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第4讲函数的奇偶性与周期性,考试要求1.函数奇偶性的含义及判断(B级要求)；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇偶性(A级要求)；3.函数的周期性、最小正周期的含义，周期性的判断及应用(B级要求).,知识梳理,1.函数的奇偶性,f(x),f(x),f(x),f(x),y轴,原点,2.奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于_对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于_对称).(2)奇函数的图象关于_对称，偶函数的图象关于_对称.(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)_.(4)定义在(，)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.,原点,原点,原点,y轴,0,(5)对称性的三个常用结论若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称；若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称；若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b，0)中心对称.,3.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的_正周期.(3)函数周期性的三个常用结论：若f(xa)f(x)，则T2a，,f(xT)f(x),存在一个最小,最小,诊断自测,1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数yx2在x(0，)上是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0.()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故yx2在(0，)上不是偶函数，(1)错误.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x0处有意义时才满足f(0)0，(2)错误.答案(1)(2)(3)(4),2.(2019苏州暑假测试)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)2xx2，则f(0)f(1)_.解析因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0，f(1)f(1)(21)1，因此f(0)f(1)1.答案1,3.(2017全国卷改编)已知函数f(x)lnxln(2x)，则下列说法正确的是_(填序号).f(x)在(0，2)上单调递增；f(x)在(0，2)上单调递减；yf(x)的图象关于直线x1对称；yf(x)的图象关于点(1，0)对称.,答案,考点一函数奇偶性的判断,【例1】判断下列函数的奇偶性：,因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.,函数f(x)为奇函数.,(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，xf(2).(3)法一易知g(x)xf(x)在R上为偶函数，奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)0.g(x)在(0，)上是增函数.又3log25.1220.8，且ag(log25.1)g(log25.1)，g(3)g(log25.1)g(20.8)，则cab.法二(特殊化)取f(x)x，则g(x)x2为偶函数且在(0，)上单调递增，又3log25.120.8，从而可得cab.答案(1)2(2)f(2)f(3)(3)bac,
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