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第三章函数,第11讲反比例函数,知识梳理,1.反比例函数的有关概念:形如y=(k是常数,k0)的函数叫做反比例函数,其中k叫做比例系数.,(1)反比例函数有三种表达式:y=;y=kx-1;xy=k(其中k0).(2)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点,即图象的两个分支无限接近坐标轴,所以x0,y0.,2.反比例函数的图象和性质:,反比例函数,y=(k0),k的符号,k0k0时,函数的图象分布在第_象限,在每个象限内,曲线从左往右下降,也就是在每个象限内,y随x的增大而_.,一、三,减小,当k0时,y随x的增大而_;当x0时,y随x的增大而_.,m-2,增大,增大,4.在函数y=(k0)的图象上有三个点(-2,y1),(-1,y2),(,y3),函数值y1,y2,y3的大小比较为_.,y3y1y2,考点一:反比例函数的图象和性质,(2018广东)如图1-11-3,已知等边三角形OA1B1,顶点A1在双曲线y=(x0)上,点B1的坐标为(2,0)过B1作B1A2OA1交双曲线于点A2,过A2作A2B2A1B1交x轴于点B2,得到第二个等边B1A2B2;过B2作B2A3B1A2交双曲线于点A3,过A3作A3B3A2B2交x轴于点B3,得到第三个等边B2A3B3;以此类推,则点B6的坐标为,(26,0),图1-11-3,考点突破,考点二:反比例函数的综合应用,2.(2017深圳)如图1-11-4,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x0)交于A(2,4),B(a,1),与x轴,y轴分别交于点C,D(1)直接写出一次函数y=kx+b的表达式和反比例函数y=(x0)的表达式;(2)求证:AD=BC,图1-11-4,解:(1)将点A(2,4)代入y=,得m=24=8,反比例函数的解析式为y=.将点B(a,1)代入y=,得a=8.B(8,1).将点A(2,4),B(8,1)代入y=kx+b中,得解得一次函数解析式为y=-12x+5.(2)直线AB的解析式为y=-12x+5,C(10,0),D(0,5).如答图1-11-1,过点A作AEy轴于点E,过点B作BFx轴于点F.点A(2,4),B(8,1),E(0,4),F(8,0).AE=2,DE=1,BF=1,CF=2.在RtADE与RtCBF中,AE=CF,AED=CFB=90,DE=BF,RtADERtCBF(SAS).AD=BC,2k+b=4,8k+b=1.,k=-12,b=5.,答图1-11-1,3.(2018广州)一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图象是(),A,ABCD,4.如图1-11-5,P1是反比例函数y=(k0)在第一象限图象上的一点,点A1的坐标为(2,0)(1)填空:当点P1的横坐标逐渐增大时,P1OA1的面积将减小(填“增大”“减小”或“不变”);(2)若P1OA1与P2A1A2均为等边三角形,求此反比例函数的解析式及点A2的坐标,图1-11-5,解:(2)如答图1-11-2,过点P1作P1COA1,垂足为点C.P1OA1是边长为2的等边三角形,OC=1,P1C=2=.P1(1,)代入y=,得k=.反比例函数的解析式为y=如答图1-11-2,作P2DA1A2,垂足为点D设A1D=a,则OD=2+a,P2D=3a.P2(2+a,3a)P2(2+a,3a)在反比例函数的图象上,代入y=,得(2+a)3a=3.化简,得a2+2a-1=0.解得a=-12a0,a=-1+2A1A2=-2+22.OA2=OA1+A1A2=22,所以点A2的坐标为(22,0),答图1-11-2,5.(2017广东)如图1-11-6,在同一平面直角坐标系中,直线y=k1x(k10)与双曲线y=(k20)相交于A,B两点,已知点A的坐标为(1,2),则点B的坐标为(),A,A.(-1,-2)B.(-2,-1)C.(-1,-1)D.(-2,-2),图1-11-6,6.(2015广东)如图1-11-7,反比例函数y=(k0,x0)的图象与直线y=3x相交于点C,过直线上点A(1,3)作ABx轴于点B,交反比例函数图象于点D,且AB=3BD.(1)求k的值;(2)求点C的坐标;(3)在y轴上确定一点M,使点M到C,D两点的距离之和d=MC+MD最小,求点M的坐标.,图1-11-7,解:(1)A(1,3),AB=3,OB=1.AB=3BD,BD=1.D(1,1).