2019-2020年高考《考试大纲》调研卷理科数学（第五模拟）试卷含解析.doc

2019-2020年高考考试大纲调研卷理科数学（第五模拟）试卷含解析一、填空题：共14题1已知复数z=(i为虚数单位),则复数z的模为.【答案】【解析】本题主要考查复数的相关概念及运算.求解时,先求得复数z,再确定其模或根据复数的模的性质直接求解.通解z=-+i,所以|z|=.优解因为z=,所以|z|=|=. 2某校对全校1800名学生进行体能测试,按50,60),60,70),70,80),80,90),90,100统计得到全校学生体能测试成绩(单位:分)的频率分布直方图(如图),若要用分层抽样的方法抽出100人进行详细调查,则抽出的学生的体能测试成绩在80分以上(包含80分)的有_人.【答案】30【解析】本题主要考查统计中的频率分布直方图、分层抽样等知识,考查考生运用所学知识解决相关问题的能力.求解时,先由频率分布直方图求出全校学生体能测试成绩在80分以上的人数,再利用分层抽样的方法求出抽出的学生的体能测试成绩在80分以上的人数.由题意得,成绩在80分以上的频率为(0.022+0.008)10=0.3,所以成绩在80分以上的学生人数为0.31 800=540.又用分层抽样的方法抽出100人,所以抽出的学生的体能测试成绩在80分以上的人数为540=30. 3设集合A满足aAa,b,c,d,则满足条件的集合A的个数为.【答案】7【解析】本题主要考查集合的相关概念,意在考查考生对子集、真子集的理解.求解本题时,先由条件确定集合A中可能包含的元素,再求出集合A的个数.根据子集的定义,可得集合A中必定含有a元素,而且含有a,b,c,d中的至多三个元素.因此,满足条件aAa,b,c,d的集合A有:a,a,b,a,c,a,d,a,b,c,a,c,d,a,b,d,共7个. 4一袋中装有10个大小、形状完全相同的黑球、红球和白球,其中有3个黑球,若从中随机摸出1个球,摸出红球的概率为0.2,则摸出白球的概率为.【答案】0.5【解析】本题主要考查概率的求解等知识,意在考查考生的阅读理解能力及计算能力.求解本题时,先确定袋中白球的个数,再求得摸出白球的概率,或利用对立事件的概率计算公式求解.通解设袋中红球的个数为x,则=0.2,所以x=2.又黑球共有3个,所以白球有5个,所以摸出白球的概率P=0.5.优解由题意得,随机摸出1个球,摸出黑球的概率为0.3.由对立事件的概率计算公式可得,摸出白球的概率为1-(0.2+0.3)=0.5. 5已知边长为1的正方形ABCD,=2+, 则|=.【答案】【解析】本题主要考查平面向量的线性运算、数量积、模等知识,意在考查考生的运算求解能力.求解本题的思路有两种:通解先求,再求|;优解利用数形结合,先作出向量,再利用几何意义求得|.通解由题意得,=4+4.又四边形ABCD是边长为1的正方形,所以,所以=0.又|=,|=,所以=42+2=10,所以|=.优解由题意作出=2+,如图所示,则|为边长分别为,2的矩形CFME的对角线的长,所以|=. 6已知双曲线C:-y2=1与直线l:x+ky+4=0,若直线l与双曲线C的一条渐近线平行,则双曲线C的右焦点到直线l的距离是.【答案】3【解析】本题主要考查双曲线的几何性质、直线平行的充要条件、点到直线的距离公式等相关知识,意在考查考生的运算求解能力.求解本题的思路就是先确定双曲线C的右焦点及k的值,再利用点到直线的距离公式求之.由题意得,双曲线C:-y2=1的右焦点F(2,0),其渐近线方程为y=x.又直线l:x+ky+4=0与双曲线C的一条渐近线平行,所以k=,所以直线l的方程为xy+4=0,所以双曲线C的右焦点到直线l的距离d=3. 7执行如图所示的算法流程图,则输出的k的值是.【答案】81【解析】本题主要考查算法流程图、等比数列的前n项和等知识,意在考查考生的阅读理解能力及运算能力.求解本题的关键是正确理解循环语句.由题意得,算法流程图的功能是求和,即S=1+3+32+33+3n.因为S=1+3+32+33+34=121,S0,若a1+a2+a100=500,则a50a51的最大值为.【答案】25【解析】本题主要考查等差数列的性质、通项公式、前n项和及基本不等式等知识,意在考查考生的转化与化归能力及运算能力.求解本题的思路:通解利用等差数列的基本量将a50a51化为关于公差d的二次函数,求解即可;优解先利用等差数列的性质求得a50+a51,再利用基本不等式求得a50a51的最大值.通解设等差数列an的公差为d(d0),由题意得,100a1+4 950d=500,所以a1=5-49.5d,所以a50a51=(a1+49d)(a1+50d)=(5-0.5d)(5+0.5d)=-0.25d2+25.