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3.4二次函数,中考数学(北京专用),2014-2018年北京中考题组,五年中考,1.(2018北京,7,2分)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a0).下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为()A.10mB.15mC.20mD.22.5m,答案B由题图中给出的点可知,抛物线的最高点的横坐标在0到20之间.若最高点的横坐标为10,由对称性可知,(0,54.0)关于对称轴的对称点为(20,54.0),而54.00.与y轴交于点(0,1),c=1.满足题设条件的一个抛物线的解析式为y=x2+1,答案不唯一.,考点一二次函数的图象与性质,教师专用题组,1.(2018湖北黄冈,6,3分)当axa+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为()A.-1B.2C.0或2D.-1或2,答案Dy=x2-2x+1=(x-1)2,当a1时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而增大,其最小值为a2-2a+1,则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+11,即a0时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而减小,其最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去).当0a1时,函数y=x2-2x+1在x=1处取得最小值,最小值为0,不合题意.综上,a的值为-1或2,故选D.,2.(2018四川成都,10,3分)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是()A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x0,解得a1,又根据抛物线顶点坐标公式可得-=-0,=0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C.,4.(2018河北,16,2分)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0x3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整数,确定所有c的值.”甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或4,则()A.甲的结果正确B.乙的结果正确C.甲、乙的结果合在一起才正确D.甲、乙的结果合在一起也不正确,答案D抛物线L:y=-x(x-3)+c(0x3)可以看作抛物线y=-x(x-3)(0x3)沿y轴向上平移c个单位形成的,一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0x3)与直线l:y=x+2有唯一公共点可以看作直线l:y=x+2沿y轴向下平移c个单位形成的直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0x3)有唯一公共点.当直线y=x+2-c(即l2)经过原点时,0+2-c=0,c=2;当直线y=x+2-c(即l3)经过点A(3,0)时,3+2-c=0,c=5,根据图象可得当2c5时,直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0x3)有唯一公共点,即一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0x3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.显然c=3,4,5.当直线y=x+2-c为图中l1时,直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0x3)有唯一公共点.令-x(x-3)=x+2-c,得x2-2x+2-c=0,=4-4(2-c)=0,解得c=1.因此甲、乙的结果合在一起也不正确,故选D.,归纳总结数形结合思想主要指的是数与形之间的一一对应关系,就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.,5.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下列结论:抛物线经过点(1,0);方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;-3a+b0.a0.把点(-1,0),(0,3)分别代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,b=a+3,a=b-3.-3a0,0b3.-3a+b3.故正确.