一卷（押题卷）（第四模拟）含解析一、填空题：共14题1已知集合A=1,2,B=0,1,3,则AB=.【答案】1【解析】本题考查集合的表示方法以及集合的交运算.解题时注意交集与并集的区别.根据交集的概念,易得AB=1. 2已知复数z=+2i3(i是虚数单位),则其在复平面内对应的点位于第象限.【答案】四【解析】本题考查复数的运算与复数的几何意义,考查考生的基本运算能力.由题意知,复数z=+2i3=-2i=-2i=2-i,故其在复平面内对应的点位于第四象限. 3已知一个正四棱锥的底面边长为2,侧面积为4,则该正四棱锥的高为.【答案】2【解析】本题考查立体几何中的基本运算,解本题时应注意高与斜高的区别.设该正四棱锥的高为h,斜高为h,则42h=4,则h=.由h2+12=(h)2,得h=2. 4为了引导学生树立正确的消费观,现随机抽取了n名小学生调查他们每天零花钱的数量(取整数,单位:元),若样本中每天零花钱的数量在6,10)内的小学生有320名,则样本中每天零花钱的数量在10,18)内的小学生的人数为.【答案】480【解析】本题主要考查频率分布直方图的应用,解题的关键是熟练掌握“频率分布直方图中各个小长方形的面积之和为1”这一结论.根据频率分布直方图可知,每天零花钱的数量在6,10)内的小学生的频率为0.084=0.32,又每天零花钱的数量在6,10)内的小学生有320名,所以n=1 000.又(0.02+0.08+x+0.03+0.03)4=1,所以x=0.09,所以样本中每天零花钱的数量在10,18)内的小学生的人数为(0.09+0.03)41 000=480. 5阅读如图所示的算法流程图,运行相应的程序,则输出的结果是.【答案】64【解析】本题考查基本算法语句,考查考生的阅读能力以及简单的数据处理能力.当a=-1时,满足a10,则a=4;当a=4时,满足a10,则a=9;当a=9时,满足a10,故输出的结果为64. 6设函数f(x)=g(x)+2,若f(x)是奇函数,g(3)=1,则g(-3)=.【答案】-5【解析】本题主要考查函数的基本性质,解题时,利用函数的奇偶性进行求解.f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),g(-x)+2=-g(x)-2,g(-x)=-g(x)-4,g(-3)=-g(3)-4=-5. 7甲、乙、丙三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,则第5次接触毽子时恰好是甲的概率为.【答案】【解析】本题考查古典概型的基本概念以及古典概型的概率计算.解决此类问题最有效的方式是枚举法或树形图法.利用树形图法可知,总事件数为16,其中第5次接触毽子时恰好为甲的情况有6种,则其概率P=. 8已知函数f(x)=sin(x+)(xR,|0)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P(,1),在原点右侧与x轴的第一个交点为Q(,0),则f()的值为.【答案】【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质.解题时,先根据条件求出,的值,得到f(x)的解析式,再求出f()的值即可.由题意得,-, T=,=2, 将点P(,1)代入y=sin(2x+)得,sin(2+)=1,又|0,b0)的左支交于A、B两点,则双曲线的离心率e的取值范围是.【答案】(1,)【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系,可用代数法和几何法求解.代数法是联立方程,用根与系数的关系求解;几何法是通过比较直线的斜率与渐近线的斜率的关系,用双曲线的性质得到a,b之间的关系,再化为关于a,c的齐次式,得到离心率的取值范围.通解设A(x1,y1),B(x2,y2),联立,消去y得(b2-4a2)x2-12a3x-9a4-a2b2=0,x1+x2=,x1x2=-,直线AB与双曲线的左支交于A、B两点,得b24a2,即c2-a24a2,c25a2,e25,故1e,b2a,即b24a2,c2-a24a2,c25a2,e25,故1e0时,f(x)=x2-x+2=(x-2)2+11,f(f(x)=(f(x)2-f(x)+2,由f(f(x)f(x)得,(f(x)2-f(x)+2f(x),解得2f(x)4,故2x2-x+24,得4x2+2.当x0时,f(x)=2,f(f(x)=f(2)=1,符合题意.x的取值范围为(-,04,2+2. 11在斜三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若+,则的最大值为.【答案】【解析】本题是三角恒等变换、解三角形与基本不等式的综合应用.合理变形是基础,结合基本不等式求最值是解题的关键.