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一、单项选择题 (本大题有 4小题, 每小题 4分, 共 16分)1. (0)sin(co) xxf .（A） (02 （B） (01f（C） )f （D） (fx不可导.2. 13)1) .（A） (x与 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）)与是等价无穷小；（C） 是比 ()高阶的无穷小； （D） ()x是比 ()高阶的无穷小. 3. 若 ()02xFtftd，其中 ()fx在区间上 (1,)二阶可导且f，则（ ）.（A）函数 必在 处取得极大值；（B）函数 ()x必在 处取得极小值；（C）函数 在 0处没有极值，但点 (0,)F为曲线 ()yFx的拐点；（D）函数 ()F在 处没有极值，点 ,也不是曲线 的拐点。4. )() ,)(2)( 10xfdtfxfxf （A）2（B）2x（C） （D） .二、填空题（本大题有 4小题，每小题 4分，共 16分）5. xxsin20)31(lim.6. ,(cof xfdcos)(.7. li(scoscs2221n nn.8.2121ari dxx.三、解答题（本大题有 5小题，每小题 8分，共 40分）9. 设函数 ()y由方程 sin()1xye确定，求 ()yx以及 (0)y.10.d17x11.1 32 )(0)( dxfxefx12. 设函数 )(xf连续，10()()gxftd，且 0()limxfA， 为常数. 求 g并讨论 在 处的连续性.13. 求微分方程 2lnyx满足1()9y的解.四、 解答题（本大题 10分）14.已知上半平面内一曲线 )0()y，过点 (,)1，且曲线上任一点Mxy(,)0处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、 y轴、直线 x0所围成面积的 2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题 10分）15.过坐标原点作曲线 xyln的切线，该切线与曲线 ln及 x 轴围成平面图形 D.(1) 求 D的面积 A；(2) 求 D绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有 2小题，每小题 4分，共 8分）16.设函数 )(xf在 0,1上连续且单调递减，证明对任意的 ,01q，00()qdqfdx.17.设函数 )(xf在 ,上连续，且0)(0xdf，cos0d.证明：在 ,内至少存在两个不同的点 21,，使 .0)()(21ff（提示：设 xdfF0)()(）一、单项选择题(本大题有 4小题, 每小题 4分, 共 16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有 4小题，每小题 4分，共 16分）5. 6e . 6. cx2)os(1.7. . 8. 3.三、解答题（本大题有 5小题，每小题 8分，共 40分）9. 解：方程两边求导(1)cos()0xyyxe0,， ()110.解： 76uxdu1()12()dln|2l|)7c71|1|xxC11.解：012330()fdexd010()x23cossin)e321412.解：由 (0)f，知 (0)g。100()()xtufdgxfd(0)x02()()x020()()A()limli2xxxfudfg0200()li()lixxfu ， ()gx在 0处连续。13.解： ndy2(l)xdexC21l39(),0yC，1ln39y四、 解答题（本大题 10分）14.解：由已知且 02dx， 将此方程关于 求导得 y特征方程： r解出特征根： .2,1r其通解为 xxeCy21代入初始条件 y()01，得 31,21C故所求曲线方程为：xxe32五、解答题（本大题 10分）15.解：（1）根据题意，先设切点为 )ln,(0，切线方程：)(ln00xxy由于切线过原点，解出 e，从而切线方程为： xey1则平面图形面积 1012)(dyAy（2）三角形绕直线 x = e一周所得圆锥体体积记为 V1，则23e曲线 yln与 x轴及直线 x = e所围成的图形绕直线 x = e一周所得旋转体体积为 V2 1022)(dyD绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 )3125(621eV六、证明题（本大题有 2小题，每小题 4分，共 12分）16.证明：100()()qfdxfdx 100()()()qqqfxfdxf10(1)qqff12 12,1 ()()12()()0q fffq 故有： 100()()qfxdfxd证毕。17.证：构造辅助函数：xtfFx0,)()(0。其满足在 ,0上连续，在),0(上可导。 ，且 )(F由题设，有 000 )(sincocoss)( |dxFdxf，有 0sin)(xdF，由积分中值定理，存在 ),(，使 i)(即综上可知 ),0(,)()0( F.在区间 ,0上分别应用罗尔定理，知存在 ,1和 ,2，使 1及 2F，即 0)(21f. 高等数学 I 解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题有 4小题, 每小题 4分, 共 16分)1. 当 0x时， ,x都是无穷小，则当 0x时（ D ）不一定是无穷小. (A) (B) 22(C) )(1lnx(D) )(x2. 极限aaxsim的值是（ C ）.（A） 1 （B） e （C） aecot （D） aetn3. 01sin)(2xaxfa在 处连续，则 a =（ D ）.（A） 1 （B） 0 （C） e （D） 14. 设 )(xf在点 处可导，那么 hffh)2()(lim0（ A ）.