2019年高考数学二轮复习 专题训练八 第2讲 坐标系与参数方程 理.doc

2019年高考数学二轮复习 专题训练八 第2讲 坐标系与参数方程 理考情解读高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识1直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则，.2直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过点M(b，)且平行于极轴：sin b.3圆的极坐标方程若圆心为M(0，0)，半径为r的圆的方程为220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：2rcos ；(3)当圆心位于M(r，)，半径为r：2rsin .4直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)5圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数，02)6圆锥曲线的参数方程(1)椭圆1的参数方程为(为参数)(2)抛物线y22px(p0)的参数方程为(t为参数)热点一极坐标与直角坐标的互化例1在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是cos()3和sin28cos ，直线l与曲线C交于点A、B，则线段AB的长为_答案16解析cos()cos cos sin sin cos sin 3，直线l对应的直角坐标方程为xy6.又sin28cos ，2sin28cos .曲线C对应的直角坐标方程是y28x.解方程组，得或，所以A(2，4)，B(18,12)，所以AB16.即线段AB的长为16.思维升华(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性 (1)在极坐标系(，)(00)的一个交点在极轴上，则a_.答案(1)(，)(填(，)亦可)(2)解析(1)2sin 代入cos 1可得2sin cos 1，即2或2，解得或又(，)与(，)为同一点，故二者可以任填一个(2)(cos sin )1，即cos sin 1对应的普通方程为xy10，a(a0)对应的普通方程为x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.将代入x2y2a2得a.热点二参数方程与普通方程的互化例2已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆y21上的任意一点，则点P到直线l的距离的最大值为_答案解析由于直线l的参数方程为(t为参数)，故直线l的普通方程为x2y0.因为P为椭圆y21上的任意一点，故可设P(2cos ，sin )，其中R.因此点P到直线l的距离是d.所以当k，kZ时，d取得最大值.思维升华参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形 (xx广东)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为_答案cos sin 20解析由(t为参数)，得曲线C的普通方程为x2y22.则在点(1,1)处的切线l的方程为y1(x1)，即xy20.又xcos ，ysin ，l的极坐标方程为cos sin 20.热点三极坐标与参数方程的综合应用例3在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)M是C1上的动点，P点满足2，点P的轨迹为曲线C2.(1)C2的参数方程为_；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，则|AB|_.答案(1)(为参数)(2)2解析(1)设P(x，y)，则由条件知M.由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为(为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为4sin ，曲线C2的极坐标方程为8sin .射线与C1的交点A的极径为14sin ，射线与C2的交点B的极径为28sin.所以|AB|21|2.思维升华(1)曲线参数方程有很多优点：曲线上任一点坐标都可用一个参数表示，变元只有一个特别对于圆、椭圆、双曲线有很大用处很多参数都有实际意义，解决问题更方便比如：直线参数方程(为倾斜角，t为参数)，其中|t|PM|，P(x，y)为动点，M(x0，y0)为定点(2)求两点间距离时，用极坐标也比较方便，这两点与原点共线时，距离为|12|，这两点与原点不共线时，用余弦定理求解无论哪种情形，用数形结合的方法易得解题思路 (1)(xx湖北)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(为参数，ab0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为sin()m(m为非零常数)与b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为_答案解析椭圆C的标准方程为1，直线l的标准方程为xym，圆O的方程为x2y2b2，由题意知，a2b22b2，a23b2，e.(2)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2的极坐标方程为(cos sin )1，若曲线C1与C2相交于A、B两点|AB|的值为_；点M(1,2)到A、B两点的距离之积为_答案2解析由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为yx2(x0)，由曲线C2的极坐标方程可得曲线C2的直角坐标方程为xy10，则曲线C2的参数方程为(t为参数)，将其代入曲线C1的普通方程得t2t20，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1t2，t1t22，所以|AB|t1t2|.由可得|MA|MB|t1t2|2.1主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题2规律方法方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度3极坐标方程与普通方程互化核心公式，.4过点A(0，0) 倾斜角为的直线方程为.特别地，过点A(a,0)，垂直于极轴的直线l的极坐标方程为cos a.