资源描述
2019/12/10,近世代数,第二章群论7陪集、指数和Lagrange定理,2019/12/10,一、集合的积,设,为群,是群,子集,定义,若,,则,的两个非空,2019/12/10,二、陪集的引入,引例整数加群,,模4的剩余类:,构成,的一个分类:,现利用群的观点,分析此分类的特点:,分类中存在一个特殊的类0是子群,而其余的类都不是子群.,每个类正好是这个子群乘上这个类中任取定的一个元素.i=i+0.,2019/12/10,三、子群陪集的定义,定义1设,.称群,的子集,和,分别为,在,中的左陪集与右陪集.,思考题1若,又设,那么“,”成立吗?为什么?,不一定是交换群,所以,未必成立.,答:由于,2019/12/10,例1,在,中的全部不同的左陪集有:,2019/12/10,例1,在,中的全部不同的右陪集有:,2019/12/10,四、陪集的性质及陪集分解,左陪集的性质及左陪集分解,2),3),4),1),群,中每个元素属于且只属于一个左陪集,,可以按照其子群,的左陪集分类.,的按照其子群,的左陪集分类中除去,外,再无子群,因此群,群,存在.,2019/12/10,定义2,设,是子群,在群,中的所有不同的左陪集,称等式,为群,关于子群,的左陪集分解,而称,为群,的一个左陪集代表系.,关于子群,2019/12/10,右陪集的性质及右陪集分解,1),2),3),4),2019/12/10,五、右陪集与左陪集的对应关系,定理1设,,则群,陪集含有相同个数的元素;且,在,中,是,到,的一一映射;,是,则,是,到,映射.,的任何两个,证明,集的个数与右陪集的个数相同.,左陪,到,的一一,映射;,的一一,2019/12/10,由定理1知,,,即,是群,关于子群,的一,是群,的一个右陪集代表系.,个左陪集代表系,则,关于子群,2019/12/10,思考题2,?,(),(),?,2019/12/10,六、指数和Lagrange定理,定义3称群,的子群,的不同左(右),在,中的指数.,.,陪集的个数(有限或无限)为,记作,定理2(Lagrange定理)有限群,,,,则,.,例1中,2019/12/10,Lagrange定理证明,证明因为,所以,也是有限群,,,且,由定理1,且,所以,2019/12/10,推论,推论1有限群子群的阶整除群的阶.,的任一元素的阶都能,推论3设群,的阶数是n,则对任意的,.,推论2有限群,整除群的阶数.,
展开阅读全文