故选C.,思路分析抛物线经过点(-1,0),其对称轴在y轴右侧,由对称性可以判断错误;由条件得抛物线开口向下,作直线y=2,直线与抛物线有两个交点,可判断正确;根据抛物线所经过的点及对称轴的位置,可判断正确,从而得结论.,解后反思本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与系数的关系,二次函数与一元二次方程的关系,不等式的性质等知识,a的符号决定抛物线的开口方向,-的符号决定抛物线对称轴的位置,c的值决定了抛物线与y轴的交点坐标.,6.(2018贵州贵阳,10,3分)已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象(如图所示).当直线y=-x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围是()A.-m3B.-m-2C.-2m3D.-6m-2,答案D易知抛物线y=-x2+x+6与x轴交于点(-2,0),(3,0),依题意知,新图象对应的函数解析式为y=如图,当直线y=-x+m经过点(-2,0)时,直线与新图象有3个交点,此时,m=-2.由方程组得x2-m-6=0,当该一元二次方程有两个相等的实数根时,=02-41(-m-6)=4m+24=0,解得m=-6,将m=-6代入方程组,解得方程组的解是故当直线y=-x+m经过点(0,-6)时,直线与新图象有3个交点,此时,m=-6.所以当-6m-2时,直线y=-x+m与新图象有4个交点,故选D.,思路分析画出直线y=-x,然后平移,判断直线y=-x+m与新图象有4个交点的临界位置:一是直线经过点(-2,0),求得m=-2;二是直线与抛物线y=x2-x-6(-2x3)相切,这时,方程组只有一组解,即方程x2-m-6=0有两个相等的实数根,令根的判别式等于0,可以求得m=-6.结合图象可知,当-6m-2时,直线y=-x+m与新图象有4个交点.,7.(2018呼和浩特,10,3分)若满足2成立,则实数m的取值范围是()A.m恒成立,只需抛物线与双曲线的交点的横坐标x即可,将x=代入y=,得y=4,将代入y=2x2-x-m,解得m=-4.抛物线越往上平移越符合题意,m-4.,解题关键解决本题的关键是要将不等式的问题转化为函数图象的问题来解决,同时要注意本题中二次函数的常数项为-m,所以最后在判断m的取值范围时不要写反.,8.(2017四川绵阳,10,3分)将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是()A.b8B.b-8C.b8D.b-8,答案D由题意可得,y=x2的图象经过两次平移后得到y=(x-3)2-1的图象.将代入得,x2-8x+8-b=0.因为抛物线与直线有公共点,所以=(-8)2-4(8-b)=4b+320,所以b-8,故选D.,9.(2017陕西,10,3分)已知抛物线y=x2-2mx-4(m0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M.若点M在这条抛物线上,则点M的坐标为()A.(1,-5)B.(3,-13)C.(2,-8)D.(4,-20),答案Cy=x2-2mx-4=(x-m)2-m2-4,则顶点M的坐标为(m,-m2-4),M的坐标为(-m,m2+4),点M在抛物线上,m2+2m2-4=m2+4,m2=4.m0,m=2,M(2,-8),故选C.,思路分析先配方求出抛物线的顶点M的坐标,根据对称性表示出点M的对称点M的坐标,由点M在抛物线上,可将M的坐标代入解析式求出m的值,进而求得点M的坐标.,10.(2016辽宁沈阳,10,2分)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示,点A(x1,y1),B(x2,y2)是该二次函数图象上的两点,其中-3x1y2C.y的最小值是-3D.y的最小值是-4,答案D二次函数y=x2+2x-3=(x+1)2-4图象的顶点坐标为(-1,-4).令x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1,则二次函数y=x2+2x-3的图象与x轴的两个交点为(-3,0),(1,0).由-3x10)过(-2,0),(2,3)两点,那么抛物线的对称轴()A.只能是x=-1B.可能是y轴C.在y轴右侧且在直线x=2的左侧D.在y轴左侧且在直线x=-2的右侧,答案D抛物线y=ax2+bx+c(a0)开口向上,过点(-2,0),(2,3),则抛物线与x轴的另一个交点一定在点(2,0)左侧,且在点(-2,0)右侧,设该交点为(m,0),则-2m2,对称轴为直线x=,故选项D正确.,16.(2015浙江宁波,11,4分)二次函数y=a(x-4)2-4(a0)的图象在2x3这一段位于x轴的下方,在6x7这一段位于x轴的上方,则a的值为()A.1B.-1C.2D.-2,答案A易知抛物线的对称轴为直线x=4.当2x3时,图象位于x轴下方,由对称性可知5x6这段图象也位于x轴下方,再由6x7这段图象位于x轴上方,可得抛物线一定经过点(6,0),将坐标代入函数表达式可得a=1.