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选修41几何证明选讲,第一节相似三角形定理,一、相似三角形的判定定理与性质定理1相似三角形的判定定理,二、平行截割定理1定理三条平行线截任两条直线，所截出的对应线段2推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段三、直角三角形的射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的,成比例,成比例,比例中项,比例中项,1在RtABC中，CD是斜边AB上的高，图形中共有x个三角形与ABC相似，则x的值为()A1B2C3D4解析：由题意知，ACD和CBD与ABC相似，故x2.答案：B,2(课本习题改编)如图，D，E分别是ABC的边AB，AC上的点，DEBC且2，那么ADE与四边形DBCE的面积比是(),答案：C,3如图，F为ABCD的边AD延长线上的一点，DFAD，BF分别交DC，AC于点G，E，EF16，GF12，则BE的长为()A6B8C12D15解析：由DFAD，ABCD知BGGF12，又EF16知EG4，故BE8，故选B.答案：B,4(课本习题改编)如图，ABEMDC.AEED，EFBC，EF12cm，则BC的长为_解析：E为AD的中点，M为BC的中点又EFBCEFMC12cm.BC2MC24cm.答案：24cm,5(2012年湖南十二校联考)如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABADa，CD，点E，F分别为线段AB、AD的中点，则EF_.,解析：连接DE，可知AED为直角三角形，则EF是RtDEA斜边上的中线，其长等于斜边长的一半，为.,考向一平行线分线段成比例定理的应用例1如图，ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AHBE.连接ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB4AF，EH8，求DF的长,1(2013年天津武清模拟)如图，在ABC中，AD平分BAC，DEAC，EFBC，AB15，AF4，则DE_.,答案：6,考向二相似三角形的判定及性质的应用例2(2013年大连四校联考)如图，设M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB，且DM交AC于点F，EM交BD于点G.(1)写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明；(2)设45，AB4，AF3，求FG的长,解析(1)依题意可知AMEMFE，BMDMGD，AMFBGM.AMFBD，BGMDMED，又BADME，AMFBGM，AMFBGM.,2如图，已知ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E，F两点，证明：AFADAGBF.证明：因为四边形ABCD为平行四边形，所以ABDC，ADBC.所以ABFGCF，GCFGDA.所以ABFGDA.从而有，即AFADAGBF.,考向三射影定理的应用例3如图，在RtABC中，BAC90，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E，试证明：(1)ABACBCAD；(2)AD3BCCFBE.,证明(1)在RtABC中，ADBC，SABCABACBCAD.ABACBCAD.(2)RtADB中，DEAB，由射影定理可得BD2BEAB，同理CD2CFAC，BD2CD2BEABCFAC.又在RtBAC中，ADBC，AD2BDDC，AD4BEABCFAC，又ABACBCAD.即AD3BCCFBE.,【创新探究】巧构相似三角形求面积之比【典例】(2011年高考广东卷)如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF3，EFAB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为_,【思路导析】延长线段AD与BC构造相似三角形，利用相似三角形的性质定理求解【解析】将线段AD与BC延长交于点H(如图所示)根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得，故梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为75.【答案】75,【高手支招】借助图形判断三角形相似的方法：(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边,(2011年高考陕西卷)如图，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，则AE_.答案：2,本小节结束请按ESC键返回,
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