又d0,所以当d=0时,a50a51有最大值25.优解由等差数列的性质知,项数和相等,则项的和也相等.所以50(a50+a51)=500,即a50+a51=10,所以由基本不等式得a50a51()2=25,当且仅当a50=a51时取等号,所以a50a51有最大值25. 10若函数f(x)=在(-,+)上单调,则实数a的取值范围是.【答案】(-1,0【解析】本题主要考查分段函数的单调性、指数函数的图象和性质、二次函数的图象和性质等知识,意在考查考生分析问题、解决问题的能力.求解本题需要注意的是对参数a进行分类讨论.当a=0时,显然满足题意.当a0时,由题意得,所以,无解.当a0时,由题意得,所以,所以-1a0.综上,实数a的取值范围为-10,y=0,由题意得x+2y2,-2x+3y1,而=3x-y,再利用线性规划知识求解.因为a,b,c都是正数,所以由题意设x=0,y=0,则x+2y2,-2x+3y1,而=3x-y,所以问题转化为线性规划问题.画出可行域如图中阴影部分所示.画出直线l03x-y=0,平移l0,当过点B(,)时,(3x-y)max=1,过点C(0,1)时,(3x-y)min-1,所以的取值范围为(-1,1 . 13已知P是直线x+y+3=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-4x-2y+4=0的切线,A,B是切点,C是圆心,则四边形PACB的面积的最小值是.【答案】【解析】本题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系等知识,意在考查考生综合运用知识解决问题的能力,特别是推理能力与运算能力.求解本题的关键是将直线与圆的位置关系问题转化为点到直线的距离问题.通解设点P(a,b),则a+b+3=0.由题意,圆x2+y2-4x-2y+4=0的圆心是C(2,1),半径为1.因为|PA|=|PB|,所以四边形PACB的面积S=(|PA|+|PB|)=|PA|,所以|PA|最小时,四边形PACB的面积最小.又|PA|=,所以|PC|最小时,|PA|最小.又|PC|=,所以当a=-1,b=-2时,|PC|有最小值3,所以|PA|的最小值为.所以四边形PACB的面积的最小值是.优解由题意,圆x2+y2-4x-2y+4=0的圆心是C(2,1),半径为1.因为|PA|=|PB|,所以四边形PACB的面积S=(|PA|+|PB|)=|PA|,所以|PA|最小时,四边形PACB的面积最小.又|PA|=,所以|PC|最小时,|PA|最小.又|PC|min=3,所以|PA|min=,所以四边形PACB的面积的最小值是. 14已知函数f(x)=2exln-kx(e=2.718 28是自然对数的底数)有两个不同的零点,则实数k的取值范围是.【答案】(e,+)【解析】本题考查函数的图象及零点等知识,考查考生的数形结合能力与运算求解能力.求解的关键是将原问题转化为两个函数的图象的交点问题.因为f(x)=2exln-kx,所以f(x)=ex-kx.令f(x)=0,得ex=kx,则函数f(x)有两个不同的零点等价于函数g(x)=ex的图象和直线y=kx有两个不同的交点.易知当k=0时,函数g(x)=ex的图象和直线y=kx没有交点,当k0.现考虑函数g(x)=ex的图象和直线y=kx相切时k的值,设切点为(x0,),因为g(x)=ex,所以切线的斜率k=,又k=,所以,解得x0=1,所以k=e.故要使函数g(x)=ex的图象和直线y=kx有两个不同的交点,则需ke. 二、解答题：共12题15设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,S为ABC的面积,满足S=(b2+c2-a2).(1)求角A;(2)若a=2,y=(1-)b+2c,求y的最大值.【答案】(1)因为S=(b2+c2-a2),由三角形的面积公式和余弦定理得,bcsinA=2bccosA,所以tanA=.又A(0,),所以A=.(2)由(1)可知,B(0,).由得,b=4sinB,c=4sinC=4sin(-B)=4(cosB+sinB)=2cosB+2sin B.又y=(1-)b+2c,所以y=(1-)4sinB+4cosB+4sinB=4sinB+4cosB=4sin(B+).又B(0,),所以B+(,),所以当B+,即B=时,y取得最大值4.【解析】本题主要考查正、余弦定理,三角函数的和、差角公式,三角函数的最值等知识,考查了运算能力及化归与转化能力.对于(1),先由题意并借助余弦定理求得tanA,再利用三角函数求得角A;对于(2),先由条件利用正弦定理将y=(1-)b+2c化为关于角B的三角函数,最后利用角的取值范围确定其最值.