将点D坐标代入反比例函数解析式,得k=1.(2)由(1)知k=1,反比例函数的解析式为y=1x.联立解得,或(3)如答图1-11-3,作点C关于y轴的对称点C,连接CD交y轴于点M,则d=MC+MD最小.C.设直线CD的解析式为y=k1x+b,解得y=(3-2)x+2-2.当x=0时,y=2-2,M(0,2-2),y=3x,y=,,x0,C,答图1-11-3,图1-11-8,7.(2018临沂)如图1-11-8,正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A,B两点,其中点A的横坐标为1当y1y2时,x的取值范围是()A.x-1或x1B-1x0或x1C-1x0或0x1Dx-1或0x1,D,8.(2018泰安)如图1-11-9,矩形ABCD的两边AD,AB的长分别为3,8,E是DC的中点,反比例函数y=的图象经过点E,与AB交于点F(1)若点B的坐标为(-6,0),求m的值及图象经过A,E两点的一次函数的表达式;(2)若AF-AE=2,求反比例函数的表达式,图1-11-9,解得,k=-,b=0.,解:(1)点B坐标为(-6,0),AD=3,AB=8,E为CD的中点,点A(-6,8),E(-3,4).反比例函数图象经过E点,m=-34=-12.设AE的解析式为y=kx+b,将点A,E的坐标代入,得-6k+b=8,-3k+b=4.一次函数的表达式为y=-x.(2)AD=3,DE=4,AE=5.AF-AE=2,AF=7,BF=1.设点E坐标为(a,4),则点F坐标为(a-3,1).E,F两点在函数y=图象上,4a=a-3.解得a=-1.E(-1,4).m=-14=-4.反比例函数的表达式为y=-,9.(2018衡阳)对于反比例函数y=-,下列说法不正确的是()A.图象分布在第二、四象限B当x0时,y随x的增大而增大C图象经过点(1,-2)D若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在图象上,且x1x2,则y1y2,D,10.(2018无锡)已知点P(a,m),Q(b,n)都在反比例函数y=的图象上,且a0b,则下列结论一定正确的是()A.m+n0Bm+n0CmnDmn,C,基础训练,11.(2017哈尔滨)已知反比例函数y=的图象经过点(1,2),则k的值为_.,1,12.(2018葫芦岛)如图1-11-10,一次函数y=kx+b(k0)的图象与反比例函数y=(a0)的图象在第二象限交于点A(m,2),与x轴交于点C(-1,0)过点A作ABx轴于点B,ABC的面积是3(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)若直线AC与y轴交于点D,求BCD的面积,图1-11-11,解:(1)ABx轴于点B,点A(m,2),点B(m,0),AB=2点C(-1,0),BC=-1-m.SABC=ABBC=-1-m=3.m=-4.点A(-4,2)点A在反比例函数y=(a0)的图象上,a=-42=-8.反比例函数的解析式为y=-将A(-4,2),C(-1,0)代入y=kx+b,得解得一次函数的解析式为y=(2)当x=0时,y=,点.OD=.SBCD=BCOD=1,图1-11-10,-4k+b=2,-k+b=0.,13.(2017枣庄)如图1-11-11,反比例函数y=2x的图象经过矩形OABC的边AB的中点D,则矩形OABC的面积为_.,4,14.(2018宜宾)如图1-11-12,已知反比例函数=(m0)的图象经过点(1,4),一次函数y=-x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q(-4,n)(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)一次函数的图象分别与x轴,y轴交于A,B两点,与反比例函数图象的另一个交点为点P,连接OP,OQ,求OPQ的面积,解:(1)反比例函数y=(m0)的图象经过点Q(1,4),4=,解得m=4.故反比例函数的表达式为y=.一次函数y=-x+b的图象与反比例函数的图象相交于点Q(-4,n),一次函数的表达式为y=-x-5.(2)由解得或点P(-1,-4).在一次函数y=-x-5中,令y=0,得-x-5=0,解得x=-5,故点A(-5,0).SOPQ=SOPA-SOAQ=54-51=7.5,解得,n=-1,b=-5,x=-4,y=-1,x=-1,y=-4.,
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