隐函数和隐函数组.ppt

4条件极值,条件极值问题的特点是:极值点的搜索范围要受到各自不同条件的限制.解决这类极值问题的方法叫做拉格朗日乘数法.,三、应用举例,返回,一、问题引入,二、拉格朗日乘数法,条件极值问题的实际应用非常广泛,而且还能用来证明或建立不等式.,一、问题引入,很多极值问题,目标函数的自变量不能在其定义,域上自由变化,而是要受到某些条件的约束.,例1要设计一个容积为V的长方形无盖水箱,试,问长、宽、高各等于多少时,可使得表面积达到,最小?,若设长、宽、高各等于x,y,z,则,目标函数:,约束条件:,例2设曲线求此曲线上,的点到原点距离之最大、最小值.对此问题有,目标函数:,约束条件:,还可举出很多这种带有约束条件的极值问题.,定义设目标函数为,约束条件为如下一组方程:,为简便起见,记并设,若存在,则称是在约束条件之下的极小值,(或最小值),称是相应的极小值点(或最小值,点).类似地又可定义条件极大(或最大)值.,二、拉格朗日乘数法,拉格朗日乘数法探源先从n=2,m=1的最简,情形说起,即设目标函数与约束条件分别为,若由确定了隐函数则使得目,标函数成为一元函数再由,求出稳定点在此点处满足,这表示的等值线,1812).由此推知:,这又表示:对于函数,在点处恰好满足:,也就是说,(2)式是函数在其极值点处所,满足的必要条件.由此产生了一个重要思想:,通过引入辅助函数把条件极值问题(1),转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.,(B)拉格朗日乘数法对于前面定义中所设的一般,目标函数和约束条件组,应引入辅助函数,称此函数为拉格朗日函数,其中称,为拉格朗日乘数.,定理18.6设上述条件极值问题中的函数,在区域D上有连续一阶偏导数.若,D的内点是该条件极值问,题的极值点,且,则存在m个常数使得,个方程的解:,说明对于n=2,m=1的情形,已在前面作了说,明;对一般情形的证明,将放到二十三章的定理,23.19中去进行.,为拉格朗日函数(3)的稳定点,即它是如下,三、应用举例,定理18.6指出的方法称为拉格朗日乘数法.下面,用这种方法先来求解本节开头给出的两个例题.,例1解此例以往的解法是从条件式解出显函数,例如代入目标函数后,转而求解,的普通极值问题.可是这样做并不总是方便的,而,且往往无法将条件式作显化处理,更不用说多个条,件式的情形了.现在的新办法是设辅助函数,并求解以下方程组:,为消去,将前三式分别乘以x,y,z,则得,两两相减后立即得出再代入第四式,便求得,注由以上结果还可以得到一个不等式(这是获得,不等式的一种好方法).那就是具体算出目标函数,(表面积)的最小值:,去V后便得不等式,例2解这里有两个条件式,需要引入两个拉格朗,日常数;而且为了方便计算,把目标函数改取距离,于是有其中消,的平方(这是等价的),即设,求解以下方程组:,由此又得再代入条件,式,继而求得:(这里否则将无解),最后得到,故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分,别为,例3已知圆柱面,它与平面相交得一椭圆,试求此椭,圆的面积.,分析(i)如果能求得该椭圆的长、短半轴a与b,则椭圆面积为,(ii)由方程(4)看到,此圆柱面关于坐标原点是对,称的,故此圆柱面的中心轴是通过坐标原点的某,一直线;,(iii)因为所给平面也是通过坐标原点的,所以此,平面上的椭圆截线必以坐标原点为其中心点.,解由以上分析,自原点至椭圆上任意点(x,y,z),的距离之最大、小值，就是该,椭圆的长、短半轴.(说明:本例的题型与例2相,类似,但在具体计算策略上将有较大差异.),设拉格朗日函数为,并令,对(5),(6),(7)三式分别乘以x,y,z后相加,得到,借助(8),(9)两式进行化简,又得,这说明的极值就是这里的(即的极值就是,),问题便转而去计算为此先从(5)(8)式,消去得到一个线性方程组:,它有非零解(x,y,z)的充要条件是,由前面讨论知道,方程(10)的两个根就是,的最大、小值,即于是,说明(i)一旦由方程(5)(9)能直接求得椭圆的,长、短半轴,那就不必再去计算椭圆的顶点坐标,(x,y,z)了,这使解题过程简单了许多.,(ii)若用解析几何方法来处理本例的问题,则需要,出纬圆半径和纬圆面积还有平面,的法线与l夹角的余弦,然后根据面积投影关系最后求得椭圆,先求出圆柱面的中心轴所在直线l:再求,面积为,例4设光滑封闭曲线,证明:上任意两个相距最远点,处的切线互相平行,且垂直于这,两点间的连线(见图1813).,证由于是光滑封闭曲线,所以满足:,(i)F在一个包含的开域内有连续的一阶偏导数,且,(ii)在上必有相距最远的点.,设为上相距最远的两点,则点为目标函数,在约束条件,之下的极大值点.于是由拉格朗日乘数法,存在,成为拉格朗日函数,的稳定点.从而满足,由前两式与后两式分别得到,前者表示后者表,示所以在,两点处的切线互相平行,且垂直于,*例5试求函数,在条件下的最小值,并由此导出相,应的不等式.,解设,并使,由此方程组易得,都使得故存在,又设,由于为一有界闭集,为连续函数,因此在,上存在最大值和最小值.而在及上,f的值已大于故f在S上的最小值必在,的内部取得.又因内部只有惟一可疑点,所以必定有,最后,在不等式,中,用代入,就得到一个新的不等式:,经整理后,就是“调和平均不大于几何平均”这个,著名的不等式:,*例6利用条件极值方法证明不等式,由前三式解出代入第四式后得到,稳定点,下面来说明这个稳定点必定是条件最大值点.,为简单起见,考虑在,上的情形.由于为有界闭集,为连续函数,因,此在上存在最大、小值.首先,显然有,这在上(x=0,或y=0,或z=0)取得.而,故有,由此得到不等式,又因在上满足把它代入上式,就,证得,注1在用条件极值方法证明不等式时,设置合适,的目标函数与约束条件是解决问题的关键.对于,本例来说,也可把上面的条件极大值问题改述为,条件极小值问题:求目标函数,在条件约束之下的极小值.,一个问题的这两种处理形式,俗称为目标函数与约,束条件在形式上的对偶性.前面例5和课本下册,p.168上的例3同样也是对偶问题.有关对偶性问,题的确切提法,请参阅后面复习思考题的第3题.,注2如何判断所得稳定点是条件极大(小)值点?,这有多种方法可供选用.例5与例6提供了两种常,用的说理方式;课本下册p.168例3通过计算黑赛,矩阵,用极值的充分条件去判别,只是计算过程十,分繁琐,不如例5的做法更加理性(这是利用对偶,性带来的好处).此外,很多实际问题还可借助实,际意义说明所作判断的合理性.,复习思考题,则有如下命题:,4.例6论述稳定点是条件极值点的方法能否适用,于例5?请说出理由.,