2019-2020年高考数学 专项强化训练(五).doc

2019-2020年高考数学 专项强化训练(五)1.已知直线l:y=x+1,圆O:x2+y2=,直线l被圆截得的弦长与椭圆C: =1(ab0)的短轴长相等,椭圆的离心率e=.(1)求椭圆C的方程.(2)过点的直线l0交椭圆于A,B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l0如何转动,以AB为直径的圆恒过定点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)利用弦长公式及离心率公式求出a,b的值,从而求得椭圆C的方程.(2)先根据直线l0的斜率不存在及斜率为0的情况确定T的坐标,然后再证明以AB为直径的圆恒过定点T即可.【解析】(1)由题意知,圆O的半径r=,圆O(0,0)到直线y=x+1的距离d=,则直线l被圆截得的弦长为,依题意2=2b,b=1.又椭圆的离心率,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)假设存在定点T(x0,y0),设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2).当直线l0的斜率不存在时,易知A(0,1),B(0,-1),则圆的方程为x2+y2=1.当直线l0的斜率为0时,直线l0的方程为y=-,代入椭圆方程可得即圆的方程为易知T(0,1).下面证明,当直线l0的斜率存在且不为0时,T(0,1)也符合.设直线l0的方程为y=kx-,联立消去y得(2k2+1)x2-=0.则.此时,=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),即当直线l0的斜率存在且不为0时,以AB为直径的圆恒过点T(0,1).综上所述,存在定点T,其坐标为(0,1).【加固训练】已知椭圆C: =1(ab0)的左,右焦点分别为F1,F2,A为上顶点,AF1F2为正三角形,以AF2为直径的圆与直线y=x+2相切.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点F2作斜率为k的直线l与椭圆交于M,N两点,在x轴上是否存在点P(m,0),使得=+时四边形PMQN为菱形,且点Q在椭圆C上?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知AF1F2为正三角形,由A(0,b),F2(c,0),得AF2的中点,点B到直线y=x+2的距离为解得a2=4,b2=3,所以椭圆C的标准方程为=1.(2)由(1)可知F2(1,0),设直线l的方程为y=k(x-1).联立方程,得整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=,则y1+y2=k(x1+x2-2)=,又=(x1-m,y1),=(x2-m,y2),所以=+=(x1+x2-2m,y1+y2)得5k4+16k2+12=0,因为5k4+16k2+120恒成立,故满足条件的点P(m,0)不存在.2.过x轴上动点A(a,0)引抛物线y=x2+1的两条切线AP,AQ.切线斜率分别为k1和k2,切点分别为P,Q.(1)求证:k1k2为定值,并且直线PQ过定点.(2)记S为面积,当最小时,求的值.【解析】(1)方法一:设过A点的直线为:y=k(x-a),与抛物线联立得得x2-kx+ka+1=0,=k2-4ak-4=0,所以k1+k2=4a,k1k2=-4为定值.抛物线方程y=x2+1,求导得y=2x,设切点P,Q的坐标分别为(xP,yP),(xQ,yQ),k1=2xP,k2=2xQ,所以xP+xQ=2a,xPxQ=-1.直线PQ的方程:y-yP=(x-xP),由yP=+1,yQ=+1,得到y=(xP+xQ)x-xPxQ+1,整理可得y=2xa+2,所以直线PQ过定点(0,2).方法二:设切点P,Q的坐标分别为(xP,yP),(xQ,yQ),求导得y=2x,所以lAP:y=2xP(x-a),(xP,yP)在直线上,即yP=2xP(xP-a),由P(xP,yP)在抛物线方程上得yP=+1,整理可得yP=2xPa+2,同理yQ=2xQa+2,所以lQP:y=2xa+2,所以直线PQ过定点(0,2).联立PQ的直线方程lQP:y=2xa+2和抛物线方程y=x2+1,可得:x2-2xa-1=0.所以xPxQ=-1,xP+xQ=2a,所以k1k2=2xP2xQ=-4为定值.(2)设A到PQ的距离为d.当且仅当t=时取等号,即a=.因为=(xP-a,yP)(xQ-a,yQ)=xPxQ-a(xP+xQ)+a2+yPyQ,yPyQ=(2xPa+2)(2xQa+2)=4a2xPxQ+4+4a(xP+xQ)=4a2+4,所以=3a2+3=.3.(xx郑州模拟)如图,已知抛物线C:y2=2px和M:(x-4)2+y2=1,圆心点M到抛物线C的准线的距离为.过抛物线C上一点H(x0,y0)(y01)作两条直线分别与M相切于A,B两点,与抛物线C交于E,F两点.(1)求抛物线C的方程.(2)当AHB的角平分线垂直x轴时,求直线EF的斜率.(3)若直线AB在y轴上的截距为t,求t的最小值.【解题提示】(1)由题意列方程,求出p的值,即可得抛物线C的方程.(2)联立直线与抛物线的方程得E,F的坐标,再利用直线的斜率公式得出结论.(3)方法一:设出点A,B的坐标,由点斜式求出直线HA,HB的方程,进而得到直线AB的方程,令x=0,求出纵截距t的表达式,由函数单调性求出t的最小值.方法二:连接HM,求出以H为圆心,HA为半径的圆的方程,进而可得直线AB的方程,令x=0,求出纵截距t的表达式,由函数单调性求出t的最小值.【解析】(1)由题意知M的圆心M的坐标为(4,0),半径为1,抛物线C的准线方程为x=-,因为圆心M到抛物线C的准线的距离为,所以,所以抛物线C的方程为y2=x.