由+可得,+,即, ,即, sin2C=sinAsinBcosC.根据正弦定理及余弦定理可得,c2=ab,整理得a2+b2=3c2. ,当且仅当a=b时等号成立. 12如图,在ABC中,设,=x+y,则x+y=.【答案】【解析】本题考查平面向量的基础知识.解决本题的关键是要有基底的意识.通解+(-)=+-+(-)-(-)=+,所以+,即+,故x+y=.优解由题意知,-=x+(y-1),(-)=-=(-)+,所以-=(-)+(-)=(+)+(-1),又3,所以,即,即x+y=. 13在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项,使其等于两相邻项的和,我们把这样的操作称为该数列的1次“H扩展”.已知数列1,2,第1次“H扩展”后得到1,3,2,第2次“H扩展”后得到1,4,3,5,2,那么第10次“H扩展”后得到的数列的项数为.【答案】1 025【解析】本题考查了等比数列的判断与应用,解题的关键是构造出等比数列.设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为an,则第n+1次“H扩展”后得到的数列的项数为an+1=2an-1,=2,又a1-1=3-1=2,an-1是以2为首项,2为公比的等比数列,an-1=2,an=2n+1,a10=210+1=1 025. 14在平面直角坐标系xOy中,设将椭圆+y2=1绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域内的点构成的集合为A,B=(x,y)|(x-y+t)(x+y+t)0.若AB,则实数t的取值范围为.【答案】(-,-1-3+,+)【解析】这是一道包含两个重要考点的综合题.解决此题的关键是能判断出集合A、B表示的图形,然后研究两个图形之间的关系.由题意得,椭圆+y2=1的左焦点为F(-1,0),所以集合A表示以F(-1,0)为圆心,+1为半径的圆面,即A=(x,y)|(x+1)2+y2.集合B=(x,y)|(x-y+t)(x+y+t)0,易知t0,当t0时,集合B表示两条直线l1:x-y+t=0与l2:x+y+t=0所围成的阴影区域(如图1所示),它们的交点为(-t,0).若AB,则圆面在阴影区域内,从而两条直线与圆F相切或相离.由+1得,t=3+,所以P(-3-,0).当t0时,同理可得图2中点Q的坐标为Q(1+,0).所以t3+或t-1-.图1图2二、解答题：共12题15已知PQ是半径为1的圆A的直径,B,C为不同于P,Q的两点,如图所示,记PAB=.(1)若BC=,求四边形PBCQ的面积的最大值;(2)若BC=1,求的最大值.【答案】(1)AB=AC=1,BC=,BAC=.由PAB=得CAQ=-.S四边形PBCQ=SPAB+SABC+SCAQ=sin+sin(-)=sin(+)+.0,当=时,S四边形PBCQ取得最大值.(2)当BC=1时,ABC=,PAC=+,=(-)(-)=-+=sin+cos-=sin(+)-.0b0)的左、右焦点,A,B分别是椭圆C的右顶点和上顶点,M是线段AB的中点,连接MO并延长交椭圆C于点P,PF1与x轴垂直.(1)求椭圆C的离心率;(2)若直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q,且四边形OAQB的面积为,求椭圆C的方程;(3)线段AB与以PB为直径的圆有几个交点?请说明理由.【答案】(1)由题意知M(,),P(-c,-),由kOP=kOM得b=c,e=,故椭圆C的离心率为.(2)由(1)可设椭圆C的方程为+=1,即x2+2y2=2c2,由P(-c,-c),F2(c,0)得直线PF2的方程为y=(x-c).由解得或所以点Q的坐标为(c,c).连接OQ,因为A(c,0),B(0,c),所以S四边形OAQB=SOAQ+SOQB=cc+cc=c2,由c2=,得c=2,故椭圆C的方程为+=1.(3)因为A(c,0),B(0,c),P(-c,-c),所以=(-c,-c-c)(c,-c)=(1-)c20,即PBA为锐角,=(-c-c,-c)(-c,c)=(2+)c20,即点A在以PB为直径的圆的外部.故线段AB与以PB为直径的圆有2个交点.【解析】本题考查椭圆的方程、几何性质,直线与椭圆、圆的位置关系,向量的数量积等知识,考查考生的运算能力.【备注】解析几何包含两个主要问题,即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质.对解析几何的复习,要在牢固掌握与解析几何有关的基本概念的基础上, 把上述两个问题作为复习和研究的重点,把握坐标法思想的精髓,同时要狠抓运算关,提高运算能力.18某西瓜种植大棚的轴截面如图1所示,下面是1米高的防固墙AB,CD,上面是半径为5米的半圆弧BC,为了能通风透气和方便进出,在大棚一端留有一扇如图2所示的矩形门MNPQ,其中M,N在半圆弧上,P,Q在线段AD上,O为BC的中点,设MON=2.