【备注】江苏省三角解答题的特点是短小精悍,正、余弦定理,三角恒等变换,三角函数的图象、性质等知识是高考对三角部分考查的重点,其中三角恒等变换是重中之重,将三角恒等变换与向量知识相结合命制成小综合题是近几年常见的考查形式.对于以三角形为背景的三角恒等变换,考生常常会忽视对角的取值范围的讨论而出现不必要的失误,因此要注意精确把握题意,准确计算.16已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=,AC=1,BC=2,D是CB1的中点,E是AB1的中点.(1)求证:DE平面A1B1C1;(2)求证:平面BDE平面ABB1A1.【答案】(1)因为D是CB1的中点,E是AB1的中点,所以DEAC.又在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACA1C1,所以DEA1C1.又DE平面A1B1C1,A1C1平面A1B1C1,所以DE平面A1B1C1.(2)因为AB=,AC=1,BC=2,所以AB2+AC2=BC2,所以三角形ABC是直角三角形,且ACAB.因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1平面ABC.又AC平面ABC,所以AA1AC.又由(1)得DEAC,所以DEAB,DEAA1.又ABAA1=A,AB、AA1平面ABB1A1,所以DE平面ABB1A1.又DE平面BDE,所以平面BDE平面ABB1A1.【解析】本题主要考查线面平行、面面垂直的判定等,考查考生的空间想象能力、推理论证能力.对于(1),先由条件证明DEAC,又ACA1C1,进而证明DEA1C1,再由线面平行的判定定理证明DE平面A1B1C1;对于(2),先由条件证明DE平面ABB1A1,再由面面垂直的判定定理证明平面BDE平面ABB1A1.【备注】根据新课程高考对立体几何的要求,解答题主要考查线线、线面、面面平行与垂直的证明,且多为中低档题.在复习中,要做到以下三点:一抓住重点,立体几何的重点是线线、线面、面面平行与垂直的证明及简单几何体的表面积、体积的计算,对于这两个重点,要强化训练,熟悉证明及求解的方法;二注重规范,包括语言规范、过程规范等,要加强针对性训练,做到没有遗漏;三提升能力,要在复习训练中,不断培养自己的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.17某空调制造公司有一条自动生产的流水线,价值约为a万元,现为了改善该流水线的生产能力,提高产品的增加值,需要进行全面的技术革新.经过市场调查,产品的增加值y(单位:万元)与技术革新投入的资金x(单位:万元)之间满足:y与(a-x)和x2的乘积成正比;当x=时,y=a3;x(0,其中m是正数.(1)求y关于x的表达式;(2)试问当技术革新投入多少万元时,产品的增加值y最大.【答案】(1)由题意可设y=f(x)=k(a-x)x2.因为当x=时,y=a3,所以k=8.所以y=f(x)=8(a-x)x2,x(0,其中m是正数.(2)因为f(x)=-24x2+16ax,所以由f(x)=0得,x=或x=0(舍去).当,即00恒成立,所以f(x)在(0,上是增函数,所以y的最大值为a3,这时x=.当,即m1时,若x(0,),则f(x)0,所以f(x)在(0,)上是增函数,若x(,则f(x)0,所以f(x)在(,上是减函数,所以y的最大值为a3,这时x=.所以当01时,技术革新投入万元时,产品的增加值y最大,且为a3.【解析】本题是一道实际应用题,主要考查函数的性质、导数的应用等知识,意在考查考生的数学应用意识和数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力.对于(1),可由题意直接求出函数y关于x的表达式;对于(2),先由条件求出函数y=f(x)的导函数,再利用导函数求出函数y=f(x)最大时x的值,注意分两种情况进行讨论.【备注】培养学生的数学应用意识是新课程的一个重要理念,因此设计贴近学生实际的应用问题成为江苏省高考的热点.本题是函数模型的实际应用题,这是高考中最常见的一类典型问题,解决这类问题的关键是认真审题,提取有用信息,将实际问题准确地转化为数学问题,而真正的落脚点是利用导数求解最值,要注意按照“设、列、解、答”这四个步骤规范作答,得出相关的数学结论后,要回归到实际问题中进行叙述.18已知椭圆C:+=1(ab0)的右顶点为A,左焦点为F,P(-,)是椭圆C上的一点,且PAFP.