故选A.,一题多解二次函数y=a(x-4)2-4(a0)的图象在2x3这一段位于x轴的下方,在6x7这一段位于x轴的上方,当x=时,二次函数y=a(x-4)2-4(a0)的图象位于x轴的下方;当x=时,二次函数y=a(x-4)2-4(a0)的图象位于x轴的上方,a.结合各选项知a的值为1.故选A.,17.(2016山东青岛,12,3分)已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点,则c的值为.,答案,解析二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点,一元二次方程3x2+c=4x,即3x2-4x+c=0有两个相等的实数根,则有(-4)2-43c=0,解得c=.,18.(2015河南,12,3分)已知点A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是.,答案y2y1y3,解析A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在抛物线y=(x-2)2-1上,y1=3,y2=5-4,y3=15.5-4315,y2y1y3.,思路分析将三个点的坐标分别代入函数表达式中求出纵坐标,直接比较大小.,一题多解设A、B、C三点到抛物线对称轴的距离分别为d1、d2、d3.y=(x-2)2-1,对称轴为直线x=2,d1=2,d2=2-,d3=4,2-0,y2y1y3.,19.(2018云南,20,8分)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(0,3),B两点.(1)求b、c的值;(2)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点?若有,求公共点的坐标;若没有,请说明理由.,解析(1)二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(0,3)、B两点,解得b=,c=3.(4分)(2)y=-x2+bx+c=-x2+x+3.由-x2+x+3=0得x2-6x-16=0,解得x=-2或x=8.(6分)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,公共点的坐标为(-2,0),(8,0).(8分),思路分析(1)将A、B的坐标分别代入解析式,列方程组求得b、c.(2)由(1)得二次函数解析式,令y=0,解方程即可.,考查内容本题主要考查二次函数的性质及其与一元二次方程的关系,熟练地解方程(组)是解决本题的关键.,20.(2015浙江绍兴,21,10分)如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线.(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛物线的一个解析式.小敏写出了一个答案:y=2x2+3x-4.请你写出一个不同于小敏的答案;(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y=-x2+2bx+c+1,求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式.请你解答.,解析(1)不唯一,如y=x2-2x+2.(2)定点抛物线的顶点坐标为(b,c+b2+1),且-1+2b+c+1=1,c=1-2b,顶点纵坐标c+b2+1=2-2b+b2=(b-1)2+1,当b=1时,c+b2+1最小,抛物线顶点纵坐标的值最小,此时c=-1,抛物线的解析式为y=-x2+2x.,考点二二次函数的实际应用,1.(2018湖北武汉,15,3分)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t-t2.在飞机着陆滑行中,最后4s滑行的距离是m.,答案24,解析y=60t-t2=-(t-20)2+600,即t=20时,y取得最大值,即滑行距离达到最大,此时滑行距离是600m.当t=16时,y=6016-162=576,所以最后4s滑行的距离为600-576=24m.,2.(2018辽宁沈阳,15,3分)如图,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计),当AB=m时,矩形土地ABCD的面积最大.,答案150,解析四边形ABCD是矩形,ABCD,AB=CD,ADBC,AD=BC,又EFCD,四边形CDEF是平行四边形,EF=CD,设AB=x,则EF=CD=x,篱笆总长为900m,AD=BC=(0x300),S矩形ABCD=ABAD=x=-x2+450 x,当x=-=150m时,矩形土地ABCD的面积最大.,思路分析篱笆由AB、EF、CD、AD、BC五段构成,由矩形性质可得,AB=EF=CD,AD=BC,设AB=x,则AD可用含x的式子表示,从而矩形的面积也可用含x的式子表示,则利用矩形面积与x之间存在的函数关系可求面积最大值.,疑难突破当篱笆总长一定时,AD长随着AB的变化而变化,因此矩形面积与AB长之间存在着二次函数关系,问题即转化为求二次函数的最大值问题.,解后反思本题中,二次函数的最大值可以用配方法,也可以直接由顶点公式得到.