图1图2(1)试把矩形门MNPQ的面积S表示成的函数;(2)为能达到最佳通风效果(矩形门的面积最大),应把门的高度设计为多少米?(14.2,结果精确到0.1米)【答案】(1)由题意知,PQ=25sin=10sin,MQ=1+5cos,于是S=10sin(1+5cos)=10(sin+5sincos),其中(0,.(2)由(1)知,S=10(sin+5sincos),则S=10(cos+5cos2-5sin2)=10(10cos2+cos-5),令S=0,即10(10cos2+cos-5)=0,又(0,则cos0,1),所以cos=.设0(0,且cos0=,则S,S随的变化情况如表所示:所以当=0时,面积S取得极大值,亦为最大值.此时门的高度为MQ=1+5cos=1+4.3(米).所以门的高度设计约为4.3米时,通风效果最佳.【解析】本题是一道以三角函数求导为背景的实际应用题,意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力、数学建模能力.【备注】解实际应用问题时,应强化审题能力及建模能力.审题时要抓住题目中的关键字、词、句,结合所给图形,弄清题中的已知条件,初步了解题目中讲的是什么事情,要求的结果是什么.19已知公差为d(d0)的等差数列an,其前n项和为Sn,数列也是公差为d的等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记集合P=n|,nN*,n4,若集合P中有且仅有四个元素,求实数的取值范围.【答案】(1)设bn=,则=Sn+n,当n=1,2,3时,=S1+1=a1+1,=S2+2=2a1+d+2,=S3+3=3a1+3d+3,联立消去a1,得=2+d,联立消去a1,得=3+3d,3-得,-2b1d+d2=0,则b1=d,将代入解得d=(d=0舍去),从而解得a1=-,所以an=n-.此时bn=n对于任意的正整数n满足题意.(2)设g(n)=,则当n=1,2,3时,g(1)=1,g(2)=,g(3)=-.当n5时,g(n+1)-g(n)=-0时,令g(x)=2ax2+x-1,g(x)的图象开口向上,对称轴为x=-0,所以g(x)=0的两根为x=,易知f(x)在(0,)上为增函数,在(,+)上为减函数,所以此时f(x)的极大值点为x=,无极小值点.综上所述,当a=0时,函数f(x)的极大值点为x=1,无极小值点;当a0时,函数f(x)的极大值点为x=,无极小值点.(2)因为f(1)=0,所以a=0.不等式k(x-1)2(x2-1)f(x)+x-1化为k(x-1)2(x2-1)lnx.当0x1时,x2-10,lnx0;当x1时,x2-10,lnx0,则(x2-1)lnx0.所以当x0时,(x2-1)lnx0恒成立.又当k0时,k(x-1)20,故当k0时符合题意.下面讨论k0的情况.当x0且x1时,(x2-1)lnx-k(x-1)2=(x2-1)lnx-.设h(x)=lnx-(x0且x1),则h(x)=-.方程x2+2(1-k)x+1=0的判别式2=4(1-k)2-4=4(k2-2k).当20,即0k2时,h(x)0恒成立,故h(x)在(0,1)及(1,+)上单调递增.又ln 1-=0,于是当0x1时,h(x)0,又x2-10,即k(x-1)21时,h(x)0,又x2-10,故(x2-1)h(x)0,即k(x-1)2(x2-1)lnx.又当x=1时,k(x-1)2=(x2-1)lnx.因此当00,即k2时,设x2+2(1-k)x+1=0的两个不相等的实根分别为x1,x2(x11,又(1)=4-2k0,于是x11k-1x2.故当x(1,k-1)时,(x)0,即h(x)0,故h(x)在(1,k-1)上单调递减,又ln 1-=0,所以当x(1,k-1)时,h(x)0,于是(x2-1)h(x)(x2-1)lnx.因此当k2时,k(x-1)2(x2-1)lnx对一切正实数x不恒成立.综上,实数k的取值范围是(-,2.【解析】本题考查导数的运算、导数符号与函数单调性之间的关系、函数的极值、不等式恒成立问题等,考查考生的运算能力、综合运用知识分析问题和解决问题的能力,重点考查数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等.【备注】函数是高中数学的主线,在历年江苏卷中,考查比重较大,且常常与导数知识相结合,而且解答题的难度不小.在复习冲刺阶段,对函数与导数要加以重点关注,同时也应该根据自身的基础,确定复习的难度和广度.21如图所示,PA,PB分别切圆O于A,B两点,过AB与OP的交点M作弦CD,连接PC,OD,求证:.【答案】连接OA,OB,由相交弦定理知CMMD=AMBM.