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第三章函数,第11讲反比例函数,知识梳理,1.反比例函数的有关概念：形如y=(k是常数，k0)的函数叫做反比例函数，其中k叫做比例系数.,(1)反比例函数有三种表达式：y=;y=kx-1;xy=k(其中k0).(2)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即图象的两个分支无限接近坐标轴，所以x0,y0.,2.反比例函数的图象和性质：,反比例函数,y=(k0),k的符号,k0k0时，函数的图象分布在第_象限，在每个象限内，曲线从左往右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而_.,一、三,减小,当k0时，y随x的增大而_;当x0时，y随x的增大而_.,m-2,增大,增大,4.在函数y=(k0)的图象上有三个点(-2，y1)，(-1，y2)，(，y3)，函数值y1，y2，y3的大小比较为_.,y3y1y2,考点一:反比例函数的图象和性质,（2018广东）如图1-11-3，已知等边三角形OA1B1，顶点A1在双曲线y=（x0）上，点B1的坐标为（2，0）过B1作B1A2OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边B1A2B2；过B2作B2A3B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边B2A3B3；以此类推，则点B6的坐标为,（26，0）,图1-11-3,考点突破,考点二:反比例函数的综合应用,2.（2017深圳）如图1-11-4，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D（1）直接写出一次函数y=kx+b的表达式和反比例函数y=（x0）的表达式；（2）求证：AD=BC,图1-11-4,解：（1）将点A（2，4）代入y=，得m=24=8，反比例函数的解析式为y=.将点B（a，1）代入y=，得a=8.B（8，1）.将点A（2，4），B（8，1）代入y=kx+b中，得解得一次函数解析式为y=-12x+5.（2）直线AB的解析式为y=-12x+5，C（10，0），D（0，5）.如答图1-11-1,过点A作AEy轴于点E，过点B作BFx轴于点F.点A（2，4），B（8，1）,E（0，4），F（8，0）.AE=2，DE=1，BF=1，CF=2.在RtADE与RtCBF中,AE=CF,AED=CFB=90,DE=BF,RtADERtCBF(SAS).AD=BC,2k+b=4,8k+b=1.,k=-12,b=5.,答图1-11-1,3.（2018广州）一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图象是(),A,ABCD,4.如图1-11-5，P1是反比例函数y=（k0）在第一象限图象上的一点，点A1的坐标为（2，0）（1）填空：当点P1的横坐标逐渐增大时，P1OA1的面积将减小（填“增大”“减小”或“不变”）；（2）若P1OA1与P2A1A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及点A2的坐标,图1-11-5,解：（2）如答图1-11-2,过点P1作P1COA1，垂足为点C.P1OA1是边长为2的等边三角形，OC=1，P1C=2=.P1（1，）代入y=，得k=.反比例函数的解析式为y=如答图1-11-2,作P2DA1A2，垂足为点D设A1D=a，则OD=2+a，P2D=3a.P2（2+a，3a）P2（2+a，3a）在反比例函数的图象上，代入y=，得（2+a）3a=3.化简,得a2+2a-1=0.解得a=-12a0，a=-1+2A1A2=-2+22.OA2=OA1+A1A2=22，所以点A2的坐标为（22，0）,答图1-11-2,5.(2017广东)如图1-11-6，在同一平面直角坐标系中，直线y=k1x(k10)与双曲线y=(k20)相交于A，B两点，已知点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为(),A,A.(-1，-2)B.(-2，-1)C.(-1，-1)D.(-2，-2),图1-11-6,6.(2015广东)如图1-11-7，反比例函数y=(k0，x0)的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A(1，3)作ABx轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD.(1)求k的值；(2)求点C的坐标；(3)在y轴上确定一点M，使点M到C，D两点的距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标.,图1-11-7,解：(1)A(1，3)，AB=3，OB=1.AB=3BD，BD=1.D(1，1).将点D坐标代入反比例函数解析式，得k=1.(2)由(1)知k=1，反比例函数的解析式为y=1x.联立解得，或(3)如答图1-11-3，作点C关于y轴的对称点C，连接CD交y轴于点M，则d=MC+MD最小.C.设直线CD的解析式为y=k1x+b，解得y=(3-2)x+2-2.当x=0时，y=2-2，M(0，2-2),y=3x，y=，,x0，C,答图1-11-3,图1-11-8,7.（2018临沂）如图1-11-8，正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为1当y1y2时，x的取值范围是()A.x-1或x1B-1x0或x1C-1x0或0x1Dx-1或0x1,D,8.（2018泰安）如图1-11-9，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比例函数y=的图象经过点E，与AB交于点F（1）若点B的坐标为（-6，0），求m的值及图象经过A，E两点的一次函数的表达式；（2）若AF-AE=2，求反比例函数的表达式,图1-11-9,解得,k=-,b=0.,解：（1）点B坐标为（-6，0），AD=3，AB=8，E为CD的中点，点A（-6，8），E（-3，4）.反比例函数图象经过E点，m=-34=-12.设AE的解析式为y=kx+b，将点A,E的坐标代入,得-6k+b=8,-3k+b=4.一次函数的表达式为y=-x.（2）AD=3，DE=4，AE=5.AF-AE=2，AF=7，BF=1.设点E坐标为（a，4），则点F坐标为（a-3，1）.E，F两点在函数y=图象上，4a=a-3.解得a=-1.E（-1，4）.m=-14=-4.反比例函数的表达式为y=-,9.（2018衡阳）对于反比例函数y=-，下列说法不正确的是()A.图象分布在第二、四象限B当x0时，y随x的增大而增大C图象经过点（1，-2）D若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1x2，则y1y2,D,10.（2018无锡）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=的图象上，且a0b，则下列结论一定正确的是()A.m+n0Bm+n0CmnDmn,C,基础训练,11.(2017哈尔滨)已知反比例函数y=的图象经过点(1，2)，则k的值为_.,1,12.（2018葫芦岛）如图1-11-10，一次函数y=kx+b（k0）的图象与反比例函数y=（a0）的图象在第二象限交于点A（m，2），与x轴交于点C（-1，0）过点A作ABx轴于点B，ABC的面积是3（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若直线AC与y轴交于点D，求BCD的面积,图1-11-11,解：（1）ABx轴于点B，点A（m，2），点B（m，0），AB=2点C（-1，0），BC=-1-m.SABC=ABBC=-1-m=3.m=-4.点A（-4，2）点A在反比例函数y=（a0）的图象上，a=-42=-8.反比例函数的解析式为y=-将A（-4，2），C（-1，0）代入y=kx+b，得解得一次函数的解析式为y=（2）当x=0时，y=，点.OD=.SBCD=BCOD=1,图1-11-10,-4k+b=2,-k+b=0.,13.(2017枣庄)如图1-11-11，反比例函数y=2x的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为_.,4,14.（2018宜宾）如图1-11-12，已知反比例函数=（m0）的图象经过点（1，4），一次函数y=-x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（-4，n）（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数图象的另一个交点为点P，连接OP，OQ，求OPQ的面积,解：（1）反比例函数y=（m0）的图象经过点Q（1，4），4=，解得m=4.故反比例函数的表达式为y=.一次函数y=-x+b的图象与反比例函数的图象相交于点Q（-4，n），一次函数的表达式为y=-x-5.（2）由解得或点P（-1，-4）.在一次函数y=-x-5中，令y=0，得-x-5=0，解得x=-5，故点A（-5，0）.SOPQ=SOPA-SOAQ=54-51=7.5,解得,n=-1,b=-5,x=-4,y=-1,x=-1,y=-4.,
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