但要注意,还需要考虑最大值点能否落在自变量的取值范围内.,3.(2015浙江温州,15,5分)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m,则能建成的饲养室总占地面积最大为m2.,答案75,解析设垂直于现有墙的一面墙长为xm,建成的饲养室总占地面积为ym2,则利用现有墙的长为(27+3-3x)m,y=x(30-3x)=-3x2+30 x=-3(x-5)2+75.-30,当x=5时,ymax=75,即能建成的饲养室总占地面积最大为75m2.,4.(2014浙江绍兴,13,5分)如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线.以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=-(x-6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是.,答案y=-(x+6)2+4,解析若选B点为坐标原点,则顶点坐标是(-6,4),a=-不变,则所求抛物线解析式为y=-(x+6)2+4.,5.(2018江西,21,9分)某乡镇实施产业扶贫,帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节,已知该蜜柚的成本价为8元/千克,投入市场销售时,调查市场行情,发现该蜜柚销售不会亏本,且每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大?最大利润是多少?(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克,该品种蜜柚的保质期为40天,根据(2)中获得最大利润的方式进行销售,能否销售完这批蜜柚?请说明理由.,解析(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k0),将(10,200)和(15,150)代入,得解得y与x的函数关系式为y=-10 x+300.由-10 x+3000,得x30,x的取值范围为8x30.(2)设该品种蜜柚定价为x元/千克时,每天销售获得的利润为W元,依题意,得W=(x-8)(-10 x+300)=-10(x-19)2+1210,-104.5,v乙7.5】,思路分析(1)把点A的坐标代入y=得出k值,设h=at2(a0),利用待定系数法即可求解;(2)根据题意分别用t表示x、y,再把t=(x-1)代入消去t得y与x之间的关系式,令13=-(x-1)2+18,解得x=6(舍去负值),进一步把x=6代入y=求出y=3,最后求得运动员与正下方滑道的竖直距离;(3)求出甲距x轴1.8米时的横坐标及用v乙表示的乙距x轴1.8米时的横坐标,根据题意列出不等式求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙的范围.,解题关键本题是函数的综合题,准确理解题意,梳理所涉及的变量,并熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.,方法指导利用二次函数解决实际问题:1.根据题目中直接给出或间接给出的变量关系得到符合题意的二次函数解析式;2.二次函数的应用题往往最终转化为计算函数值或自变量的值来解答.,8.(2018河南,21,10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系.关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如下表:,(注:日销售利润=日销售量(销售单价-成本单价)(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是元.当销售单价x=元时,日销售利润w最大,最大值是元;(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本.预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?,解析(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,k0,由题意得解得y关于x的函数解析式为y=-5x+600.(3分)当x=115时,m=-5115+600=25.(4分)(2)80;100;2000.(7分)(3)设该产品的成本单价为a元,由题意得(-590+600)(90-a)3750.解得a65.答:该产品的成本单价应不超过65元.(10分),思路分析(1)在表格中任选两对x,y的值,由待定系数法求得y关于x的函数解析式,把x=115代入求得m的值;(2)由85-875175=80,得成本单价,根据题意可求得w关于x的函数解析式,配方得解;(3)列出以a为未知数的一元一次不等式,解不等式即可.,易错警示解答第(2)问时,容易从表格中选取数值直接填空,造成错解,正确解法为:求出w关于x的解析式w=y(x-80)=-5(x-100)2+2000,根据实际意义得,当x=100时,得出w的最大值2000.,9.