由题意知OAPA,OBPB,O,A,P,B四点共圆,AMMB=PMMO.MCMD=PMMO,即,又OMD=CMP,ODMCPM,.【解析】本题考查圆的基本性质、相似三角形等基础知识,考查考生的推理论证能力.【备注】对于平面几何的复习,一要关注圆中的角、弧、线段等元素的关系及转换;二要从文字语言、图形语言两个角度认识和理解一些常见的定理.22已知矩阵A=,A2=,求A-1.【答案】由A=,得A2=,所以所以即A=.设A-1=,因为AA-1=,所以解得所以A-1=.【解析】本题考查矩阵的运算.由A2可求出A,再由A A-1计算出A-1.【备注】对于矩阵的复习,要在对基本概念的理解上下工夫,如理解矩阵的乘法与变换的关系、逆矩阵的意义、特征值和特征向量的含义等.同时,还要掌握与矩阵有关的基本计算,提高运算能力.23在极坐标系中,设直线l过点A(,),B(3,),且直线l与曲线C:=asin(a0)有且只有一个公共点,求实数a的值.【答案】依题意,A(,),B(3,)的直角坐标分别为A(-,),B(0,3),从而直线l的直角坐标方程为x-y+3=0.曲线C:=asin(a0)的直角坐标方程为x2+(y-)2=(a0),因为直线l与曲线C有且只有一个公共点,所以(a0),解得a=2.【解析】本题考查极坐标的基本概念、极坐标与直角坐标之间的转化、直线与圆的位置关系等,考查考生的化归与转化能力及运算求解能力. 24求函数y=+的最大值.【答案】解法一由柯西不等式得+=2,当且仅当,即x=8时取等号,故函数y=+的最大值为2.解法二因为0,0,所以y=+0.又y2=x-7+9-x+22+x-7+9-x=4,当且仅当x-7=9-x,即x=8时等号成立,所以y2,所以函数y=+的最大值为2.【解析】本题考查不等式等基础知识,考查考生的推理论证能力.【备注】对不等式选讲的复习,一方面要关注对柯西不等式的理解,另一方面要注意从目标出发,从等号成立的条件出发,合理地使用公式,减少盲目性.25已知抛物线y2=2px(p0),过点(4,0)作直线l交抛物线于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点O.(1)求抛物线的方程;(2)过抛物线上的定点M(1,)作两条关于直线x=1对称的直线,分别交抛物线于C,D两点,连接CD,试问:直线CD的斜率是否为定值?请说明理由.【答案】(1)当直线l的斜率不存在时,A(4,4),B(4,-4)或A(4,-4),B(4,4),代入y2=2px得p=2.当直线l的斜率存在时,不妨设直线l的方程为y=k(x-4)(k0),联立,消去y得k2x2-(8k2+2p)x+16k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=16,所以=4p2x1x2=64p2,所以y1y2=-8p,由题意知=0,故x1x2+y1y2=0,即16-8p=0,所以p=2.综上可知,所求抛物线的方程为y2=4x.(2)由(1)知M(1,2),设直线CD的方程是x=my+n(m0),显然直线CD不过点M.联立,消去x得y2-4my-4n=0,设C(x3,y3),D(x4,y4),则,由题意直线MC,MD关于直线x=1对称,则直线MC,MD的倾斜角互补,即kMC+kMD=0,也即+=0,整理得(y3-2)(x4-1)+(y4-2)(x3-1)=0,即x3y4+x4y3-2(x3+x4)-(y3+y4)+4=0,将和代入上式化简得(m+1)(n+2m-1)=0,要使上式恒成立,当且仅当m+1=0或n+2m-1=0.当m+1=0,即m=-1时,直线CD的方程为x=-y+n,即直线CD的斜率恒为定值-1;当n+2m-1=0时,将n=1-2m代入直线CD的方程得x=my+1-2m,即x-1=m(y-2),此时直线CD过点M(1,2),与题意矛盾.所以直线CD的斜率恒为定值-1.【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查考生分析问题、解决问题的能力. 26已知数列an满足:a1=3,an=(n2).(1)求证:对任意的nN*,存在mnN,使an=4mn+3;(2)求a2 019的末位数字.【答案】(1)当n=1时,a1=3,存在m1=0,使得a1=4m1+3,假设当n=k时,ak=4mk+3,mkN,则当n=k+1时,ak+1=(-1)0+(-1)1+41+40=4T-1=4(T-1)+3,其中T=(-1)0+(-1)1+N*.所以存在mk+1=T-1N,使ak+1=4mk+1+3,所以当n=k+1时,结论也成立,所以对任意的nN*,存在mnN,使an=4mn+3.(2)由(1)可知an+1=27,故a2 019的末位数字是7.【解析】本题主要以数列为载体,考查组合数和数学归纳法的知识,考查考生的推理论证能力与逻辑思维能力.