2019年高考数学新一轮复习 详细分类题库 考点25 数列求和及综合应用(文、理)(含详解13高考题) .doc

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2019年高考数学新一轮复习 详细分类题库 考点25 数列求和及综合应用(文、理)(含详解,13高考题)一、选择题1. (xx新课标高考理科12)设AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,若b1c1,b1c12a1,an1an,bn1,cn1,则( )A、Sn为递减数列B、Sn为递增数列C、S2n1为递增数列,S2n为递减数列D、S2n1为递减数列,S2n为递增数列【解析】选B.因为,所以,注意到,所以.于是中,边长为定值,另两边的长度之和为为定值.因为,所以,当时,有,即,于是的边的高随增大而增大,于是其面积为递增数列.二、填空题2.(xx新课标高考理科14)若数列的前项和,则的通项公式是_【解题指南】先利用S1=a1求出a1的值,再利用Sn-Sn-1=an求出通项公式an.【解析】由,解得,又,所以,得 ,所以数列是首项为1,公比为的等比数列.故数列的通项公式【答案】3. (xx湖南高考理科15)设为数列的前n项和,则(1)_;(2)_.【解题指南】(1) 令,代入 即可得到答案.(2)通过整理可发现当当为偶数时有,于是代入第(2)问的展开式即可得到答案.【解析】(1)因为,所以, ,即 , 把代入得.(2)因为当时,整理得,所以,当为偶数时,当为奇数时,所以,所以,所以当为偶数时,所以.【答案】(1) (2)4. (xx重庆高考理科12)已知是等差数列,公差,为其前项和,若、成等比数列,则 【解题指南】先根据、成等比数列求出数列的公差,然后根据公式求出.【解析】因为、成等1比数列, 所以,化简得因为,所以,故【答案】三、解答题5.(xx大纲版全国卷高考理科22)已知函数(I)若;(II)设数列【解析】(I),令,即,解得或若,则时, ,所以.若,则时,所以.综上的最小值为.(II)令,由(I)知,时,.即.取,则.于是.所以6.(xx浙江高考文科T19)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an.(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.【解题指南】(1)由a1,2a2+2,5a3成等比数列可以求得a1与d的关系,进而可求得d与an.(2)由d0,先判断该数列从第几项开始大于零,从第几项开始小于零,再根据等差数列前n项和的性质求解.【解析】(1)由题意得,5a3a1=(2a2+2)2,d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以an=-n+11或an=4n+6.(2)设数列an前n项和为Sn,因为d0,定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a1,a2,a3,满足an+1=f(an),nN*.(1)若a1=-c-2,求a2及a3.(2)求证:对任意nN*,an+1-anc.(3)是否存在a1,使得a1,a2,an,成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.【解析】(1)a2=2,a3=c+10.(2)f(x)=当an-c时,an+1-an=c+8c.当-c-4an-c时,an+1-an=2an+3c+82(-c-4)+3c+8=c;当an-2(-c-4)-c-8=c;所以,对任意nN*,an+1-anc.(3)由(2),结合c0,得an+1an,即an为无穷递增数列,又an为等差数列,所以存在正数M,当nM时,an-c,从而an+1=f(an)=an+c+8,由于an为等差数列,因此其公差d=c+8.若a1-c,所以an+1=f(an)=an+c+8,而a2=a1+c+8,故当a1=-c-8时,an为无穷等差数列,符合要求.若-c-4a1-c,则a2=f(a1)=3a1+3c+8,又a2=a1+d=a1+c+8,所以,3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=-c,舍去.若a1-c,则由ana1得到an+1=f(an)=an+c+8,从而an为无穷等差数列,符合要求.综上a1的取值集合为-c-8-c,+). 9.(xx上海高考文科T22)已知函数,无穷数列满足an+1=f(an),nN*(1)若a1=0,求a2,a3,a4;(2)若a10,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值.(3)是否存在a1,使得a1,a2,an成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.