(2018贵州贵阳,22,10分)六盘水市梅花山国际滑雪场自建成以来,吸引了大批滑雪爱好者.一滑雪者从山坡滑下,测得滑行距离y(单位:m)与滑行时间x(单位:s)之间的关系可以近似地用二次函数来表示.现测得一组数据,如下表所示.,(1)根据表中数据求出二次函数的表达式.现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约为840米,他需要多少时间才能到达终点?(2)将得到的二次函数图象补充完整后,向左平移2个单位,再向下平移5个单位,求平移后所得图象对应的函数的表达式.,解析(1)设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a0),将(0,0)代入函数表达式,得c=0,所以y=ax2+bx.把(1,4),(2,12)代入上式,得解这个方程组,得所以,所求二次函数表达式为y=2x2+2x(x0).当y=840时,840=2x2+2x,解得x1=20,x2=-21(不符合题意,舍去),所以,他需要20s才能到达终点.(2)由y=2x2+2x,得y=2-,则该二次函数图象的顶点坐标为,所以,将y=2-的图象向左平移2个单位,再向下平移5个单位后所得图象的顶点坐标为,所以平移后所得图象对应的函数的表达式为y=2-或y=2x2+10 x+7.,10.(2018湖北黄冈,23,9分)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品,经分析发现月销售量y(万件)与月份x(月)的关系式为y=每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表:,(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式;(2)若月利润w(万元)=当月销售量y(元件)当月每件产品的利润z(元),求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式;(3)当x为何值时,月利润w有最大值?最大值为多少?,解析(1)根据表格可知,当1x10且x为整数时,z=-x+20;当11x12且x为整数时,z=10.z与x的关系式为z=或z=(2)当1x8且x为整数时,w=(-x+20)(x+4)=-x2+16x+80;当9x10且x为整数时,w=(-x+20)(-x+20)=x2-40 x+400;当11x12且x为整数时,w=10(-x+20)=-10 x+200,w与x的关系式为w=或w=(3)当1x8且x为整数时,w=-x2+16x+80=-(x-8)2+144,当x=8时,w有最大值,为144;当9x10且x为整数时,w=x2-40 x+400=(x-20)2,当x=9时,w有最大值,为121;当11x12且x为整数时,w=-10 x+200,当x=11时,w有最大值,为90.90121144,x=8时,w有最大值,为144.(或当1x8且x为整数时,w有最大值144;当x=9时,w=121;当x=10时,w=100;当x=11时,w=90;当x=12时,w=80),11.(2018呼和浩特,25,10分)某市计划在十二年内通过公租房建设,解决低收入人群的住房问题.已知前7年,每年竣工投入使用的公租房面积y(单位:百万平方米)与时间x(第x年)的关系构成一次函数(1x7且x为整数),且第一和第三年竣工投入使用的公租房面积分别为和百万平方米;后5年每年竣工投入使用的公租房面积y(单位:百万平方米)与时间x(第x年)的关系是y=-x+(7143.当x=3时,年租金最大,Wmax=1.47亿元.当x=3时,m=23+36=42.5842=2436元.老张这一年应交租金2436元.,解题关键解决本题的关键是要能从大量的文字信息中提取相关的已知条件,并能列出符合题意的表达式,进而借助二次函数的顶点式(配方法)求出相应的最值.,12.(2017安徽,22,12分)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:,(1)求y与x之间的函数表达式;(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本);(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?,解析(1)设y=kx+b(k0).由题意,得解得所求函数表达式为y=-2x+200.(4分)(2)W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280 x-8000.(7分)(3)W=-2x2+280 x-8000=-2(x-70)2+1800,其中40x80.-20,当40x0,0.不可能.(5分)(2)将n=1,x=120代入x=2n2-2kn+9(k+3),得120=2-2k+9k+27.解得k=13,将n=2,x=100代入x=2n2-26n+144也符合.k=13.(6分)由题意,得18=6+,求得x=50.,50=2n2-26n+144,即n2-13n+47=0.=(-13)2-41470,方程无实根.不存在.