(2)因为AHB的角平分线垂直于x轴,所以点H(4,2),所以AHB=60,可得kHA=,kHB=-,所以直线HA的方程为y=x-4+2,(3)方法一:由题意可设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),连接MA,MB,则,因为HA,HB是M的切线,所以HAMA,HBMB,所以,所以直线HA,HB的方程分别为(4-x1)x-y1y+4x1-15=0,(4-x2)x-y2y+4x2-15=0,又点H在抛物线上,有=x0,所以点H的坐标为(,y0)(y01),分别代入直线HA,HB的方程得(4-x1)-y1y0+4x1-15=0,(4-x2)-y2y0+4x2-15=0,可整理为(4-)x1-y0y1+4-15=0,(4-)x2-y0y2+4-15=0,从而可求得直线AB的方程为(4-)x-y0y+4-15=0,令x=0,得直线AB在y轴上的截距 (y01),考虑到函数f(x)=4x-(x1)为单调递增函数,所以tmin=41-=-11.方法二:连接HM,由(1)知设点H(,y0)(y01),则HM2=-7+16,HA2=-7+15.以H为圆心,HA为半径的圆的方程为(x-)2+(y-y0)2=-7+15,又M的方程为(x-4)2+y2=1.-得:直线AB的方程为(2x-4)(4-)-(2y-y0)y0=-7+14.当x=0时,直线AB在y轴上的截距t=4y0-(y01),因为t关于y0的函数在1,+)上单调递增,所以tmin=-11.4.(xx西安模拟)已知椭圆C: =1(ab0)经过点,离心率为.(1)求椭圆C的方程.(2)直线y=k(x-1)(k0)与椭圆C交于A,B两点,点M是椭圆C的右顶点,直线AM与直线BM分别与y轴交于点P,Q,试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.【解析】(1)由题意得解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程是+y2=1.(2)以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点,由得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有又因为点M是椭圆C的右顶点,所以点M(2,0),由题意可知直线AM的方程为y=(x-2),故点.直线BM的方程为y=(x-2),故点Q若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点N(x0,0),则等价于=0恒成立,又因为(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4y1y2=k(x1-1)k(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2)+1即x轴上的定点为(,0)或(-,0).故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点(,0).5.已知椭圆C: =1(ab0)的离心率为,直线l1经过椭圆的上顶点A和右顶点B,并且和圆x2+y2=相切.(1)求椭圆C的方程.(2)设直线l2:y=kx+m与椭圆C相交于M,N两点,以线段OM,ON为邻边作平行四边形OMPN,其中顶点P在椭圆C上,O为坐标原点,求|OP|的取值范围.【解析】(1)由已知可得e2=,所以a2=4b2,即a=2b.又椭圆的上顶点A(0,b),右顶点B(a,0),所以直线l1的方程为=1,即x+2y-a=0.因为直线l1与圆x2+y2=相切,所以圆心(0,0)到直线l1的距离等于圆的半径,即,解得a=2,所以b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)将直线l2的方程和椭圆C的方程联立得消去y,化简整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,故=(8km)2-4(1+4k2)4(m2-1)=-16(m2-1-4k2)0,即4k2+1m2.设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),则由根与系数之间的关系可得x1+x2=,因为四边形OMPN为平行四边形,所以x0=x1+x2=,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=kx0+2m=,故点.由点P在椭圆上可得=1,整理得4m2(4k2+1)=(4k2+1)2,因为4k2+10,所以4m2=4k2+1,6.(xx太原模拟)抛物线C1:y2=4x的焦点与椭圆C2: =1(ab0)的一个焦点相同.设椭圆的右顶点为A,C1,C2在第一象限的交点为B,O为坐标原点,且OAB的面积为a.(1)求椭圆C2的标准方程.(2)过A点作直线l交C1于C,D两点,连接OC,OD分别交C2于E,F两点,记OEF,OCD的面积分别为S1,S2.问:是否存在上述直线l使得S2=3S1,若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为y2=4x,所以焦点F(1,0),所以c=1,即a2=1+b2.又SOAB=|OA|yB=a,所以yB=.代入抛物线方程得B.又B点在椭圆上,得b2=3,a2=4,所以椭圆C2的标准方程为=1.(2)假设存在满足题意的直线l,设直线l的方程为x=my+2,由,得y2-4my-8=0.设C(x1,y1),D(x2,y2),E(xE,yE),F(xF,yF),则y1+y2=4m,y1y2=-8,所以48m2=-40,故不存在直线l使得S2=3S1.【加固训练】如图,已知椭圆C: =1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,其上顶点为A.已知F1AF2是边长为2的正三角形.(1)求椭圆C的方程.(2)过点Q(-4,0)任作一动直线l交椭圆C于M,N两点,记=.若在线段MN上取一点R,使得=-,当直线l运动时,点R在某一定直线上运动,求出该定直线的方程.【解析】(1)因为F1AF2是边长为2的正三角形,所以c=1,a=2,b=,所以,椭圆C的方程为=1.(2)由题意知,直线MN的斜率必存在,设其方程为y=k(x+4).并设M(x1,y1),N(x2,y2),由,消去y得(3+4k2)x2+32k2x+64k2-12=0,由=得-4-x1=(x2+4),故=.设点R的坐标为(x0,y0),则由=-得x0-x1=-(x2-x0),故点R在定直线x=-1上.