【解析】(1)a2=2,a3=0,a4=2.(2)a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|.当02时,a3=2-(a1-2)=4-a1,所以a1(4-a1)=(2-a1)2,得a1=2-(舍去)或a1=2+.综合得a1=1或a1=2+.(3)假设这样的等差数列存在,那么a2=2-|a1|,a3=2-|2-|a1|.由2a2=a1+a3得2-a1+|2-|a1|=2|a1|(*).以下分情况讨论:当a12时,由(*)得a1=0,与a12矛盾;当00,因此存在m2使得am=a1+2(m-1)2.此时d=am+1-am=2-|am|-ama1a9,求a1的取值范围.【解题指南】按等比中项列式,a3用通项表示,求出首项,第(2)问,直接按基本量列式求解.【解析】(1)因为数列an的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列,所以=1(a1+2),即-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2.(2)因为数列an的公差d=1,且S5a1a9,所以5a1+10+8a1,即+3a1-100,解得-5a12. 15.(xx广东高考理科19)设数列的前n项和为,已知,.(1)求的值;(2)求数列的通项公式;(3)证明:对一切正整数,有.【解题指南】本题以递推数列为背景,考查通项公式与前n项和的关系及不等式的证明,要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中,放缩的尺度要拿捏准确.【解析】(1)因为,在中令,可得;(2)由已知可得,即,则当时,可得,也就是,同除以可得,数列是公差为1的等差数列,且,所以,显然也满足,即所求通项公式为.(3)当时,结论成立;当时,结论成立;当时,则,即对一切,成立.16.(xx广东高考文科19)设各项均为正数的数列的前项和为,满足且构成等比数列(1) 证明:;(2) 求数列的通项公式;(3) 证明:对一切正整数,有【解题指南】本题以递推数列为背景,考查通项公式与前n项和的关系及不等式的证明,要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中,放缩的尺度要拿捏准确.【解析】(1)当时,因为,所以; (2)当时,因为,所以,当时,是公差的等差数列.因为构成等比数列,解得,由(1)可知,又因为,则是首项,公差的等差数列.数列的通项公式为.(3)17. (xx山东高考理科20)设等差数列an的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1() 求数列an的通项公式;() 设数列bn的前n项和Tn,且Tn+ = (为常数),令cn=b2n,(n).求数列cn的前n项和Rn.【解题指南】()先设出等差数列的首项和公差,然后根据可列方程组求得数列的通项公式;()先根据前n项和与通项的关系求出的通项公式,由cn=b2n求出的通项,再利用错位相减法求出Rn.【解析】()设等差数列的首项为,公差为d,由得解得,因此()由题意知,所以时,=故所以,则,两式相减得 整理得,所以 数列的前n项和.18. (xx山东高考文科20)设等差数列an的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1() 求数列an的通项公式;()设数列满足 ,求的前项和.【解题指南】()先设出等差数列的首项和公差,然后根据可列方程组求得数列的通项公式;()先根据求出bn的通项公式,再利用错位相减法求出Tn.【解析】()设等差数列的首项为,公差为d,由得解得,因此()由已知,当时,当时,所以,由()知,所以,又,两式相减得, ,所以.19. (xx陕西高考文科17)设Sn表示数列的前n项和. () 若是等差数列, 推导Sn的计算公式; () 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列,并证明你的结论. 【解题指南】倒序相加法推导等差数列的前n项和;利用推导的通项公式判断是否为等比数列.【解析】() 设公差为d,则,.() 是等比数列.证明如下:因为,又因为,所以当n1时,有因此,是首项1,公比的等比数列. 20. (xx新课标高考文科17)已知等差数列的前项和满足,.()求的通项公式;()求数列的前项和.【解题指南】()利用,求出等差数列的首项及公差,利用求出的通项公式;()将()中的通项公式,代入到中,利用裂项相消法求前项和.【解析】()设数列的公差为,则.由已知可得解得故的通项公式为.()由()知,从而数列的前项和为
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