(1)求椭圆C的方程;(2)若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,问:在x轴上是否存在两个定点,使它们到直线l的距离之积等于20?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)由题意得,A(a,0),F(-c,0),=0.又P(-,),所以(a+,-)(-c+,-)=0,即(-c)+=0.又点P在椭圆C上,所以+=1,所以b2=20.又a2=20+c2,所以由得,a=6,c=4,故椭圆C的方程为+=1.(2)当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,代入椭圆C的方程,消去y,整理得(9k2+5)x2+18kmx+9m2-180=0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以m0,方程(*)有且只有一个实数根.又9k2+50,所以=0,得(18km)2-4(9k2+5)(9m2-180)=0,所以m2=36k2+20.假设存在Q1(q1,0),Q2(q2,0)满足题意,且Q1,Q2到直线l的距离分别为d1,d2,则d1d2=|=20对任意的实数k恒成立,所以所以或当直线l的斜率不存在时,经检验符合题意.综上,存在两个定点(4,0),(-4,0),它们到直线l的距离之积等于20.【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线和椭圆的位置关系、点到直线的距离公式,考查了考生的推理论证能力、运算求解能力.对于(1),先由题意得方程,再求值可得;对于(2),要分类讨论,一是动直线l的斜率存在,先建立参数k,m的关系,再假设存在并结合题意求出两个定点的坐标,二是动直线l的斜率不存在,可以验证符合题意.【备注】高考对解析几何的考查主要是直线、圆和圆锥曲线的方程的求法,以及直线与圆、圆锥曲线的位置关系的有关问题,复习中要强化训练,把握思路,既要过方法关,又要过运算关.同时要注意加强对平面几何知识,特别是圆的几何性质的复习,注意向量方法在解析几何中的应用,注意提高灵活解题的能力.19已知数列an的各项均为正数,其前n项和为Sn,且对任意的m,nN*,都有(Sm+n+S1)2=4a2ma2n.(1)求的值;(2)求证:an为等比数列.【答案】(1)由(Sm+n+S1)2=4a2na2m,得(S2+S1)2=4,即(a2+2a1)2=4.因为a10,a20,所以a2+2a1=2a2,即=2.(2)解法一令m=1,n=2,得(S3+S1)2=4a2a4,即(2a1+a2+a3)2=4a2a4,令m=n=2,得S4+S1=2a4,即2a1+a2+a3=a4.又=2,所以a4=4a2=8a1,a3=4a1.由(Sm+n+S1)2=4a2na2m,得(Sn+1+S1)2=4a2na2,(Sn+2+S1)2=4a2na4.两式相除,得,所以=2,即Sn+2+S1=2(Sn+1+S1),从而Sn+3+S1=2(Sn+2+S1).以上两式相减,得an+3=2an+2,故当n3时,an是公比为2的等比数列.又a3=2a2=4a1,从而an=a12n-1,nN*.显然,an=a12n-1满足题设,因此an是首项为a1,公比为2的等比数列.解法二在(Sm+n+S1)2=4a2na2m中,令m=n,得+S1=2.令m=n+1,得S2n+1+S1=2,在中,用n+1代替n得,S2n+2+S1=2a2n+2.-,得a2n+1=2-2a2n=2(-),-,得a2n+2=2a2n+2-2=2(-),由得a2n+1=.将代入,得a2n+1=2a2n,将代入得a2n+2=2a2n+1,所以=2.又=2,从而an=a12n-1,nN*.显然an=a12n-1满足题设,因此an是首项为a1,公比为2的等比数列.【解析】本题主要考查等比数列的定义及性质,数列的通项公式与前n项和的关系等知识,意在考查考生分析探究的能力、逻辑推理的能力与解决综合性问题的能力.(1)采用赋值法,在已知等式中令m=n=1得出a1,a2的关系;(2)也采用赋值法,难点在于已知条件中的平方的处理.【备注】数列是高中数学的重要内容,将数列与函数、不等式等知识结合起来命制为综合性题目是近几年高考对数列考查的热点,以数列的基础知识(如等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式,错位相减法、裂项相消法等常见的求和方法)为载体,考查考生推理论证的能力、分析问题和解决问题的能力、运算求解的能力和思维水平.20已知函数f(x)=ax-lnx,g(x)=ax-a(aR).