平行于极轴且过点A(b，)的直线l的极坐标方程为sin b.5圆心在点A(0，0)，半径为r的圆的方程为r2220cos(0)6重点掌握直线的参数方程(t为参数)，理解参数t的几何意义.真题感悟1(xx陕西)在极坐标系中，点(2，)到直线sin()1的距离是_答案1解析点(2，)化为直角坐标为(，1)，直线sin()1化为(sin cos )1，yx1，xy10，点(，1)到直线xy10的距离为1.2(xx江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，线段AB的长为_答案8解析将直线l的参数方程代入抛物线方程y24x，得24，解得t10，t28.所以AB|t1t2|8.押题精练1在直角坐标系中圆C的参数方程为 (为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程为_答案4sin 解析由参数方程消去得圆C的方程为x2(y2)24，将xcos ，ysin ，代入得(cos )2(sin 2)24，整理得4sin .2已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同直线l的极坐标方程为，点P(1cos ，sin )，参数0,2)(1)点P轨迹的直角坐标方程为_；(2)点P到直线l距离的最小值为_答案(1)(x1)2y21(2)41解析(1)由得点P的轨迹方程(x1)2y21.(2)由，得，sin cos 9.曲线C的直角坐标方程为xy9.圆(x1)2y21的圆心(1,0)到直线xy9的距离为4，所以|PQ|min41.(推荐时间：40分钟)1(xx安徽改编)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos ，则直线l被圆C截得的弦长为_答案2解析直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是yx4，圆C的极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是x2y24x0.圆C的圆心(2,0)到直线xy40的距离为d.又圆C的半径r2，因此直线l被圆C截得的弦长为22.2圆心为C(3，)，半径为3的圆的极坐标方程为_答案6cos()解析设极点为O，M(，)为圆上任意一点，过OC的直线与圆交于另一点O，直角三角形OMO中，6cos|，即6cos()3已知点M的极坐标为(6，)，则点M关于y轴对称的点的直角坐标为_答案(3，3)解析点M的直角坐标为xcos 6cos 3，ysin 6sin 3.即M(3，3)，所以它关于y轴对称的点为(3，3)4直线cos 2关于直线对称的直线的极坐标方程为_答案sin 2解析直线cos 2的直角坐标方程为x2，直线的直角坐标方程为yx，所以所求的直线方程为y2.其极坐标方程为sin 2.5若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的倾斜角为_答案150解析由直线的参数方程知，斜率ktan ，为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150.6将参数方程(0t5)化为普通方程为_答案x3y50，x2,77解析化为普通方程为x3(y1)2，即x3y50，由于x3t222,77，故曲线为线段7(xx陕西)直线2cos 1与圆2cos 相交的弦长为_答案解析直线2cos 1可化为2x1，即x；圆2cos 两边同乘得22cos ，化为直角坐标方程是x2y22x.将x代入x2y22x得y2，y.弦长为2.8已知曲线C：(参数R)经过点(m，)，则m_.答案解析将曲线C：(参数R)化为普通方程为x21，将点(m，)代入该椭圆方程，得m21，即m2，所以m.9(xx重庆)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为cos 4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|_.答案16解析将极坐标方程cos 4化为直角坐标方程得x4，将x4代入得t2，从而y8.所以A(4,8)，B(4，8)所以|AB|8(8)|16.10(xx天津)已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|MF|，点M的横坐标是3，则p_.答案2解析根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y22px，所以y6p，所以E，F，所以3，所以p24p120，解得p2(负值舍去)11已知曲线C：(为参数)和直线l：(t为参数，b为实数)，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b_.答案解析将曲线C和直线l的参数方程分别化为普通方程为x2y24和yxb，依题意，若要使圆上有3个点到直线l的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到1，解得b.12已知曲线C1的极坐标方程为4sin ，曲线C2的极坐标方程为(R)，曲线C1，C2相交于点M，N，则线段MN的长为_答案2解析由4sin ，得24sin ，即曲线C1的直角坐标方程为x2y24y0，由(R)得，曲线C2的直角坐标方程为yx.把yx代入x2y24y0，得x2x2x0，即x2x0，解得x10，x2，y10，y21.|MN|2.即线段MN的长为2.13在极坐标系中，直线sin与圆2cos 的位置关系是_答案相离解析直线的直角坐标方程为xy10，圆的直角坐标方程为(x1)2y21，圆心为C(1,0)，半径为r1，圆心到直线的距离d1.故直线与圆相离14已知极坐标系中，极点为O，将点A绕极点逆时针旋转得到点B，且OAOB，则点B的直角坐标为_答案(，)解析依题意，点B的极坐标为，cos coscos cos sin sin ，sin sinsin cos cos sin ，xcos 4，ysin 4.15(xx辽宁改编)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，cos2.(1)C1与C2交点的极坐标为_；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，则a，b的值分别为_答案(1)，(2)1,2解析(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为xy40.解得所以C1与C2交点的极坐标为，注：极坐标系下点的表示不唯一(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)故直线PQ的直角坐标方程为xy20，由参数方程可得yx1，所以解得a1，b2.