（A） 3a （B） 2a(C) )(f （D） )(31f二、填空题（本大题有 4小题，每小题 4分，共 16分）5. 极限 )0(ln)l(im0axx的值是 a.6. 由 ye2cos确定函数 y(x)，则导函数 y xeyyln2si.7. 直线 过点 M(,)13且与两平面 zxyz20356,都平行，则直线 l的方程为 1321zyx.8. 求函数 2)4ln(y的单调递增区间为 （，0）和（1，+ ） .三、解答题（本大题有 4小题，每小题 8分，共 32分）9. 计算极限10()limxxe.解：11ln() 2000() ln(1)liiimxxxxxee10.已知： |3a， |26b， 3ab，求 |ab。解： 13cossin,15cos 2 ， 72ba11.设 )(xf在 a， b上连续，且,)()(xdtfxFa，试求出F。解： xaxadtftf)()()( xaxa tfffdtf )()(F12.求 3cos.inx解：21sindx2 21si sincotxdxC 四、解答题（本大题有 4小题，每小题 8分，共 32分）13. 求 231xd.令 t21322)(1dtt原 式dt2123arcsint123614. 求函数 21xy 的极值与拐点.解：函数的定义域（，+ ）2)(32)1(4xy令 0y得 x 1 = 1, x 2 = -1)x 1 = 1是极大值点， 0x 2 = -1是极小值点极大值 (，极小值 )(y令 得 x 3 = 0, x 4 = 3, x 5 = - 3x (-,- ) (- ,0) (0, ) ( 3,+)y + +故拐点（- 3，- 2） ， （0，0） （ 3， 2）15. 求由曲线 4xy与 2x所围成的平面图形的面积.解 :, ,x32341x() ,. 6060223 Sxdxd)()320 34(4360202161652716. 设抛物线 24xy上有两点 (,3)A， (,5)B，在弧 A B上，求一点(,)Px使 AB的面积最大.解： xyxxABP连 线 方 程 ： 点 到 的 距 离 的 面 积 1042523513() Sx() ()12422 当 xSx)10 当 时 取 得 极 大 值 也 是 最 大 值x()01此 时 所 求 点 为 ，y33()另 解 ： 由 于 的 底 一 定 故 只 要 高 最 大 而 过 点 的 抛 物 线的 切 线 与 平 行 时 高 可 达 到 最 大 值 问 题 转 为 求 ，使 解 得 所 求 点 为ABCCxfx,(),() ,00200 042531213六、证明题（本大题 4分）17. 设 ，试证 xex)(2.证明：设 0),1()f1()(2exf， xef2，0,f，因此 在（0，+ ）内递减。在（0，+）内， )(,)(fx 在（0，+）内递减，在（0，+）内， ff即 )12xx亦即当 x0时， ex1)(2 。高等数学 I A一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题有 4小题, 每小题 4分, 共 16分)18. 函数 0,sin12ta,)ln()(xxxf的全体连续点的集合是 （ ）(A) (-,+ ) (B) (-,1) (1,+ )(C) (- ,0) (0, + ) (D) (- ,0) (0,1) (1,+ )19. 设 0)1(lim2baxx，则常数 a,b的值所组成的数组（ a,b）为（ ）（A） （1，0） （B） （0，1） （C） （1，1） （D） （1，-1）20. 设在0，1上 )(xf二阶可导且 0)(xf，则（ ）（A） )0()(ff (B) )1(0)1(fff (C) （D） 21.,1cosin224dxM243)cos(sindxxN243)cossin(dxxP则（ ）（A） M 0,故驻点为极小值点。5设 f (x) = x lnx在 x0处可导，且 f(x0)=2,则 f (x0)= 。解： .),)(,1l0 efef lim.620xfx则 f(x)在 x=0取得 （填极大值或极小值）。解： 0,00 0,1li 22 xfxx fxff二、 0,01)(xxf是否连续？是否可导？并求 f(x)的导函数。解：当 x0及 x0F(1)=f(1)-1=0-12)，并求 nlim。证：211150251)1,0()(012 .)(,1)0( 1,000 0211121 xxnx xxxxfxnxf fnffn nn nnn 解 出取 极 限两 边由 方 程 有 有 极 限 ， 设 极 限 为故 由 极 限 存 在 准 则 知 其因 此是 单 调 下 降 数 列 ， 而知由 上 有 唯 一 实 根 。单 调 增 加 ， 故 在知 函 数又 使点 定 理 知 至 少 有 一 点由 闭 区 间 上 连 续 函 数 零 知 函 数 在 端 点 异 号 。由 上 连 续 。其 在设 七 七 （10 分）确定常数 a、 b,使极限40cos21limxbax存在，并求出其值。解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于是有 1 a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有 a+4b=0解出： a=-4/3 b=1/3 代入求得极限为 8/3八 八 （10 分）设 f (x)在 a,b上连续，在( a,b)内可微，且 f (a) = f (b) =0,证明：对 cffcR， 使 得, 。证明：构造函数 F(x)= e-x f (x) 则 F(x)在 a,b上连续，在( a,b)内可微 F (a) = F (b) =0由罗尔定理xfefecbcR 而， 使 得 ,0,即有 cffa， 使 得 证毕。
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