2019-2020年高考数学一轮复习 6.7数学归纳法课时作业 理 湘教版.doc

2019-2020年高考数学一轮复习 6.7数学归纳法课时作业 理 湘教版一、选择题1.（xx烟台高三模拟）用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从nk到nk1，左边需增添的代数式是( )A.2k2 B.2k3C.2k1 D.(2k2)(2k3)【解析】当nk时，左边是共有2k1个连续自然数相加，即123(2k1)，所以当nk1时，左边是共有2k3个连续自然数相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)，故选D.【答案】D2.（xx安庆模拟）由数学归纳法证明不等式+（n2,nN）的过程，由n=k到n=k+1时，左边增加了（）A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项【解析】当n=k，左边=，当n=k+1时，左边=，故增加了项选C.【答案】C3设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立C若f(7)k2成立D若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立【解析】对于A，f(3)9，加上题设可推出当k3时，均有f(k)k2成立，故A错误对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误对于C，没有奠基部分，即没有f(8)82，故C错误对于D，f(4)2542，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.【答案】D4一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去则第n个图共挖去小正方形 ( )A(8n1)个 B(8n1)个C.(8n1)个 D. (8n1)个【解析】第1个图挖去1个，第2个图挖去18个，第3个图挖去1882个第n个图挖去18828n1个【答案】C5.下列代数式(其中kN*)能被9整除的是 （）A.6+67kB.2+7k-1C.2（2+7k+1)D.3（2+7k）【解析】 （1）当k=1时，显然只有3（2+7k）能被9整除.(2)假设当k=n(nN*)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36.36能被9整除.这就是说,k=n+1时命题也成立.由(1)(2)可知,命题对任何kN*都成立.【答案】D6.已知1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c对一切nN*都成立,则a、b、c的值为 （）A.a=,b=c=B.a=b=c=C.a=0,b=c=D.不存在这样的a、b、c【解析】 等式对一切nN*均成立,n=1，2，3时等式成立，即 整理得解得a=12,b=c=.【答案】A二、填空题7.已知f(n)=1+(nN*)，用数学归纳法证明f(2n)时，f(2k+1)-f(2k)= .【解析】 f(2k+1)=1+，f（2k）=1+，f(2k+1)-f(2k)=+.【答案】+8如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1、A1A2，A2A3是分别以A、B、C为圆心，AC、BA1、CA2为半径画的圆弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈然后又以A为圆心，AA3为半径画圆弧这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln为.【解析】由条件知CA1，A1A2，A2A3，An1An对应的中心角都是，且半径依次为1,2,3,4，故弧长依次为，2，3，据题意，第一圈长度为 (123)，第二圈长度为 (456)，第n圈长度为(3n2)(3n1)3n，故ln (1233n)(3n2n).【答案】(3n2n)9.在各项为正数的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn=,则a3=,猜想数列an的通项公式为 .【解析】 由Sn=可计算出a1=1,a2=-1,a3=-.由a1,a2,a3可归纳猜想出an=-.【答案】-10.已知当n=1时，有（a-b）（a+b）=a2-b2,当n=2时，有（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3，当n=3时，有（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4 ，当nN*时，你能得到的结论是 .【答案】(a-b)(an+an-1b+abn-1+bn)=an+1bn+1三、解答题11.考察：1=11-4=-(1+2)1-4+9=1+2+31-4+9-16=-(1+2+3+4)猜想第n个等式并用数学归纳法给出证明【解析】 由已知各等式知：第n个等式是：.下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，左边=右边，故等式成立；（2）假设当n=k时等式成立，即有：.则当n=k+1时，故当n=k+1时，等式也成立由（1）（2）知：对于任意的nN*等式都成立，即猜想正确12(xx扬州模拟)已知在正项数列an中，对于一切的nN*均有anan+1成立(1)证明：数列an中的任意一项都小于1；(2)探究an与的大小，并证明你的结论【解析】(1)证明:由anan1，得an1an.因为在数列an中，an0，所以an10.所以an0.所以0an1.故数列an中的任意一项都小于1.(2)由(1)知0an1，即a1.那么a2a1，由此猜想：an，下面用数学归纳法证明：当n1时，显然成立；当nk时(k2，kN)时，假设猜想正确，即ak，那么ak1ak-故当nk1时，猜想也正确综上所述，对于一切nN*，都有an.13.数列an各项均为正数，Sn为其前n项的和，对于nN*，总有an，Sn，a2n成等差数列.（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项的和为Tn，数列Tn的前n项的和为Rn，求证：当n2时，Rn-1=n(Tn-1).（3）设An为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式Ana对一切nN*都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.【解析】 （1）由已知有2Sn=an+a2n.当n2时，2Sn-1=an-1+a2n-1,2Sn=an+a2n,两式想减有：2an=an-an-1+a2n-a2n-1,即an-an-1=1.又当n=1时，2a1=a1+a21a1=1,所以an=n.(2)由（1）得Tn=1+，Rn=T1+T2+T3+Tn.当n=2时，Rn-1=R1=T1=1，2（T2-1）=1，故当n=2时命题成立.假设n=k时成立，即Rk-1=k（Tk-1），则当n=k+1时，Rk=Rk-1+Tk=k(Tk-1)+Tk=(k+1)Tk-k=(k+1) =(k+1) =(k+1)(Tk+1-1),说明当n=k+1时命题也成立.(3)据已知An=，则g(n)=An=, =1.故g(n)单调递减，于是g(n)max=g(1)= .要使不等式Ana对一切nN*都成立只需a即可.