(9分)(3)第m个月的利润W=x(18-y)=18x-x=12(x-50)=24(m2-13m+47),第(m+1)个月的利润W=24(m+1)2-13(m+1)+47=24(m2-11m+35).若WW,W-W=48(6-m),m取最小1,W-W=240最大.若W0,y1随x的增大而增大.x200,当x=200时,y1取得最大值1180-200a.(4分)y2=-0.05x2+10 x-40=-0.05(x-100)2+460,而-0.050,当x0B.a0,b0,答案D由题目中给出的三个点,可以画出抛物线的示意图,如图所示.所以a0.故选D.,3.(2017北京顺义一模,9)在平面直角坐标系xOy中,如果抛物线y=2x2不动,而把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位,则在新坐标系下抛物线的表达式为()A.y=2(x+2)2-2B.y=2(x+2)2+2C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x-2)2+2,答案D若把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位,则抛物线的顶点坐标变为(2,2),则抛物线的表达式为y=2(x-2)2+2.故选D.,4.(2018北京大兴一模,11)请写出一个开口向下,并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式.,答案y=-x2+2x-1(答案不唯一),解析设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,因为抛物线开口向下,所以a0,由与y轴的交点坐标为(0,1),可知c=1.所以解析式可以是y=x2+1.答案不唯一.,7.(2016北京海淀一模,14)在下列函数:y=2x+1;y=x2+2x;y=;y=-3x中,与众不同的一个是(填序号),你的理由是.,答案;只有中函数的自变量取值范围不是全体实数(答案不唯一),解析所写理由只要能够支撑填写的结论即可.如:,只有是从左到右上升的直线;,只有的图象是从左到右先下降后上升;,只有中函数的自变量取值范围不是全体实数;,只有是从左到右下降的直线.,8.(2018北京丰台二模,20)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-4x+2m-1与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧).(1)求m的取值范围;(2)当m取最大整数时,求点A、B的坐标.,解析(1)抛物线y=x2-4x+2m-1与x轴有两个交点,方程x2-4x+2m-1=0有两个不等的实数根,=(-4)2-4(2m-1)0,m2,m1.,10.(2017北京东城一模,27)二次函数y=(m+2)x2-2(m+2)x-m+5,其中m+20.(1)求该二次函数的对称轴方程;(2)过动点C(0,n)作直线ly轴.当直线l与抛物线只有一个公共点时,求n与m的函数关系;若抛物线与x轴有两个交点,将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,当n=7时,直线l与新的图象恰好有三个公共点,求此时m的值;(3)若对于每一个给定的x的值,它所对应的函数值都不小于1,求m的取值范围.,解析(1)对称轴方程为x=-=1.(2)直线l与抛物线只有一个公共点,n=-2m+3.依题意可知:当-2m+3=-7时,直线l与新的图象恰好有三个公共点.m=5.(3)抛物线y=(m+2)x2-2(m+2)x-m+5的顶点坐标是(1,-2m+3).依题意可得解得m的取值范围是-20时,抛物线的顶点为(2,1),且过点(4,4),抛物线的解析式为y=x2-3x+4.当a0时,抛物线的顶点为(2,4),且过点(4,1),抛物线的解析式为y=-x2+3x+1.综上,抛物线的解析式为y=x2-3x+4或y=-x2+3x+1.,考点二二次函数的实际应用,1.(2017北京怀柔二模,26)某商品的进价为每件40元,当售价为每件60元时,每星期可卖出300件,现需降价处理,且经市场调查发现,每降价1元,每星期可多卖出20件,在确保盈利的前提下,解答下列问题:(1)若设每件降价x(x为整数)元,每星期售出商品的利润为y元,请写出x与y之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;(2)请画出上述函数的大致图象;(3)当降价多少元时,每星期的利润最大?最大利润是多少?小丽的解答过程如下:解:(1)根据题意,可列出表达式:y=(60-x)(300+20 x)-40(300+20 x),即y=-20 x2+100 x+6000.降价要确保盈利,4060-x60.解得0x20.(2)上述表达式的图象是抛物线的一部分,函数的大致图象如图:,(3)a=-200,当x=-=2.5时,y有最大值,y最大值=6125.所以,当降价2.5元时,每星期的利润最大,最大利润为6125元.老师看了小丽的解题过程,说小丽第(1)问的表达式是正确的,但自变量x的取值范围不准确.第(2)(3)问的答案,也都存在问题.