(1)若a=0,求函数f(x)在(,e)(e为自然对数的底数)上的零点个数;(2)若方程f(x)=g(x)恰有一个实根,求a的取值集合;(3)若方程f(x)=g(x)有两个不同的实根x1,x2(x1x2),求证:2x1+x21时,h(x)0,h(x)在(1,+)上单调递减;当0x0,h(x)在(0,1)上单调递增.故h(x)max=h(1)=a-1.当h(x)max=0,即a=1时,因最大值点唯一,故符合题意;当h(x)max0,即a1时,h(x)0,即a1时,一方面,存在ea1,h(ea)=-0,另一方面,存在e-a1,h(e-a)=2a-ea2a-ea1时,eaea).于是,h(x)有两个零点,不符合题意.综上,a的取值集合为1.(3)先证x1+x22.依题设,有a=+lnx1=+lnx2,于是=ln.记=t,t1,则lnt=,故x1=,于是,x1+x2=x1(t+1)=,x1+x2-2=.记函数k(x)=-lnx,当x1时,因为k(x)=0,故k(x)在(1,+)上单调递增.于是当t1时,k(t)k(1)=0.又lnt0,所以x1+x22.再证x1+x2p时,r(x)r(p)=0;当0xp时,r(x)0.于是ax1-1=x1lnx10,即-(3ea-1-1)x1+ea-10.同理得-(3ea-1-1)x2+ea-10. 故-(3ea-1-1)x2+ea-1-(3ea-1-1)x1+ea-1,(x2+x1)(x2-x1)(3ea-1-1)(x2-x1),于是,x1+x23ea-1-1.综上,2x1+x2b,求证:a-b+.【答案】因为ab,所以a-b0,所以a-b+(a-b)+(a-b)+3,所以原不等式成立.【解析】本题主要考查算术几何平均不等式及其应用等知识,考查转化思想及运算能力.求解本题的关键是利用配凑法把不等式左边配成符合算术几何平均不等式的形式.【备注】“不等式选讲”是必修部分不等式内容的拓展,绝对值不等式的求解、不等式的证明方法(比较法、综合法、分析法)、不等式的基本性质、利用不等式求最值等是高考考查的重点.另外,虽然算术-几何平均不等式与柯西不等式的考查要求为A级,但也有可能成为高考考查的对象,复习时要通过适当的练习进行强化.25如图,四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,且ABCD,ADCD,PD=CD=2,AD=AB=1.(1)求异面直线AD与PB所成角的余弦值;(2)求二面角P-AC-D的正弦值.【答案】(1)因为PD平面ABCD,AD平面ABCD,CD平面ABCD,所以PDAD,PDCD.又ADCD,所以以D为坐标原点,分别以DA,DC,DP所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),P(0,0,2),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),所以=(1,0,0),=(1,1,-2).设异面直线AD与PB所成的角为,则cos=|cos|=|=.故异面直线AD与PB所成角的余弦值为.(2)因为PD底面ABCD,所以平面DAC的一个法向量为=(0,0,2).设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),则n,n.又=(1,0,-2),=(-1,2,0),所以x-2z=0且-x+2y=0,令z=1,得x=2,y=1,则n=(2,1,1)为平面PAC的一个法向量.设二面角P-AC-D的大小为(由图可知为锐角),则cos=|cos|=|=.所以sin=,故二面角P-AC-D的正弦值为.【解析】本题主要考查异面直线所成的角、二面角等知识,考查考生利用空间向量解决立体几何的相关问题,考查考生的空间想象能力与运算求解能力.【备注】利用空间向量解决立体几何的相关问题是高考重点考查的内容之一,每隔一年便会考查一次,其常见的解题思路是利用直线的方向向量与平面的法向量之间的关系去证明线线、线面的位置关系,解决相关线线角、线面角、二面角等空间角的问题.复习中,考生要高度重视,关键要熟知原理,把握方法,准确求解.26已知非空有限实数集S的所有非空子集依次记为S1,S2,S3,集合Sk(k=1,2,)中所有元素的平均值记为bk.将所有bk组成数组T:b1,b2,b3,数组T中所有数的平均值记为m(T).(1)若S=1,2,求m(T);(2)若S=a1,a2,an(nN*,n2),求m(T).【答案】(1)S=1,2的所有非空子集为1,2,1,2,所以数组T为1,2,.因此m(T)=.(2)因为S=a1,a2,an(nN*,n2),所以m(T)=ai.又,所以m(T)=ai=ai.