2019-2020年高考数学大一轮复习 第九章 第50课 线面平行与面面平行要点导学.doc

2019-2020年高考数学大一轮复习 第九章 第50课 线面平行与面面平行要点导学线面平行的判定与证明 如图(1),在等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图(2)所示的三棱锥A-BCF,求证:DE平面BCF. 图(1) 图(2)(例1)思维引导将平面图形折成空间图形要弄清折前折后不变的关系,如=.证明在等边三角形ABC中,AD=AE,所以=,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,所以DEBC.因为DE平面BCF,BC平面BCF,所以DE平面BCF.(xx山东卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,AP平面PCD,ADBC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点,求证:AP平面BEF.(变式1)证明设ACBE=O,连接OF,CE.由于E为AD的中点,AB=BC=AD,ADBC.所以AEBC,AE=AB=BC,因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点.又F为PC的中点,因此在PAC中,APOF.又OF平面BEF,AP平面BEF,所以AP平面BEF.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,ADAB,CDAB,AB=2,CD=3,点M,N分别是PA,PB的中点.(变式2)(1) 求证:MN平面PCD;(2) 求证:四边形MNCD是直角梯形.证明(1) 因为点M,N分别是PA,PB的中点,所以MNAB.因为CDAB,所以MNCD.又因为CD 平面PCD,MN 平面PCD,所以MN平面PCD.(2) 因为MN=AB=1,ED=3,所以MNCD,又MNCD,所以四边形MNCD是梯形.因为ADAB,CDAB,所以CDAD,又因为PD底面ABCD,CD平面ABCD,所以CDPD,又ADPD=D,所以CD平面PAD.因为MD平面PAD,所以CDMD,所以四边形MNCD是直角梯形.线面平行的性质的应用(xx泰州模拟改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E是PC的中点,F为线段AC上一点.若EF平面PBD,求的值.(例2)思维引导通过线面平行的性质,将空间的问题转化到一个平面PAC中,通过EFPO来确定点F的位置,求出的值. 解答设ACBD=O,连接PO.因为EF平面PBD,底面ABCD是正方形,平面PBD平面PAC=PO,且EF平面PAC,所以EFPO,又E是PC的中点,所以OF=FC,AF=3FC,即=3.在空间四边形ABCD中,点E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA上,且四边形EFGH为平行四边形,求证:AC平面EFGH.(变式)证明如图,因为四边形EFGH是平行四边形,所以EFHG.又HG平面ACD,EF平面ACD,所以EF平面ACD.又EF平面ABC,平面ABC平面ADC=AC,所以EFAC.又EF平面EFGH,AC平面EFGH,所以AC平面EFGH.面面平行的判定(xx江苏模拟)如图,在四棱锥E-ABCD中,ABD为正三角形,EB=ED,且ABBC,M,N分别为线段AE,AB的中点,求证:平面DMN平面BEC.(例3)思维引导分别证MN平面BCE和BC平面BCE,再利用面面平行的性质定理进行证明.证明因为N是AB的中点,ABD为正三角形,所以DNAB.因为BCAB,所以DNBC.因为BC平面BCE,DN平面BCE,所以BC平面BCE.又因为M为AE的中点,所以MNBE.因为MN平面BCE,BE平面BCE,所以MN平面BCE,因为MNDN=N,所以平面MND平面BCE.精要点评在利用面面平行的性质定理进行证明时,不能直接根据DNBC 和MNBE得出平面DMN平面BEC.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,Q分别是AA1,BB1,B1C1的中点,求证:平面ABC1平面MNQ.(变式)证明在B1BC1中,因为N,Q分别为B1B,B1C1的中点,所以QNBC1,又因为QN平面ABC1,BC1平面ABC1,所以QN平面ABC1.在矩形A1B1BA中,因为M,N分别为AA1,BB1的中点,所以MNAB,又MN平面ABC1,AB平面ABC1,所以MN平面ABC1.又因为QNMN=N,QN,MN平面MNQ,所以平面MNQ平面ABC1.直线与平面平行的探索问题(xx四川卷)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面A1MC?请证明你的结论.(例4)思维引导对于求某个特殊位置上的点这类问题,一种办法是由猜想定下点的位置,后证明;另一种办法是可先假定存在这个点,然后再根据点的特点找到这个点所满足的条件.解答线段AB上存在点M,且M为AB的中点,使得直线DE平面A1MC.证明如下:取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,连接MD,OE,OM.设O为A1C,AC1的交点,则MD,OE分别为ABC,ACC1的中位线,所以MDAC,且MD=AC,OEAC,且OE=AC,所以MDOE.从而四边形MDEO为平行四边形,所以DEMO.因为直线DE平面A1MC,MO平面A1MC,所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在点M,使得直线DE平面A1MC.精要点评“探索”在于由未知到已知,由变化到确定.找平行关系时多借助中点、中位线、平行四边形等图形,此题的本质仍是线与面的平行关系.(xx蚌埠模拟)在如图所示的几何体中,平面CDEF为正方形,平面ABCD为等腰梯形,ABCD,AC=,AB=2BC=2,ACFB.(变式)(1) 求证:AC平面FBC.(2) 线段AC上是否存在点M,使EA平面FDM?并证明你的结论.解答(1) 在ABC中,AC=,AB=2,BC=1,所以ACBC.又因为 ACFB,BCFB=B,所以AC平面FBC.(2) 线段AC上存在点M,且M为AC中点时,有EA 平面FDM.证明如下:连接CE,与DF交于点N,连接MN.因为CDEF为正方形,所以N为CE中点,所以 EAMN.因为MN平面FDM,EA平面FDM,所以EA平面FDM.所以线段AC上存在点M,使得EA平面FDM.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,ACB=90,EA平面ABC,EFAB,FGBC,EGAC,AB=2EF.若M是线段AD的中点,求证:GM平面ABFE.(范题赏析)思维引导要证明直线GM与平面ABFE平行,就要在平面ABFE内找到一条直线与GM平行.本题可以考虑构造四边形AMGF,然后再证明其为平行四边形即可.规范答题连接AF,因为EFAB,FGBC,EGAC,所以ABCEFG.(4分)由AB=2EF,得BC=2FG.所以FGBC,则FG=BC. (6分)在平行四边形ABCD中,M是线段AD的中点,所以AMBC,且AM=BC. (8分)所以FGAM,且FG=AM,所以四边形AFGM为平行四边形,所以GMFA.(10分)又FA平面ABFE,GM平面ABFE,所以GM平面ABFE.(14分)1. 平面内的两条直线a,b都平行于平面,则和的位置关系是.答案平行或相交2. 若直线ab,a平面,则直线b与平面的位置关系为.答案b或b解析很容易漏掉b的情况,这一点很值得注意.3. (xx泰州中学模拟)给出下列命题:如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;如果两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直;如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,真命题有.(填序号)答案解析由面面垂直的判定定理可知正确;如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行,但若是两条平行直线,得不到平面平行,故错误;根据空间直线夹角的定义,可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等,故若两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直,即正确;根据面面垂直的性质定理,若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,故正确.4. (xx济南期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,AA1=AB=2,点E是线段AB上的动点,点M为D1C的中点.若点E是AB的中点,求证:直线ME平面ADD1A1.(第4题)证明取DD1的中点N,连接MN,AN,则MNCD,且MN=CD,AECD,且AE=CD,所以MNAE,所以四边形MNAE为平行四边形,故MEAN.因为AN平面ADD1A1,ME平面ADD1A1,所以ME平面AD1.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第99-100页).