请你就老师说的问题,进行探究,写出你认为(1)(2)(3)中正确的答案,或说明错误原因.,解析(1)自变量x的取值范围是0x20,且x为整数.(2)函数图象不能为实线,是图象中,当x=0,1,2,3,4,5,19时,对应的20个点.如图:(3)若x只取正整数,则x不能取2.5,结果就不是6125元,显然,只有当x=2或3时,y有最大值,y最大值=6120,即当降价2元或3元时,每星期的利润最大,最大利润为6120元.,2.(2016北京石景山二模,22)为了促进旅游业的发展,某市新建一座景观桥.桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分,桥面AB可视为水平线段,桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接,拱肋的跨度AB为40米,桥拱的最大高度CD为16米(不考虑灯杆和拱肋的粗细),求与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度.,解析建立如图所示的坐标系.设抛物线的表达式为y=ax2+16(a0时,如图1.图1,A(0,2),要使0xP4时,始终满足yP2,只需使抛物线y=mx2-2m2x+2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧.m2.当m0时,如图2.图2此时,yP2恒成立.综上所述,m0或m2.,5.(2017北京门头沟一模,27)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=a(x+1)(x-3)与x轴交于A,B两点,点A在点B的左侧,抛物线的顶点为P,规定:抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”(不包含边界).(1)如果该抛物线经过(1,3),求a的值,并指出此时“G区域”有个整数点;(整数点就是横纵坐标均为整数的点)(2)求抛物线y=a(x+1)(x-3)的顶点P的坐标(用含a的代数式表示);(3)在(2)的条件下,如果G区域中仅有4个整数点,直接写出a的取值范围.,备用图,解析(1)3=a(1+1)(1-3),解得a=-.此时“G区域”内共有6个整数点.(2)由y=a(x+1)(x-3)配方得y=a(x-1)2-4a.所以顶点P的坐标为(1,-4a).(3)当a0时,a,如图2.,图1,图2,6.(2016北京海淀一模,27)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx+m-4(m0)的顶点为A,与x轴交于B,C两点(点B在点C左侧),与y轴交于点D.(1)求点A的坐标;(2)若BC=4.求抛物线的解析式;将抛物线在C,D之间的部分记为图象G(包含C,D两点).若过点A的直线y=kx+b(k0)与图象G有两个交点,结合函数的图象,求k的取值范围.,解析(1)y=mx2-2mx+m-4=m(x2-2x+1)-4=m(x-1)2-4.点A的坐标为(1,-4).(2)由(1)得,抛物线的对称轴为直线x=1.抛物线与x轴交于B,C两点(点B在点C左侧),BC=4,点B的坐标为(-1,0),点C的坐标为(3,0).,m+2m+m-4=0,m=1.抛物线的解析式为y=x2-2x-3.,由可得点D的坐标为(0,-3).当直线过点A,D时,解得k=-1.当直线过点A,C时,解得k=2.结合函数的图象可知,k的取值范围为-1k0或0k2.,7.(2016北京西城二模,27)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:y1=ax2-4ax-4的顶点在x轴上,直线l:y2=-x+5与x轴交于点A.(1)求抛物线C1:y1=ax2-4ax-4的表达式及其顶点坐标;(2)点B是线段OA上的一个动点,且点B的坐标为(t,0).过点B作直线BDx轴交直线l于点D,交抛物线C2:y3=ax2-4ax-4+t于点E.设点D的纵坐标为m,点E的纵坐标为n,求证:mn;(3)在(2)的条件下,若抛物线C2:y3=ax2-4ax-4+t与线段BD有公共点,结合函数的图象,求t的取值范围.,解析(1)抛物线C1:y1=ax2-4ax-4的对称轴为直线x=-=2.抛物线C1的顶点在x轴上,它的顶点坐标为(2,0).当x=2时,y=4a-8a-4=0,a=-1.抛物线C1的表达式为y1=-x2+4x-4.(2)证明:点B的坐标为(t,0),且直线BDx轴交直线l:y2=-x+5于点D,点D的坐标为(t,-t+5).直线BD交抛物线C2:y3=-x2+4x-4+t于点E,点E的坐标为(t,-t2+5t-4).m-n=(-t+5)-(-t2+5t-4)=t2-6t+9=(t-3)20,mn.(3)抛物线C2:y3=-x2+4x-4+t与线段BD有公共点,点E应在线段BD上.由(2)可知,点D要么与点E重合,要么在点E的上方,只需n0,即-t2+5t-40.当-t2+5t-4=0时,解得t=1或t=4.,结合函数y=-t2+5t-4的图象可知,符合题意的t的取值范围是1t4.,
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